The optimal control homogeneous product sale price.pdf 1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛИВ работе предполагается, что функционирование тор-говой компании может быть описано следующей моде-лью. Обозначим через S(t) капитал компании, а черезK(t) количество однородного товара, принадлежащегокомпании, в момент времени t. Будем считать, что мо-менты продажи товара образуют пуассоновский потокс интенсивностью ƒ(t), причем средний объем однойпокупки пропорционален имеющемуся количеству то-вара, т.е. равен aK(t). Предположим далее, что на ин-тервале времени (t, t+ƒt) фирма тратит часть своегокапитала, равную ƒ(t)S(t)ƒt, где 0 0 . (6)Если функция ƒ(t) задается соотношением (2), тоусловию (6) можно придать более простой вид. Будемсчитать, что b = 1 (т.е. за единицу масштаба принятаоптовая цена товара) и обозначим0 .20>ƒƒ =ac (7)С учетом (2) условие (6) принимает видƒ u (t)2 − 2 u (t) + ƒ + 2 ≤ 0. (8)Неравенство (8) может быть выполнено, если пара-метр ƒ заключен в пределах 0 < ƒ < 2 −1, что накла-дывает ограничение на величину расходов с по обслу-живанию торговли. Тогда условие (8) выполнено, еслиu1 ≤ u(t) ≤ u2 , (9)гдеƒ+ − ƒ − ƒ=ƒ− − ƒ − ƒ=1 1 21 1 2 ,2221uu(10)и величины u1 и u2 удовлетворяют условиям:1 2 2 1, 2 2 1. ≤ u ≤ + u ≥ + (11)2. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕЦЕНОЙ ПРОДАЖИИ ОТЧИСЛЕНИЯМИ НА ЗАКУПКУ ТОВАРАБудем считать, что цель фирмы состоит в том, что-бы, выбирая розничную цену товара u(t) и долю отчис-лений на закупку товара ƒ(t), максимизировать среднийкапитал фирмы в момент времени Т. Получающаясяоптимизационная задачаS (t) = max (12)при условии, что переменные S (t) и K(t) удовлетворяютсистеме уравнений (1) и выполняются условия (2) и (9), мо-жет быть решена с использованием принципа максимумаЛ.С. Понтрягина [1]. Применение принципа максимума крешению поставленной задачи состоит из выполнения сле-дующих этапов. Вначале составляется функция Гамильтона( ,ƒ) = ƒ1( ) ( ƒ( ) ( ) − ƒ( ) ( ))+ H u t t bS t t aK t+ ƒ2 (t) (− ƒ(t)S (t) +(ƒ(t) au(t) − c)K(t)) , (13)где сопряженные переменные ƒ1(t) и ƒ2(t) удовлетво-ряют системе уравненийd t= −ƒ ƒ + ƒ ƒ== −ƒ= ƒ ƒ − ƒ − ƒ== −ƒ(14)с вытекающими из (12) граничными условиями1( ) 0, 2 ( ) 1. ƒ T = ƒ T = (15)Затем оптимальные управления u(t) и ƒ(t) ищутся изусловия( ), ( )( , ) maxu t tH uƒƒ = (16)с учетом ограничения 0 < ƒ(t) < ƒ0 и условия (9).Так как функция Гамильтона H(u, ƒ) (13) линейнаотносительно ƒ(t), то оптимальное управление ƒ(t) оп-ределяется условием⎩ ⎨ ⎧ƒ − ƒ >ƒ ƒ − ƒ >ƒ =0, если ( ) ( ) 0.( ) , если ( ) ( ) 0,1 20 1 2t b tt t b t (17)Таким образом, управление ƒ(t) является релейным.Точки переключения управления определяются из ус-ловия( ) 1( ) 2 ( ) 0. ϕ t = ƒ t b − ƒ t = (18)Оптимальное управление u(t) должно максимизиро-вать функцию Гамильтона (13) при выполнении усло-вия (9).Функция Гамильтона (13) достигает максимумапри u = u0 , которое является корнем уравнения( ) ( ) 2 1( ) 0 ( ) 2 ( ) 0.22 0 ƒ t u t − ƒ t u t − ƒ t = (19)Отсюда⎪⎩⎪⎨⎧>≤ ≤>=, если ( ) .( ), если ( ) ,, если ( ) ,( )1 0 10 1 0 22 0 2u u t uu t u u t uu u t uu t (20)Рассмотрим вначале правый конец траектории t = T.Из граничных условий задачи (15) следует, что при t = Tϕ(t) < 0. Так как функции ƒ1(t) и ƒ2(t) − кусочно-дифференцируемы, то в некоторой ƒ-окрестности точкиT ϕ (t) также меньше 0. Следовательно, в некоторойокрестности точки T ƒ2(t) = 1 и( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ),1d1t t a t t au t cd t = ƒ ƒ − ƒ −ƒ(21)( ) 2 1( ) 0 ( ) 1 0.20 u t − ƒ t u t − = (22)Далее, так как ƒ1(T) = 0, то u0(Т)=1. Поэтому u(Т)= u1.Из системы (21), (22) получаем, что в некоторой ƒ-ок-рестности точки T u(t) = u1, что с учетом (8) и (10) дает( ) .1( ) 1 exp 2101 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧−+− ƒƒ = − T tut a (23)Так как при этом ϕ (t) < 0, то управление ƒ(t) = 0.Точка t1 переключения управления u(t) определитсяусловием( ) ( ) 1 1 ,21 1 1 1 ƒ t + ƒ t + = u (24)где ƒ1(t1) определяется соотношением (23).При t < t1 управление u(t) = u0(t). Из соотношения(22) имеем теперь2 ( ) .( ) ( ) 10201 t ut t u−ƒ = (25)Дифференцируя (25) по t и учитывая уравнение (21),получим уравнение, определяющее функцию u0(t) −( )200 0 01 ( )( ) 2 ( ) 1 ( )u tc u t u tdtdu t+ƒ −ƒ= (26)с граничным условием u0(t1) = u1. Так как ( 1 ) 0 du t dt < ,то на некотором отрезке (t1-ƒ, t1) уравнение(26) опреде-ляет монотонно убывающую функцию. Решение урав-нения (26) имеет вид− − ƒ +100 1( ) ln u( )u t u u t1 2 ( ).1 ln ( ) 11102u c t tu t = −ƒ −ƒ −ƒƒ ++ (27)Как следует из соотношения (26), наибольшее зна-чение функции u0(t) равно 1/ƒ. При u0(t) 0 в точке t. Последнее означает, чтоуправление ƒ(t) имеет вид⎩ ⎨ ⎧>ƒ ≤ƒ =0, если *,( ) 0 , если *,t tt t t (33)где точка t* определяется условием (29).Вернемся к управлению u(t). При t < t* функция u(t) оп-ределяется соотношениями (19), (20). Из соотношения (19)2 ( ) ,( ) 1( )( )02021t ut utt −=ƒƒ(34)причем при t = t* функция u0(t) удовлетворяет ограни-чениям (20). Дифференцируя (34) по t, получим, учи-тывая систему (14), дифференциальное уравнение, оп-ределяющее функцию u0(t) на [0, t*]:( )( )2 ( ( ) 1)( ) 1 ( ) 2 ( ) 1( ) 1( ) ( ) ( )200202002002000+− − −+ ƒ++ƒ −= ƒu tu t u t u tu tdt a u t u tdu tс граничным условием u(t*) = u*. Так как при u0(t) = u*0 ( ) 0 du t dt < , то u0(t) ≥ u* на отрезке [0, t*]. Таким об-разом, на [0, t*] управление u(t) имеет вид⎩ ⎨ ⎧≤= >( ) , если ( ) .( ) , если ( ) ,0 0 22 0 2u t u t uu t u u t uПолучившийся вид оптимальных управлений ƒ(t) иu(t) хорошо согласуется с интуитивными представле-ниями. Если компании необходимо аккумулироватьсвой капитал, то вначале необходимо прекратить за-купку новых партий товара, а затем, постепенно сни-жая розничную цену товара, довести ее до минимальновозможной.

Скачать электронную версию публикации