The manadgment of onesector economy at the final time invertal in Soloy model.pdf 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривая модель односекторной экономики, при-держиваемся следующих обозначений [1−3]: Y − вало-вой национальный продукт; K − основные фонды; L(t) == L0eƒt − трудовые ресурсы, L0 > 0, ƒ > 0; y = Y/L −удельный валовой продукт; k = K/L − фондовооружен-ность; F(K, L) − линейно-однородная производственнаяфункция, удовлетворяющая неоклассическим условиям[1, 2]; I − накопление; C − потребление; ƒ > 0 − коэф-фициент амортизации основных фондов; ƒ > 0 − коэф-фициент дисконтирования; f (k) = F(k, 1). Предполага-ется, что c = C/L − удельное потребление на одногорабочего. Тогда задача максимизации потребления наконечном интервале времени является задачей опти-мального управления следующего вида: найти управ-ление c(t), удовлетворяющее ограничениям0 ≤ c (k), (1.1)при которых на траекториях дифференциального урав-ненияk&(t) = f (k(t) − (ƒ + ƒ)k(t) − c(t), t [0, T] (1.2)с граничными условиямиk(0) = k0, k(T) = kT ≥ 0 (1.3)функционалJ c t e dtTt  = − ƒ−ƒ0( ) ( ) (1.4)достигает максимального значения, где ƒ > ƒ.2. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕДля решения поставленной задачи воспользуемсяпринципом максимума Понтрягина [4]. Согласно (1.2),(1.4) функция Гамильтона имеет видН(ƒ, k, c) = ƒ[f (k) − (ƒ + ƒ)k − c] + ƒ0ce−(ƒ − ƒ)t, (2.1)где ƒ0 = {0; 1}, а ƒ(t) − сопряженная переменная.Обозначив q(t) = ƒ(t)e(ƒ−ƒ)t, получим из (2.1) соглас-но [4], что{ }( ) ( , , ) / .( ) arg max ( ( ), ( ), ,0 ( )q t Н q k c kc t Н q t k t cc f k= − =≤ ≤&(2.2)Проводя вычисления, получаем с учётом того, чтоƒ0 = 1 [4]:⎪⎩⎪⎨⎧< < => 1, а уравнение (1.2) имеет видk&(t) = f (k) − (ƒ + ƒ)k. (2.6)Выделим на оси k[0, ) области знакопостоянства q&(t).а) q&(t) = 0. Тогда уравнение (2.4) имеет единствен-ный корень k*, такой, чтоf (k* ) = ƒ + ƒ. (2.7)б) q(t) < 0. В этом случае из (2.4), (2.7) следует, что f (k) >> (ƒ + ƒ) при k > k*.в) q&(t) > 0. В этом случае из (2.4), (2.7) следует, чтоf (k) < (ƒ + ƒ) при k < k*.Выделим на оси k[0, ) области знакопостоянства k&(t) .1) k&(t) =0. В этом случае из (2.6) следует, чтоf (k) = (ƒ + ƒ)k. (2.8)Так как согласно неоклассическим условиям f(t) яв-ляется монотонно возрастающей функцией и при этомf(0) = 0, f() = , то уравнение (2.8) имеет единствен-ный корень k% , такой, что.~) ( )~f (k = ƒ + ƒ k (2.9)2) k&(t) >0. В этом случае из (2.6), (2.9) следует, чтоf(k) > (ƒ + ƒ)k при .~k < k3) k&(t) < 0. В этом случае из (2.6), (2.9) следует, чтоf(k) < (ƒ + ƒ)k при .~k < kII. Если c(t) = f (k(t)), то весь доход идет на потреб-ление. В этом случае q(t) < 1, а уравнения (2.4) и (1.2)имеют видq&(t) = (ƒ + ƒ)q − f (k)q; (2.10)k&(t) = − (ƒ + ƒ)k. (2.11)Из (2.11) следует, чтоk&(t) = − (ƒ + ƒ)k < 0 , k > 0 . (2.12)Выделим на оси k[0, ) области знакопостоянства q&(t) .а) q&(t) =0. В этом случае уравнение (2.4) имеетединственный корень k*, такой, чтоf (k* ) = ƒ + ƒ . (2.13)б) q&(t) < 0. В этом случае из (2.4) следует, что f(k) >>(ƒ + ƒ)k при k > k*.в) q&(t) >0. В этом случае из (2.4) следует, что f(k) 0. При этом, согласно (2.5)Ю должно вы-полняться условие q(T)≥0, если k(T)=kT и q(T)=0, еслиk(T)>kT. Из рис. 1 следует, что если ,~0 k < k а ,~kT k > то во-обще не существует траекторий, для которых k(T) = kT (кри-вые 1−5), так как все они не могут перейти правее прямойk k~ = . Поиск оптимальных управлений будем осуществ-лять при условии ,~0 k < k .kT k~ < Алгоритм управления впредположении достаточно большого времени управления Тзаключается в следующем. Если k0 < k*, то подбирается такоезначение q0, чтобы 10 0 0 (k ;q ) Г . Тогда с управлениемc(t) = 0 точка {k(t); q(t)} переводится по траектории 10 Г вточку x* = (1; k*), и в момент Т* попадания {k(t); q(t)} в точкуx* полагается c(T*) = c* (см. (2.16)). Если k0> k*, то подбирает-ся такое значение q0, чтобы (k0; q0) 3.0 Г Тогда с управлени-ем c(t)=f (k(t)) точка {k(t); q(t)} переводится по траектории30 Г в точку x* = (1; k*), и в момент Т* попадания x* = (1; k*) вточку x* полагается c(T*) = c*. В момент Т** полагаетсяc(T*) = 0, если kT > k* и c(T**) = f (k(T**)), если kT < k*, и со-ответственно с управлениями c(t) = 0 либо c(t) = f (k(t)) точка{k(t); q(t)} переводится по траекториям 2T Г либо 4T Г в точкуx(T) ={k(T);q(T)} такую, что ( ) T k T = k .4. МАГИСТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМАСформулируем полученный результат в форме ма-гистральной теоремы [2,3]. Введем для k1 < k2, ƒ1 < ƒ2обозначения( )  − ƒ + ƒ=211 1, 2 ( ) ( ) ;kk f k kT k k dk (4.1)( )  ƒ + ƒ=ƒ + ƒ=21, 1 1 ln ;122 1 2kk kkkT k k dk (4.2)( ) ƒƒƒ ƒ = − ƒ−ƒ21, ( ) ( ) ;1 2J 0 c t e t dt (4.3)( , ) [ ( ) 1 ( ) 2] .*1 2* − ƒ−ƒ ƒ − − ƒ−ƒ ƒƒ − ƒJ ƒ ƒ = c e e (4.4)Теорема 1. При достаточно большом времениуправления T решение задачи имеет следующий вид:1) Интервал [0, T] разбивается на три интервала, т.е.[0, T] = [0, T*)  [T*, T**]  (T**, T].2) Оптимальное управление c(t) имеет структуруc(t) = {f (k(t)); 0; c*}, т.е. управление c(t) является ку-сочно-непрерывным, гдеc* = f (k* ) − (ƒ + ƒ)k* , (4.5)а k* − единственный корень уравненияf (k) = ƒ + ƒ . (4.6)3) На интервале t[T*,T**] всегда c(t) = c*, и фондо-вооруженность k(t) сохраняет постоянное значение k*.4) На начальном интервале времени t[0, T*) c(t) = 0,если k0 < k*, и c(t) = f (k(t)), если k0 > k*, и происходит со-ответственно возрастание либо убывание k(t) от k0 до k*.5) На конечном интервале времени t(T**, T] c(t) = 0если kT < k*, и c(t) = f (k(t)), если kT < k*, и происходит со-ответственно возрастание либо убывание k(t) от k* до kT.6) значения T*, T** и функционала J определяютсяследующими формулами:− если k0 < k*, kT < k* (магистраль I), тоT* = T1(k0, k*), T** = T − T2(kT, k*), (4.7)J = J*(T*, T**) + J0(T**, T); (4.8)− если k0 < k*, kT > k*, (магистраль II), то( , ), ( * , ) ,1* **1 0*T = T k k T = T − T k kT (4.9)J = J * (T * ,T ** ) ; (4.10)− если k0 > k*, kT < k* (магистраль III), то( , ), ( , * ) ,2**0*2T * T k k T T T kT k = = − (4.11)J = J 0 (0, T * )+ J * (T *,T **)+ J 0(T** ,T); (4.12)− если k0 > k*, kT > k* (магистраль IV), то( , ) , ( , 0) ,*1**0*2T * = T k k T = T k k (4.13)J = J 0 (0, T *)+ J *(T* , T **) . (4.14)Исследуем поведение c(t) = f (k(t)), когда k(t) опре-деляется уравнением (2.12). Тогдаc&(t) = f (k)k&(t) = − (ƒ + ƒ)kf . (4.15)Так как по неоклассическим условиям f (k) > 0, то из(4.15) следует, что c&(t) < 0 , т.е. c(t) − монотонно убываю-щая функция времени. Чтобы установить тип кривизныc(t), определим знак c&&(t) . Из (2.12),(4.15) следуетc&(t) = (ƒ + ƒ)2 k[f (k) + kf (k)] . (4.16)Из (4.16) следует, что знак c&&(t) зависит от знака функ-ции ϕ (k)=f (k) + kf (k). Например, если f (k) − функция Коб-ба-Дугласа, т.е. f (k)=Akƒ, A > 0, 0 < ƒ < 1, то ϕ (k) =Aƒk(ƒ−1)> 0,и таким образом c&&(t) > 0, т.е. функция c(t) есть монотонноубывающая выпуклая вниз функция. Для общего класса не-оклассических производственных функций знак ϕ (k), а зна-чит, и знак c&&(t) может быть любым и соответственно кри-визна убывающей функции c(t) может быть любой.На рис. 2, 4, 6, 8 представлены реализации управле-ния c(t) на всём интервале времени управления t[0, T],построенные в соответствие с проведенным исследова-нием. Для случаев магистралей Ш и IV, когда k0 > k*,следует, согласно (4.5), что c(T*) = f (k*) > c* и при этомƒ *c0 = c(T*) − c* = (ƒ + ƒ)k* (рис. 6, 8). Для случаев ма-гистралей I и III, когда kT < k*, следует, согласно (4.5),что ƒ *cT = c(T) − f (kT) − f (k*) + (ƒ + ƒ)k*. При этом− ƒ *cT >0, т.е. c(T) > c*, если [f (k*) − f (kT)] < (ƒ + ƒ) k*;− ƒ *cT > 0, т.е. c(T) > c*, если [f (k*) − f (kT)] < (ƒ + ƒ) k*;− ƒ *cT = 0, т.е. c(T) =c*, если [f (k*) − f (kT)] = (ƒ + ƒ) k*.Данные ситуации отражены на рис. 2, 6.c(t)T* T* * T tf(k*)( ) T f kc *( ) T f kРис. 2Исследуем поведение фондовооруженности k(t). Рас-смотрим сначала интервал времени t[0, T*).Пусть k0 < k* (магистрали I и II). В этом случаеуправление c(t) = 0 и, согласно, (2.6) k&(t) > 0 , т.е. k(t) мо-нотонно возрастающая функция. Тогдаk&&(t) = k&(t)[f (k(t)) − (ƒ + ƒ)] . (4.17)Так как ƒ > ƒ, то из (2.7) следует, что f (k(t)) − (ƒ + ƒ) >>0 для k < k*. Тогда, согласно (4.17), k&&(t) > 0 , т.е. приk0 < k* на интервале t[0, T*) k(t) является монотонновозрастающей выпуклой вниз функцией (рис. 3, 5).Пусть k0 > k* (магистрали III и IV). В этом случаеуправление c(t) = f (k(t)) и, согласно (2.12), k&(t) < 0, т.е.k(t) монотонно убывающая функция. Тогдаk&&(t) = − (ƒ + ƒ)k&(t), (4.18)и, следовательно, k&&(t) > 0 . Таким образом, при k0 > k*на интервале t[0, T*) k(t) является монотонно убываю-щей выпуклой вниз функцией, что отражено на рис.7, 9.0 T * T * * Tk ( t)k *0 kT kРис. 3c(t)T* T* * T tc *Рис. 4Рассмотрим интервал времени t(T**, T]. Пусть kT < k*(магистрали I и III). В этом случае управление c(t) ==f(k(t)) и, согласно (2.12), (4.17), k&(t) < 0, k&&(t) > 0 .Таким образом, при kT < k* на интервале t(T**, T] k(t)является монотонно убывающей выпуклой вниз функ-цией, что отражено на рис.3, 7. Пусть kT > k* (магистра-ли II и IV). В этом случае управление c(t) = 0 и, соглас-но (2.6), k&(t) > 0 , т.е. k(t) монотонно возрастающая фун-кция, а k&&(t) определяется формулой (4.17). Пусть kявляется корнем уравненияf (k) = ƒ + ƒ . (4.19)Так как ƒ > ƒ, то из (2.7) и (4.19) следует, что k* < k. То-гда, согласно (4.17), f (k) − (ƒ + ƒ) = 0, если k =k ; f (k)−− (ƒ + ƒ) > 0, если k < k; f (k) − (ƒ + ƒ) < 0, если k > k.Таким образом, из (4.17) следует, что k&&(t) > 0 , если k* 0.Так как T ** = T − T~, где T~ − время достижения траек-торией k(t) значения kT на интервале t[T**, T], то дан-ное условие принимает вид T > T~ + T *, где kT < k* и~ ( * , )T = T2 k kT если k* > k*. Интервал t[0, T*] являетсяинтервалом выхода траектории k(t) на магистраль дляобеспечения стационарного состояния экономики. Интер-вал t[T**, T] является интервалом схода траектории k(t) смагистрали для обеспечение терминального условия в ко-нечный момент времени T (условие экономического гори-зонта). Таким образом, чем меньше T* и T~ при заданномT, тем больше интервал стационарного состояния эконо-мики ƒT = T**− T* (интервал пребывания экономики намагистрали) приближается ко всему интервалу T. На ма-гистрали, когда t[T*, T**], k(t) = k*= const, y(t)= y*= f (k*) == const. При этом ( ) * .0 0K* t = k*L eƒt = K eƒt Тогда Y * (t) =( , 0 )*0= F K eƒt L eƒt и dY * (t) / dt > 0. Таким образом, намагистрали обеспечивается сбалансированный рост эко-номики. Если k0 < k*, kT > k*, то на интервалах t[0, T*)и t(T*, T], K(t) = L0eƒtk(t), где k&(t) > 0 , и тогда dY(t)/dt ==dF(L0eƒtk(t), L0eƒt/dt > 0. Таким образом, при k0 < k*, kT>> k* обеспечивается устойчивый рост экономики навсем интервале времени t[0, T].

Скачать электронную версию публикации