Optimum control of dynamic advertising in the problem of manufacture and selling of the goods.pdf В настоящее время разрабатывается новое научное на-правление - динамическая экономика, когда в качестве мате-матических моделей экономических процессов выбираетсясистема дифференциальных или разностных уравнений. Длязадач производства, хранения и сбыта товаров достаточноудачной является модель, изложенная в [1−3]. В [4] прово-дится дальнейшее обобщение этой модели, связанное с вклю-чением в задачу проблемы влияния рекламы на темп прода-жи. Можно рассматривать задачи со статической и динами-ческой рекламой. В [4] рассмотрен вариант статической рек-ламы. В настоящей работе обсуждается задача с динамиче-ской рекламой. Для простоты решения рассматривается уп-рощенная модель с товаром неограниченного спроса и отсут-ствием затрат на его хранение.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть z(t) − количество товара на складе произво-дителя. Изменение этой величины можно описать урав-нениемz& = u − P, z(0) = 0, (1.1)где u(t) - темп производства; P(t) - темп продажи, т.е.u(t)ƒt - количество товара, произведенного за время ƒt;P(t)ƒt - количество товара, проданного за это же время.Здесь и далее все величины имеют стоимостное выра-жение и не могут быть отрицательными. Для простотыизложения будем рассматривать задачу с товаром не-ограниченного спроса. В этом случае функция P(t) независит от количества товара у покупателя и ее, со-гласно [1, 3], можно выбрать в виде P(t) = z(t)N(c(t),w(t)),где N(c,w) - покупательная способность потребителя,зависящая от цены товара c(t) и количества затрат нарекламу w(t). Более конкретно эту функцию, согласно[1, 3], можно выбрать в виде N(c,w) = f(w)exp{-c}, гдеf(w) - некоторая монотонно возрастающая функция, ха-рактеризующая зависимость покупательной способно-сти от количества рекламы. Можно рассмотреть разныеварианты задания функции f(w). Но чтобы подробнообсудить особенности задачи, рассмотрим простейшийслучай, когда эта функция линейная, т.е. будем рас-сматривать случай, когдаP(t) = bw(t))z(t)exp{-c(t)}, (1.2)где b - какой-то коэффициент, который можно тракто-вать как потенциальная привлекательность товара. Втакой постановке задачи нужно еще уточнить зависи-мость количества рекламы w(t) от затрат на нее v(t). Вданной работе рассмотрим случай динамической рек-ламы, когда зависимость между w(t) и v(t) задаетсяуравнениемw& = −kw + v, w(0) = 0, (1.3)где k − какой-то коэффициент, характеризующий поте-ри рекламы (k ≥ 0). Примером статической рекламы мо-гут служить установленные рекламные щиты, приме-ром динамической рекламы − реклама в СМИ, когдапотребители, увидев рекламу, о ней через какое-то вре-мя забывают. Модель (1.2) предполагает, что в отсут-ствие рекламы товар не продается. Вариант, когда вотсутствие рекламы товар все-таки продается, можноучесть, заменив в (1.2) w(t) на 1+w(t). Однако, как вид-но из (1.3), такую замену делать необязательно. Доста-точно в (1.3) взять начальное условие w(0) = 1. Однакотакое дополнение не играет существенной роли в полу-ченном ниже решении задачи.Пусть весь процесс продолжается в течение некото-рого конечного интервала времени [0, Т]. Общий доходпроизводителя товара равен=  − −TJ c t P t u t v t ) dt0[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] . (1.4)Для уточнения отметим, что v(t)- темп затраты нарекламу, т.е. v(t)ƒt - количество средств, затраченныхна рекламу за время ƒt. Очевидно, что все рассматри-ваемые параметры и переменные не могут быть отри-цательными. Будем также предполагать, что должнывыполняться условия0

Скачать электронную версию публикации