Control of the retail price of perishable goods.pdf ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫРассмотрим следующую ситуацию. Продавец приоб-ретает у оптового продавца партию товара объемом Q0,которую он потом продает на рынке покупателям. Счита-ется, что величина покупки ƒ отдельным покупателеместь случайная величина с математическим ожиданиемM{ƒ} = a1 и вторым начальным моментом M{ƒ2} = a2.Сам поток покупок считается пуассоновским с интен-сивностью ƒ(c), зависящей от розничной цены с. Товардолжен быть реализован в течение одной торговой сес-сии продолжительностью Т, иначе он теряет потреби-тельские свойства и не подлежит продаже.Достаточно неприятно, если к концу торговой сессииостается непроданный товар. Выбрасывать его жалко, пу-скать на переработку в продукцию низкого качества - то-же. Поэтому продавцы применяют разнообразные прие-мы, чтобы реализовать товар до конца торговой сессии,например, в ее конце устраивают распродажу остатков то-вара по низкой цене. Однако это не единственная и, по-видимому, не самая лучшая стратегия, и здесь имеетсяобширное поле для теоретического исследования. В дан-ном разделе мы изучим только одну из таких стратегийуправления ценой продажи товара, которая обеспечиваетего реализацию до окончания торговой сессии.Будем считать, что торговая сессия начинается вмомент времени 0 и кончается в момент времени T, тоесть она занимает интервал времени [0, T]. Обозначимчерез Q(t) количество товара в момент времени t. Бу-дем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано.Рассмотрим следующую процедуру управления це-ной c(t) товара a1ƒ(c(t)) = Q(t) / (T − t).Она получается из следующих естественных соображе-ний: дробь Q(t) / (T − t) есть та средняя скорость, с которойдолжен продаваться товар, чтобы он был весь продан к кон-цу сессии. С другой стороны, a1ƒ(c(t)) есть та мгновеннаяскорость, с которой он продается в момент времени t. Мытребуем, чтобы эти две скорости были равны друг другу.Найдем характеристики величины количества това-ра в диффузионном приближении. Ранее было показа-но, что процесс Q(t) может бытьи учет начального условия 2Q2 (0) = Q0 дает( ) 1 1 .12 0220 2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ − ⋅ + ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ −T tT taa QT tQ t Q (5)Отсюда{ ( )} = ( ) = ( ) − 2 ( ) =2 D Q t DQ t Q t Q t1 .10 2 ⎟⎠⎞⎜⎝= ⋅ ⎛ −T tT taa Q (6)В частности, DQ(0) = DQ(T) = 0. Вместе с результа-том Q(T) = 0 это говорит о том, что с вероятностью 1Q(T) = 0, т.е. с вероятностью 1 к концу торговой сессиивесь товар будет продан.ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙПРОЦЕССА Q(T)Таким образом, процесс Q(t) начинается в Q0 и за-канчивается в 0. Рассмотрим f(Q, t) = e−pQ. Тогдаf/t = 0, f/Q = − pe−pQ, 2f/Q2 = p2e−pQ,и поэтому( ) − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−− = − T t p e− dtQaT t pe ad e pQ Q pQ 2 pQ122( ) .12 T t dw tQape pQ a−− − (7)Рассмотрим Ф(p, t) = M{e−pQ}, которая является пре-образованием Лапласа от плотности вероятностей p(Q, t)значений процесса Q(t) в момент времени t. Тогда( , ) M{Qe pQ}pp t = − −ƒи, усредняя (7), получим2 ,( , ) 1 21a2 p p dtap p t T t p dt ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ+ƒ−ƒ = −или, в явном виде,( ) 1 2 0 .12 =ƒ⎟⎠⎞⎜⎝+ ⎛ +ƒ−a p pT t t p a (8)В дальнейшем будем использовать обозначениеƒ=2a1/a2.Уравнение (8) является линейным дифференциаль-ным уравнением в частных производных первого по-рядка. Оно решается методом характеристик [3]. Урав-нение для характеристик имеет вид( ) 1 1 .p 1 p p p dpdpT tdt ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒ= −+ ƒ=− (9)Интегрируя его, получим −ln (T − t) = ln p − ln (p + ƒ) −−ln C, что и дает явный вид характеристик( ) .+ ƒ−=pC p T t (10)Поэтому общее решение уравнения (8) имеет вид, ) ( ) , ( ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒ−ƒ = ϕpp t p T t (11)где ϕ(⋅) − произвольная функция.Вид общего решения найдем из того условия, что вмомент времени t = 0 Q(0) = Q0 с вероятностью 1. По-этому p(Q, 0) = ƒ(Q − Q0), откуда следует, что Ф (p, 0) == e− pQ0 . Это приводит к уравнениюp e pQ0 .pT − = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒϕ (12)Обозначим pT/(p + ƒ) = z. Тогда p = ƒz/(T − z) иуравнение (12) дает. exp ) ( 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛−ƒϕ = − T z Qz z (13)Отсюда и получаем явный вид функции Ф(p, t):. ) ( exp ) ( ) , ( 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒƒ −− = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒ−ƒ = ϕ pt T Qp T tpp t p T t (14)Таблицы обратного преобразования Лапласа [4,формула 23.65, стр. 245] дают( ) 1 2 .1 exp 1 ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a QIaQea p bbQ(15)Так как( ) 1 , ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒƒ−−=+ ƒ− + ƒ − ƒ=+ ƒ−pt TTtT tpt Tpt T TtT tpt Tp T t,( )( ) ( )2 020 0 Qt p T tt Q T T tpt T Q T tp T t+ ƒƒ −ƒ +−= −+ ƒƒ −−то= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒƒ −− 0exp pt( T) Qp T t.( )exp 2 ( ) 020⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ƒƒ −= ƒ−− Qt p T te T T t t QT t(16)Сравнивая с (15) и беря b = ƒT/t, 1/a = ƒ2T(T − t)Q0/t2,получим окончательно( )⎢ ⎢⎣⎡−= − − ƒ ƒ + ƒ −ƒ2 1, ( ) 0 / ( ) 0 / ( ) 0 It Qp Q t e T t Q t Q e TQ t T T t Q2 ( ) 0 .22 ⎥⎥⎦⎤⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ− Q QtT T t (17)Отметим особую роль слагаемого e−(T −t )ƒQ0 t ƒ(Q) , со-держащего ƒ-функцию. Оно возникает потому, что ве-личина покупки является случайной и, в принципе, мо-жет прийти покупатель и купить весь оставшийся то-вар, и тогда для продавца все закончится. Математиче-ски это происходит потому, что в точке, где Q(to) = 0 упроцесса Q(t) равны нулю и коэффициент сноса и ко-эффициент диффузии, и поэтому при t > t0 Q(t) = 0.Этот результат позволяет вычислить и некоторыедругие характеристики процесса продаж. Обозначимчерез ƒ величину промежутка времени от начала торго-вой сессии до того момента, когда будет продан весьтовар, т.е. длительность продаж. Тогда из вида рас-сматриваемого слагаемого следует, что, exp ) ( ) ( 0⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ−ƒ ≤ = = − ƒ t QP t F t T t (18)где Fƒ(t) есть функция распределения величины ƒ.Это позволяет вычислить, например, среднюю дли-тельность продаж. Имеем{ } (1 ( )) 1 .10 00 0 ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ =  − = −  ƒ −ƒƒ M F t dt T e Q e Q xdxT(19)Входящий сюда интеграл через элементарные функциине выражается.Найдем асимптотику M{ƒ} при ƒQ0 >> 1, т.е. прибольшой величине партии товара Q0. Тогда величинаB= 1/ƒQ01, ис-пользуя для этого метод линеаризации. Определим°2величинуM S a c c t dt a c c c0 001 0000 0 001 0 0 0 11 ( )( )(1 ( )) ( ){ } ( ) (1 ( )) ( ( ) ( ))Kƒ +ƒƒ + ƒ+= ƒ − ƒ +TTT c t dtQ c c ca c c t dt0000 0 0 001 0 0 0( ) ( )( ( ) ( ))( ) (1 ( ))KИнтеграл  − ƒTt dt0(1 0 ( )) уже был вычислен ранее -это M{ƒ} (20). Далее, Q0/T = a1ƒ(c0). Подставляя все этов предыдущее выражение и упрощая, получим1 .( )( ) 1 ( )0 0 000 0 1 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ⋅ƒƒ≈ ƒ +c c QS a c c T c (29)Заметим, что ƒ(c0) < 0 и поэтому S < a1c0ƒ(c0 )T,т.е. управление ценой с целью продать весь товар доокончания торговой сессии уменьшает среднее значе-ние выручки по сравнению с продажей по стационар-ной цене. Однако это уменьшение имеет порядок 1/ƒQ0и поэтому невелико. Оно является своеобразной «пла-той» за окончание продаж в срок.Найдем еще некоторые характеристики процесса Q(t).ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИПРОЦЕССА Q(T)Пусть R(t1, t2) = M{Q(t1)Q(t2)} − функция корреляциипроцесса Q(t) и R0(t1, t2) = R(t1, t2) − M{Q(t1)}M{Q(t2)} −функция корреляции его флуктуаций.Пусть далее t2 > t1. Тогда имеем( ) ( ) ( ) ( 2 ) .22122222 T t dw tQ taT t dt adQ t Q t −+−= −Умножив на Q(t1) получим( ) ( ) ( ) .( ( ) ( )) ( ) ( )222121221 22 1 2T t dw tQ taQ t aT t dtdt Q t Q t Q t Q t−++−= −Наконец, усредняя по реализациям, получаем диф-ференциальное уравнение для R(t1, t2):R(t1, t2)/t2 = R(t1, t2)/(T − t).Его общее решение имеет видR(t1, t2) = C(t1) )(T − t2).Полагая t2 = t1, получаемR(t1, t1) = C(t1)(T − t1), C(t1) = R(t1, t1)/(T − t1),откуда следует вид R(t1, t2):( , ) ( , ) .121 2 1 1 T tR t t R t t T − t−=Так как R(t1, t1) = ( , ) ,2101 1 0 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+T tR t t Q то( , ) { ( )} { ( )},( , ) ( , )1 2120 1 1122101 2 0 1 1T t M Q t M Q tR t t T tT tT tT tR t t R t t Q+−−==−−⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= +откуда получается явный вид функции корреляциифлуктуаций процесса Q(t):( , ) ( , ) ( ) .121120 1 2 0 1 1 T tT t D t T tR t t R t t T t Q −−=−−= (30)Для нормированной функции корреляции, учитываяявный вид дисперсии процесса Q(t) (6) получим( ) .( )( ) ( )( , ) ( , )2 11 21 20 1 21 2 t T tt T tD t D tr t t R t tQ Q−−= = (31)ПЕРЕХОДНАЯ ПЛОТНОСТЬВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА Q(T)Пусть Q(t) = Qi, i = 1, 2, и, как и ранее, t2 > t1. Рас-смотрим функцию ( , 2 , 1) { | ( 1) 1} .ƒ p t t = M e− pQ2 Q t = QАналогично тому, как это сделано выше, ее явныйвид следующий: ( , , ) ( 2 ) ,1 2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒ−ƒ = ϕpp t t p T t где ϕ(⋅) −неизвестная функция. Ее вид находится из граничногоусловия ( , , ) 1 .1 1ƒ p t t = e− pQ Отсюда ( ) . p 1 e pQ1t T p − = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ ƒ−ϕДелая замены (p 1) z,p T t =+ ƒ−,1 T t zp − z −ƒ= получим,что ( ) exp 1 ,1⎟⎠⎞⎜⎝⎛− −ƒϕ = − T t z Qz z( ) ( ) .( , , ) exp ( ) 12 1 121 2 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛− + ƒ −ƒ −ƒ = − p t t T t Qp t t p T t (32)Обратное преобразование Лапласа дает⎢⎣( , | , ) = − − ƒ − ⎡ƒ( 2 ) +( ) ( )2 2 1 1p Q t Q t e T t2 Q1 t2 t1 Q−− −+ ƒ − − ƒ −1222 1( ) ( ) 1 2 1( )( )( ) 1 2 2 1 It t Qe T t Q t t T t T t Q( )( )( ) 2 1 2 .222 11 2⎥ ⎥⎦⎤⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ−− − Q Qt tT t T t (33)Совместная плотность вероятностей p(Q2 ,t2 ;Q1,t1) == p(Q2 , t2 |Q1,t1) p(Q1,t1) в явном виде не выписана из-за громоздкости. Ее знание позволяет вычислить дис-персию величины выручки S.

Скачать электронную версию публикации