Construction trend of models of economic system.pdf Задачами экономико-статистического прогнозирова-ния являются выявление перспектив ближайшего илиболее отдалённого будущего в исследуемой области наоснове реальных процессов деятельности; выработка оп-тимальных тенденций и перспективных планов с учётомсоставленного прогноза и оценки принятого решения спозиций его последствий в прогнозируемом периоде.Временной ряд, динамический ряд (РД) - это по-следовательность упорядоченных по времени показа-телей, характеризующих уровень развития изучаемогоявления. В составе динамического ряда в принципеможно выделить четыре компоненты:1) общую тенденцию развития, или тренд;2) регулярные колебания относительно тренда (типациклов);3) сезонные колебания;4) остаток, или случайную компоненту, отражаю-щую влияние разнообразных факторов стохастическогохарактера.Одной из важнейших задач исследования динамиче-ских рядов является установление общих закономерно-стей или тенденций развития. Для решения этой задачииспользуются разнообразные приемы уменьшения ко-леблемости динамического ряда (сглаживающие филь-тры), среди которых можно выделить два основныхметода: сглаживание ряда с помощью скользящей сред-ней и аналитическое выравнивание. Аналитическое вы-равнивание динамического ряда − это метод выражениятенденций развития в виде функции изучаемого показате-ля от времени, называемой моделью тренда.Рассмотрим задачу сглаживания ряда динамики, т.е.построение трендовой модели, на реальном примере, сцелью применения модели для решения задач анализаи прогнозирования социально-экономических показа-телей. На рис. 1 представлены графически данные опродаже авиабилетов за 3 года (N = 36 - длина РД).400050006000700080009000100001 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34Месяцыкол-во билетовРис.1. Периодический ряд динамики продаж авиабилетовДля этого РД характерны внутригодичные, повто-ряющиеся устойчиво из месяца в месяц изменения вуровнях. Это стационарный периодический РД, т.е. об-щей тенденции развития нет, но явно выделяется се-зонная составляющая временного ряда и, естественно,случайная компонента. Поэтому для сглаживания дан-ного РД будем использовать в качестве моделей про-гноза мультипликативную модель и модель тригоно-метрического тренда - ряд Фурье [1].Если в РД отсутствует тенденция, то уровень вре-менного ряда рассматривается как функция сезонностии случайности: yt = f (S, ε), где yt - фактические уровниРД, S - сезонная составляющая, ε - случайная компо-нента с математическим ожиданием Eεt = 0 и дисперси-ей Dεt = σ2 < ∞, cov(εt, εk) = 0, ∀t ≠ k.При мультипликативной модели уровень РД можнопредставить как произведение его составляющих:( yt y ys y) (yt ys) , t 1, N, = ⋅ ⋅ = (1)где отношение (ys y) представляет собой коэффициентсезонности (KS), а ( ) yt ys - отражает влияние случайногофактора, ys - средний уровень ряда соответствующегопериода внутри года (месяца, квартала) за ряд лет.Чем больше коэффициент сезонности, тем большеамплитуда колебаний уровней ряда относительно егосреднего уровня, тем существеннее влияние сезонно-сти. Чем меньше влияние случайной составляющей,тем в большей мере рассматриваемая модель адекватноописывает исходный РД. На рис.2 изображен коэффи-циент сезонности KS для каждого месяца.0,70,80,911,11,21,31,41 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12месяцыкоэффициент сезонностиРис.2. Коэффициент сезонностиОценочные значения для модели (1) можно пред-ставить в видеˆ ( ) , yt = y ⋅ KS t t = 1,N. (2)Прогнозирование РД с помощью модели (1) сводит-ся к прогнозированию среднего уровня ( yp ) с после-дующей корректировкой его на сезонную компоненту -умножение на KS :ˆ ( ) , yt = yp ⋅ KS t t > N. (3)Теоретически любой стационарный временной рядможет быть представлен как сумма среднего значения( y заменяется часто параметром a0) и ряда синусоид икосинусоид, что и называется рядом Фурье:cos 2 sin 2 ,1 10 tniinit i N tN t b iy a a i + επ+π= + Σ Σ= =(4)где a0, ai, bi - неизвестные параметры; n - число гармо-ник, t = t = 1, N.Для решения задачи идентификации параметров дан-ного уравнения применим классический метод наимень-ших квадратов (МНК) и дискретный фильтр Калмана.Параметры уравнения (4), оцениваемые МНК, оп-ределяются формулами [1]a y N ytt ˆ0 = Σ / = ,NN ty ia ttiΣ π=2 cos 2ˆ и NN ty ib ttiΣ π=2 sin 2ˆ . (5)Применим дискретный фильтр Калмана [2] для иден-тификации параметров ряда Фурье. Так как для (4) па-раметры a0, ai, bi, i = 1, n, должны быть постоянными,то модель динамической системы имеет видx(k+1) = x(k),z(k) = H(k) x(k) + η, (6)где z(k) - известный выход (исходные значения yk), η -случайные погрешности измерения, шум на выходе с ко-вариацией R (моделируется белым гауссовским шумом),x(k) - вектор состояния, k = 1, N , - момент времени. Вкачестве наблюдаемого процесса будем рассматриватьN kN k b iy k a a iniiniiπ+π= + Σ Σ= =( ) cos 2 sin 21 10 , что в приме-нении к оцениванию по методу фильтрации Калмана-Бьюси можно записать для каждого момента времени kследующим образом: y(k)= H(k)x(k), гдеН(k) = [1 cos N2π k sin N2π k cos N2 ⋅ 2π k sin N2 ⋅ 2π k …cos Nnπ 2 k sin Nn2 π k] - матрица измерений,x(k)=[0 1 1 2 2 ].Ta a b a b K an bnОценка состояния системы, описываемой уравне-ниями (4), в момент времени k + 1 по наблюдениямz(1), z(2),…, z(k), которая минимизирует ковариациюошибки оценки ε(k)= oˆ (k) - x(k), удовлетворяет рекур-рентному уравнениюx ~(k+1) = x ~ (k)+Кф(k) (z (k) − zˆ (k)),zˆ (k) = H(k)x ~ (k)+η(k),Г(k+1) = Г(k)-Г(k)H′(k)(H(k)Г(k)H′(k)+R)−1H(k)Г(k),Кф(k) = Г(k)H′(k)(H(k)Г(k)H′(k)+R)⎯., k=1, N, (7)где Г(k) - ковариация ошибки, Кф(k) - коэффициентфильтрации. В качестве начальных значений возьмёмx ~(1)=[ 5000 0 0 0 0 … 0 0 ]T, Г(1)=Г0.Рассмотрим построение ряда Фурье (4) для исход-ных данных в обоих случаях с разным числом гармо-ник. Выбор ряда Фурье, который наилучшим образомотражает исходный временной ряд, основывался нарасчёте коэффициентов детерминации R2 (таблица), яв-ляющиеся критерием адекватности построенной моде-ли, характеризующих так называемую долю «объяснён-ной» дисперсии (чем ближе R2 к 1, тем лучше выбранамодель). Коэффициент детерминации определяется как( ) / ( 1)( ˆ ) / ( )112122− −− −= −ΣΣ==y y Ny y N pR NttNtt t, (9)где p - число оцениваемых параметров.Коэффициент детерминациидля уравнений с разным числом гармоникЧислогармоникR2,при примененииМНКR2, при применениифильтра Калмана3 0,65893 0,658784 0,74412 0,743885 0,74493 0,745236 0,80935 0,812597 0,80775 0,81028Таблица показывает, что уже уравнение с четырьмя гар-мониками хорошо описывает исходный РД, но в качествемодели прогноза возьмём ряд Фурье с шестью гармоника-ми (что характерно для сезонных колебаний), который объ-ясняет 81 % вариации уровней. Для мультипликативноймодели (2) коэффициент детерминации равен 0,732618.Оценочные значения для модели тригонометриче-ского тренда (4) имеют видˆ( ) ˆ ˆ cos 2 ˆ sin 2 ,61610 N kN k b iy k a a iiiiiπ+π= + Σ Σ= =(8)Полученные оценки коэффициентов ряда Фурье (4)методами МНК и дискретным фильтром Калмана малоотличаются друг от друга, поэтому для дальнейших ис-следований выбрана модель (8) с параметрами, оценкикоторых были получены с помощью фильтра Калмана.Графики выровненных динамических рядов по мо-делям (2) и (8) приведены на рис. 3.40005000600070008000900010000110001 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35месяцы кол-во билетовфактические значениясглаженный РД по модели (2)сглаженный РД по модели (8)Рис. 3. График исходных и сглаженных значений по формулам (2) и (8)Исследуем полученные остатки (разность между на-блюдаемыми и модельными значениями) моделей (2) и (8).Выборочное среднее Eˆε ≅ 0 ; оценка среднеквадратическо-го отклонения ε σˆ =633,5933 и ε σˆ =428,5408 соответствен-но для моделей (2) и (8). Рассмотрим гипотезу о согласиираспределения остатков с нормальным распределением. Нарис. 4 изображены гистограммы (оценка плотности рас-пределения) остатков моделей (2) и (8) с наложенной наних плотностью нормального распределения.-1800-1640-1480-1320-1160-1000-840-680-520-360-200-40120280440600760920108012401400156017200.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5-1210-1100-990-880-770-660-550-440-330-220-11001102203304405506607708809900123456789Рис. 4. Гистограммы остатковпостроенных моделей (2) и (8) соответственноЗначение статистики χ2=1,76335 и вероятности р == 0,62294 для остатков модели (2), χ2=1,8707 и вероят-ности р = 0,599966 для остатков модели (8); критиче-ское значение распределения хи-квадрат 20 χ с парамет-рами 1-α/2 (α - заданный уровень значимости, α = 0,05)и числом степеней свободы f = 3 20 χ =7,81. Так как χ2< 2 ,0 χто нет оснований отвергать гипотезу о нормальном рас-пределении остатков модели на уровне значимости α == 0,05. Аналогичный вывод можно сделать по значени-ям вероятностей. Так как вероятность р неправильногоотвержения гипотезы, когда она верна, довольно боль-шая, то гипотеза о нормальности остатков моделей (2)и (8) принимается на уровне значимости α = 0,05.Если предположить, что структура наблюдаемого про-цесса существенно не изменится в ближайшем будущем, то,используя одну из построенных моделей − либо мультипли-кативную, либо ряд Фурье − можно построить прогноз ко-личества продаж авиабилетов на следующий год. На основеполученного уравнения тренда даётся точечная оценка про-гноза. Однако более надёжный прогноз предполагает оценкуего в интервале предсказания, который определим как дове-рительный интервал для предсказанного значения:y1,2 yt +l m t0S = , (6)где t0 - табличное значение распределения Стьюдента спараметрами: 1− α/2 (α - заданный уровень значимости,обычно α = 0,05) и числом степеней свободы f = N - k; S -колеблемость уровней РД относительно полученноготренда, которая определяется формулойS 2 ( y yˆ )2 / (N k)tt t = Σ − − , (7)где k - число параметров в уравнении тренда; l - глу-бина предсказания (период упреждения); y1,2 - границыинтервала предсказания.Построенные доверительные интервалы содержатисходный РД с заданной доверительной вероятностьюγ = 1- α = 0,95. Результаты прогнозирования и построе-ния интервала предсказания изображены на рис. 5.Рис. 5. Графики продаж авиабилетовс построенным прогнозом по моделям (3) и (8)Итак, в поставленной задаче для построения трен-довой модели использованы мультипликативная мо-дель и ряд Фурье, параметры которого оценивались сприменением фильтра Калмана и по МНК. Сравни-тельный анализ результатов моделирования для кон-кретного числового примера - объемов продаж авиа-билетов - подтверждает применимость предложенныхподходов построения трендовых моделей и обеспечи-вает высокое качество аппроксимации данных и про-гнозирования поведения экономической системы.Использование трендовых моделей хозяйствующимисубъектами позволит получить значительный экономиче-ский эффект, так как организация может заблаговременнопросчитать возможное развитие событий, например приувеличении объемов продаж авиабилетов организоватьдополнительные авиарейсы на маршрутах, по которыможидается увеличение потока пассажиров.

Скачать электронную версию публикации