Management of investment portofolio.pdf Постановка задачи в данной работе аналогична постановкамв работах [1, 2]. В [1] модель инвестиционного портфеля строит-ся в пространстве состояний, компонентами вектора состоянияявляются объемы инвестиций в рисковые и безрисковые активы,а задача управления стохастической системой формулируется ввиде эквивалентной задачи управления детерминированнойсистемой, описываемой уравнением динамики вторых моментовсостояния. В [2] для построения инвестиционного портфеляиспользуется метод локальной оптимизации. В данной работесостояние портфеля описывается суммарным капиталом, вкла-дываемым в рисковые и безрисковые активы.МОДЕЛЬ ПОРТФЕЛЯОбозначим через W(t) количество капитала. В каж-дый момент времени t капитал может быть распределенследующим образом: доля капитала u(t) вкладывается врисковой актив, а оставшаяся доля 1 - u(t) - в безрис-ковой актив. Всегда0 ≤ u(t) ≤ 1. (1)Обозначим через r − доходность безрискового акти-ва. Цена рискового актива является случайной величи-ной и удовлетворяет стохастическому дифференциаль-ному уравнению dS(t) = aS(t) dt + σS(t) dω(t), где a -среднее значение доходности рискового актива S(t), σ -волатильность, ω(t) - винеровский процесс. Далее восновном будем считать, что a > r. Капитал портфеляW(t) удовлетворяет уравнению [3]dW (t) = h(u)W (t) dt + σ u(t)W (t) dω (t), W (0) = W0, (2)где W0 - начальный капитал; h(u) = (a −r) u+r.Уравнение (2) относится к уравнениям квазилиней-ного типа, для которых характерно то, что уравнениядля первых двух моментов образуют замкнутую систе-му[4]. Если обозначить через m(t) и M(t) первые дваначальных момента процесса W(t), то они удовлетво-ряют уравнениям( ) , (0) ,( ) , (0) ,200M g u M M Wm h u m m W= == =&&(3)где g(t)=2 h(u) + σ2u2.Если управление u(t) задано, то решение уравнений(3) можно записать в виде = = ƒ=t ttM t W g u dt m t u dtm t W h u dt0 02 2 2 2000( ) exp ( ) ( ) exp .( ) exp ( ) ,(4)Можно рассмотреть разные задачи об оптимальномуправлении портфелем.ТЕРМИНАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИЗадача 1. Найти такую функцию u(t), при которойзначение m(T) максимально. Здесь Т - заданный мо-мент времени.Эта задача решается просто. Так как темп ростасреднего капитала определяется функцией h(u), то оп-тимальное управление равно⎩ ⎨ ⎧ 1 при .( ) 0 при r a,u t r a (5)Однако при таком решении возможна большая дис-персия значения W(Т). Чтобы ее уменьшить, рассма-триваются другие задачи. Основная идея состоит в том,чтобы при большом W(t) выбирать управление u(t) дос-таточно малым, чтобы уменьшить случайную состав-ляющую в (2). Однако при малом σ управление (5)должно давать хороший результат.Задача 2. На интервале времени [0, T] найти такуюфункцию u(t), при которой максимально значениеJ = E{(W(T) − f *)}= M(T) − 2m(T) f *+ f *2 , (6)где E{ } означает математическое ожидание; f*- же-лаемое значение конечного капитала W(T).Решение выполним с помощью принципа максиму-ма Л.С. Понтрягина. Для этого введем вспомогательныепеременные р1(t) и р2(t) и на основании уравнений (3)составим функцию ГамильтонаH(m, M, p1, p2 , u) = p1h(u)m+ p2g(u)M =2 ,0 1 2= H + H u + H u (7)гдеH0 = rs, H1 = (a - r) s, H2 = σ2p2M, s = p1m + 2p2M. (8)Переменная р1(t) должна удовлетворять уравнениюp&1=− H/m=− hp1, p1 (T) = 2 f *, (9)а переменная р2(t) - уравнению2 2 , 2 ) 1. p& =− H*/M=− gp p (T = − (10)Решение этих уравнений равно= −=TtTtp t g u dtp t f h u dt( ) exp ( ) .( ) 2 *exp ( ) ,21(11)Если не учитывать ограничение (1), то максимумфункции H по u достигается при= ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ−= − = −2 ( ) ( )( ) 2 ( )222* 1p t M ta r s tHu t H2 ( ) ( ) 1 .( ) ( )212 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ−= −p t M ta r p t m t (12)С учетом ограничения (1) оптимальное управлениеравно⎪⎩⎪⎨⎧

Скачать электронную версию публикации