Investment portfolio optimizationwith transaction costs and constraints using model predictive control on the basis of market model.pdf Проблема управления инвестиционным портфелем (ИП)является одной из основных в управлении финансами и пред-ставляет как теоретический, так и практический интерес.Можно выделить два основных подхода к ее решению. Клас-сический подход, предложенный в [1, 2], и последующие егомодификации исходят из предположения о том, что при фор-мировании своего портфеля инвестор, с одной стороны, хотелбы минимизировать риск портфеля (обычно дисперсию порт-феля или связанные с ней меры риска), с другой - получатьжелаемую доходность (либо в двойственной постановке - мак-симизировать доходность при ограниченном риске). Второйподход основан на построении динамических моделей ИП сбольшим разнообразием методов. Классическая оптимизаци-онная проблема в динамической постановке заключается в оп-ределении стратегии управления ИП, максимизирующей неко-торую интегральную функцию полезности. Она была исследо-вана Мертоном [3] и др. [4]. Bielecki и Pliska [5] используюткритерий, чувствительный к риску.В [6−8] предложена динамическая модель управления ИПв пространстве состояний, в которой структура портфеля опи-сывается в виде динамической стохастической сети, а задачауправления ИП формулируется как динамическая задача сле-жения за капиталом некоторого гипотетического эталонногопортфеля, имеющего задаваемую инвестором желаемую до-ходность.Известно, что реальные модели ИП должны учитыватьтранзакционные издержки и ограничения на объемы торго-вых операций. Учет этих ограничений в динамической моде-ли приводит к «проклятию размерности». Обзор проблем иметодов оптимизации ИП в динамической постановке с уче-том транзакционных издержек дан в [9]. В этих работах ис-пользуются методы оптимальной остановки, стохастическогосингулярного и стохастического импульсного управления.Большинство представленных результатов ограничены слу-чаем одной облигации и только одной акции.В данной работе рассматривается проблема управленияИП с учетом транзакционныхкредитного счетов неотрицательны xn+1(k + 1) ≥ 0 иxn+2(k + 1) ≥ 0, следовательно:+ − + ƒ  +1 ( ) ( ) (1 ) xn k v k( ) (1 ) ( )] 01 1ƒ + − ƒƒ ≥= =ninipi k qi k , (8)2 ( ) ( ) 0 + ≥ + xn k v k . (9)Если какая-либо переменная xi(k) < 0, то это означаетучастие в операции «продажа без покрытия». Общийкапитал портфеля ƒ+=+ = −11( ) ( ) 2 ( )niV k xi k xn k . При управ-лении портфелем учитываются следующие ограниче-ния: на объемы операций «продаж без покрытия»xi (k) pi (k) qi (k) di (k) + − ≥ − , (10)на объемы займов2 ( ) ( ) 0 ( ) xn k v k d k + ≤ + , (11)если операция «продажа без покрытия» запрещена, тоdi(k) = 0. di(k) может быть константой или функцией, на-пример di(k) = ƒiV(k), где ƒi > 0 − постоянный коэффициент.Необходимо определить стратегию управления ин-вестиционным портфелем так, чтобы его капитал V(k) снаименьшими отклонениями следовал капиталу V0(k) не-которого, определяемого инвестором, эталонного порт-феля, эволюция которого описывается уравнениемV 0 (k +1) = [1+ ƒ0 (k)]V 0 (k), (12)где ƒ0(k) - заданная инвестором желаемая доходностьпортфеля.УПРАВЛЕНИЕС ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМИспользуется стратегия управления разомкнутого типа,которая основана на предположении, что будущие прогно-зирующие управления на всем горизонте прогноза зависяттолько от текущего состояния системы, т.е. не использует-ся будущая обратная связь (по существу, на интервале про-гнозирования строятся программные управления без ис-пользования обратной связи по состоянию).Прогнозирующее управление определяется по сле-дующему правилу: на каждом шаге k минимизируемфункционал по последовательности программных уп-равлений u(k + i / k), i = 0,m −1 , зависящих только отсостояния системы в момент k; m - горизонт управле-ния. В качестве управления в момент k берем u(k) ==u(k/k). Тем самым получаем управление u(k) как фун-кцию состояния x(k), т.е. управление с обратной связью.Чтобы получить управления u(k + 1) на следующем ша-ге, процедура повторяется для текущего момента k + 1.Используем следующий функционал со скользящимгоризонтом управления:⎩ ⎨ ⎧+ + − + = ƒ−=11[ ( / ) 0 ( )]2miJ M V k i k V k iƒ−=+ + + + +10( / ) ( ) ( / )miuT k i k R k i u k i k+ [V(k + m/ k) −V 0 (k + m)]2 / x(k)}, (13)где ƒ+=+ + = + − +11( / ) ( / ) 2 ( / )njV k i k xj k i k xn k i k ,( / ) [ 1( / ) ... 2 ( / )] ( 1, ) x k i k x k i k xn k i k i m + = + + = + −состояние инвестиционного портфеля в момент k + i,прогноз ведется на момент времени k; x(k) - состояниев момент времени k;( 0, 1)( / )...( / )( / )...( / )( / )( / )11= −⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡++++++ = i mq k i kq k i kp k i kp k i kv k i ku k i knn - вектор прогно-зирующего управления; R(k)>0 - весовая матрица,M{.../...} - оператор условного математического ожи-дания.Теорема. Оптимальная стратегия прогнозирующегоуправления разомкнутого типа системой (4) − (6), (12)при ограничениях (7)−(11) определяется уравнениямиu(k)= [In 0n 0n], где In − единичная матрица размерностиn, 0n− квадратная нулевая марица размерности n;U(k / k) = [uT (k / k), uT (k +1/ k), ... uT (k + m −1/ k)]T −- вектор прогнозирующего управления, который опре-деляется из решения задачи квадратичного програм-мирования с критерием видаY(k + m/ k) = UT (k)H(k)U(k) + 2 xT (k)G(k)U(k) ,при ограничениях D(k) ≤ S (k)U(k) ,где S (k), D(k), H(k) и G(k) − блочные матрицы:[ ] ( ) ( ) 0(3 +3)  (2 +1) ( −1) = S k S k n n p ,,( ) ( )( )( )( )00( )2 021⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡−−−=+++x k d kx kx kD k X knnnTnTn,( ) ... ( )... ... ...( ) ... ( )( )111 1⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡=H k H kH k H kH km mmmG(k) [G1(k) ... Gm (k)] =с блоками ;1 0 01 0 01 (1 ) (1 )00 00 0( )⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣⎡−− + ƒ + ƒ= −n nn nn nn nTnn nTnn nTne eI IIIS k0 = [0 ... 0] = [1 ... 1] n u en - вектор-строки размернос-ти n; 0(3n+3)(2n+1) ( p−1) − нулевая матрица размерности(3n + 3) на (2n + 1)(p − 1);⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡− −− −=( ) ( )...1( ) 1( )x k d kx k d kXn n,⎪ ⎪ ⎪⎩⎪ ⎪ ⎪⎨⎧>− + + − =−

Скачать электронную версию публикации