Optimal stabilization of the market described by the modified Walras?Marshall dynamical model in the space of variables «suggestion?price?demand» ..pdf Проблема изучения и математического описания динамикиповедения рынка во времени в окрестности точки рыночногоравновесия является сравнительно новой. Если вопросы стати-ческого равновесия рынка изучаются уже достаточно давно,начиная с основополагающих трудов Леона Вальраса и Альф-реда Маршалла, так что многие важные результаты этих ис-следований стали классическими и вошли в учебники эконо-мики (см., например, [1]), то вопросы динамики рынка все ещеостаются слабо исследованными. Процессы «нащупывания»равновесия по Вальрасу и Маршаллу, описываемые дифферен-циальными соотношениями первого порядка [1], можно счи-тать простейшими динамическими математическими моделямиповедения рынка во времени, объясняющими механизм пере-хода рынка от неравновесного состояния к равновесному. Наоснове этих моделей можно строить различные модификациидинамических моделей рынка, включающие в себя учет раз-личных факторов, так или иначе влияющих на взаимодействиеспроса, предложения и цены товара на рынке.В [2] мы рассмотрели одну из таких модификаций дина-мической модели Вальраса−Маршалла - линейную динами-ческую модель второго порядка без учета запаздывания реак-ции предложения на изменение рыночной цены.В данной работе рассматривается модель более высокого(третьего) порядка, описывающая рынок системой линейныхдифференциальных уравнений третьего порядка без учета за-паздывания в пространстве переменных «предложение - цена -спрос». Эта модель является модификацией и обобщениемлинейной динамической модели Вальраса−Маршалла [1] впредположении возможности мгновенной реакции объемапредложения на изменение цены товара и рыночного спроса.Рассмотрены как детерминированная модель рынка, не учиты-вающая возможных случайных возмущений состояния рынка,так и стохастическая модель, учитывающая наличие такихвозмущений. Поставлена и решена задача оптимальногоуправления рынком, ускоряющего перевод рынка из неравно-весного состояния в равновесное и обеспечивающего опти-мальную стабилизацию рынка в состоянии равновесия.ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЫНКАПЕРВОГО ПОРЯДКАПО ВАЛЬРАСУ И МАРШАЛЛУДинамическая модель поведения рынка по Вальра-су-Маршаллу хорошо известна [1]. Пусть Q(t) - объемпродаж в текущий момент времени t, P(t) - рыночнаяцена товара, QD(t) - спрос на товар, QS(t) - предложе-ние товара, PD(t) - цена спроса, PS(t) - цена предложе-ния. Объемы спроса и предложения зависят от рыноч-ной цены товара P(t): QD (t) = QD(P(t)), QS (t) == QS(P(t − ƒ)). Цены спроса и предложения, в свою оче-редь, зависят от объема продаж: PD(t) = PD(Q(t)), PS(t)==PS(Q(t)). Здесь τ - задержка во времени, связанная стем, что для производства товара и доставки его на ры-нок требуется некоторое время τ. Поэтому объем пред-ложения в момент времени t определяется рыночнойценой товара в предшествующий момент времени t − ƒ.Процесс «нащупывания» равновесия по Вальрасуописывается дифференциальным уравнением с запаз-дывающим аргументом вида [1]( ) = h(Q (P(t))−Q (P(t − ƒ)))= hƒQ (P), h > 0,dtdP t D S D (1)где ƒQD(P) - избыток спроса при цене P. Очевидно, приƒQD(P) > 0 рыночная цена повышается, при ƒQD(P) < 0- понижается, а при ƒQD(P) =0 выполняется условиеравновесия спроса и предложения: ƒQD(P) = ƒQS(P).По Маршаллу процесс взаимодействия спроса ипредложения описывается дифференциальным уравне-нием [1]( ) = k(P (Q(t)) − P (Q(t)))= kƒP (Q), k > 0,dtdQ t D S D (2)где ƒPD(Q) - превышение ценой спроса цены предло-жения при объеме продаж Q. Очевидно, при ƒPD(Q) > 0объем предложения возрастает, при ƒPD(Q) < 0 - сни-жается, а при ƒPD(Q) = 0 выполняется условие равно-весия цены спроса и цены предложения: PD(Q) = PS(Q).В простейшем случае (в отсутствие резких колеба-ний рыночной цены) спрос и предложение зависят отрыночной цены линейно [1]:QD (t) = QD (P(t)) = a − bP(t) ,QS (t) = QS (P(t − ƒ)) = c + gP(t − ƒ) , (3)где коэффициенты a, b, c, g - константы рынка на те-кущем интервале времени (не обязательно положи-тельные, хотя обычно b > 0, g > 0, причем a > c). Тогдауравнение Вальраса (1), описывающее динамику ры-ночной цены товара, принимает вид( ) = h((a − bP(t))−(c + gP(t − ƒ))), h > 0 .dtdP t (4)В отсутствие запаздывания (ƒ = 0) это уравнениеупрощается:( ) ( ( ) *) ,0 P t PdtdP t = − ƒ − (5)где ƒ0 = h(b + g) > 0, P*= (a − c)/(b + g) - равновесноезначение цены товара (точка покоя уравнения (5)).Уравнение (5) - уравнение апериодического движения.Общее решение этого уравнения имеет вид экспонен-циальной кривой:( ) 0 exp ( 0 ) ,P t = P* +C − ƒ t (6)где C0 - произвольная постоянная. При решении задачиКоши с заданным начальным условием P(t0) = P0 константаC0 принимает конкретное значение C0 = (P0 − P*) exp (ƒ0t0),так что( ) ( ) exp ( 0( 0)) .*0P t = P* + P − P − ƒ t − t (7)Поскольку ƒ0 > 0, решение (6) уравнения (5) асим-птотически устойчиво, то есть при t   неограничен-но приближается к точке равновесия P*.При очень малой задержке (ƒ ƒ0. Характерповедения решения такой же, как в предыдущем случае.При не слишком малой задержке (ƒ < 1/(gh), но ƒ2 0, A > C.Поскольку уравнение (2) не содержит запаздывания ипо форме ничем не отличается от уравнения (4) при ƒ = 0,его можно записать в форме уравнения (5):( ) ( ( ) *) ,0 Q t QdtdQ t = −ƒ − (12)где ƒ0 > 0, Q* - равновесное значение объема продаж(товаров на рынке). Уравнение (12) - уравнение апе-риодического движения. Общее решение этого уравне-ния имеет вид экспоненциальной кривой:( ) 0 exp( 0 ) ,Q t = Q* + C − ƒ t (13)где C0 - произвольная постоянная. При решении задачи Ко-ши с заданным начальным условием Q(t0) = Q0 константа C0принимает конкретное значение C0= (Q0 − Q*) exp (ƒ0t0), такчто( ) ( ) exp ( 0( 0)) .*0Q t = Q* + Q −Q − ƒ t − t (14)Поскольку ƒ0 > 0, решение (14) уравнения (12)асимптотически устойчиво, то есть при t   неограни-ченно приближается к точке равновесия Q* (точка Q* -устойчивый узел).МОДИФИЦИРОВАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА,ОБОБЩАЮЩАЯ РЫНОЧНУЮ МОДЕЛЬВАЛЬРАСА−МАРШАЛЛАЛинейная модель Вальраса−Маршалла (5), (12) безучета запаздывания (ƒ = 0), т.е. при мгновенной реак-ции предложения товара на изменение рыночной ценыприводит, как видим, к апериодическому движениюрынка к состоянию равновесия. В этой модели ско-рость изменения каждой переменной состояния рынкаопределяется отклонением только этой переменной отравновесного значения. Таким образом, эта модель яв-ляется системой не связанных между собой дифферен-циальных уравнений первого порядка, каждое из кото-рых описывает поведение только одной из перемен-ных, определяющих состояние рынка, независимо другот друга. Однако естественно предположить, что ско-рость изменения каждой переменной определяется нетолько отклонением от положения равновесия этойпеременной, но в определенной степени и от соответ-ствующего отклонения от положения равновесия дру-гой переменной. Модифицировав с учетом этого пред-положения систему дифференциальных уравнений (12),(5), приведем ее к видуd t( ) b ( Q (t) Q*) r (P (t) P*) ;dQ t = − − + − (15)d t( ) a (P (t) P*) q (Q (t) Q*) ,dP t = − − − − (16)где a > 0, b > 0, q > 0, r > 0 - коэффициенты системы.Как видно, рыночная цена падает, если она большеравновесного значения и (или) если рынок затоварен(объем предложения больше равновесного). И наобо-рот, рыночная цена растет, если она меньше равновес-ного значения и (или) если имеется дефицит товара нарынке (объем предложения меньше равновесного).Точ-но так же объем предложения растет, если имеется де-фицит товара и (или) если рыночная цена выше равно-весного значения. И наоборот, объем предложения па-дает, если рынок затоварен и (или) если рыночная ценаменьше равновесного значения.Система уравнений (15)-(16) описывает модифициро-ванную модель рыночной динамики Вальраса−Маршал-ла. Уравнения этой модели оказываются связанными ме-жду собой. Это модель второго порядка. В ней возможныкак апериодические, так и колебательные движения. Онадостаточно подробно исследована нами в [3], где показа-но, что положение равновесия рынка, описываемого та-кой моделью, асимптотически устойчиво при любых зна-чениях параметров модели. Там же показано, как синте-зировать оптимальное управление, ускоряющее переводрынка из неравновесного состояния в состояние равнове-сия и стабилизирующее его в этом состоянии.МОДИФИЦИРОВАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА,ОБОБЩАЮЩАЯ РЫНОЧНУЮ МОДЕЛЬВАЛЬРАСА−МАРШАЛЛАРассмотренные выше модели рынка Вальраса−Мар-шалла как первого (5), (12), так и второго порядка (15),(16), содержат производные по времени только от двухпеременных - объема продаж Q(t) и рыночной цены то-вара P(t). Очевидно, более реалистичной была бы мо-дель, содержащая производные по времени не от объемапродаж, а от объемов спроса QD(t) и предложения QS(t).При этом объем продаж в каждый данный момент вре-мени определялся бы как минимальная из величин QD(t)и QS(t): Q(t) = min (QD(t), QS(t)).Пусть равновесная рыночная цена товара равна P*, аравновесные объемы спроса, предложения и продаж(естественно, одинаковые) равны Q*. Тогда по анало-гии с системой (15)-(16) можно записатьdt( ) = − b ( Q (t) − Q*)+dQ t SS SS+ r S(P (t) − P*)+ bSD ( QD (t) −Q* ) ; (17)d t( ) = − q ( Q (t) −Q*) −dP t S S− a (P (t) − P*) + qD ( QD (t) − Q* ) ; (18)dt( ) = − b ( Q (t) −Q*) −dQ t DS SD− r D(P (t) − P*)− bDD ( QD (t) −Q* ) , (19)где все коэффициенты bSS, rS, bSD, qS, a, qD, bDS, rD, bDD -не отрицательны. Действительно, затоваривание рынка(QS(t) > Q*) должно приводить к уменьшению объемапредложения QS(t), т.е. уменьшать скорость поставкитоваров на рынок - левую часть уравнения (17), что иотражает вид первого слагаемого в правой части урав-нения (17). В то же время превышение рыночной ценойее равновесного значения (P(t) > P*) стимулирует по-ставщиков товаров увеличивать объемы предложенияQS(t) для получения более высокой прибыли, что и от-ражено в структуре второго слагаемого в правой частиуравнения (17). Наконец, превышение спросом равно-весного значения (QD > Q* - «ажиотажный» спрос)также стимулирует поставщиков увеличивать предло-жение товара, пользующегося в данный момент повы-шенным спросом, что и отражено в структуре третьегослагаемого в правой части уравнения (17). Домини-рующую роль играет здесь второе слагаемое (высокиерыночные цены являются главным фактором увеличе-ния объемов предложения, роста поставок товаров нарынок). Заметим, что изменение знака коэффициента припервом слагаемом на противоположный приведет к поте-ре устойчивости рыночного равновесия. Затовариваниерынка станет прогрессивно нарастать, а это приведет крезкому падению цен, ажиотажному спросу и товарномудефициту. Таким образом, при измененном знаке пер-вого коэффициента дефицит станет прогрессивно на-растать, цены будут неограниченно расти, платежеспо-собный спрос упадет до нуля и рынок развалится.Далее, затоваривание рынка (QS (t) > Q*) в нормаль-ных условиях должно приводить к снижению рыноч-ной цены, а слишком высокие цены (P(t) > P*) будут,по-видимому, тормозить дальнейший рост цен (хотяэто и не обязательно, возможен и противоположныйпроцесс). В то же время повышенный спрос (QD(t) > Q*)должен приводить к росту цены. Все эти особенностиповедения рынка обеспечивает структура правой частиуравнения (18). Доминирующую роль играет здесь пер-вое слагаемое (избыток предложения товара на рынкеявляется главным фактором снижения его цены). Из-менение знака коэффициента при втором слагаемом невлияет на устойчивость рыночного равновесия. Вообщеэтот коэффициент не играет существенной роли и мо-жет быть принят равным нулю.Наконец, затоваривание рынка (QS(t) > Q*) и слиш-ком высокие цены (P(t) > P*) должны отрицательновлиять на спрос, уменьшать его, а «ажиотажное» по-вышение спроса (QD(t) > Q*)) должно тормозить егодальнейший рост. Все это отражено в структуре правойчасти уравнения (19). Доминирующую роль здесь игра-ет второе слагаемое (высокие цены являются главнымфактором снижения платежеспособного спроса). Еслиизменить знак коэффициента при третьем слагаемом напротивоположный, рыночное равновесие станет неус-тойчивым: ажиотажный спрос будет прогрессивно инеограниченно нарастать, сметая товары с рынка, чтоприведет к неограниченному росту цен, падению донуля платежеспособного спроса и развалу рынка.Динамическая модель рынка (17)-(19) содержит три ли-нейных дифференциальных уравнения для трех переменныхсостояния рынка - объема предложения, рыночной цены иобъема спроса, т.е. является моделью третьего порядка.ФОРМАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИВведем вектор состояния рынка y(t) (фазовый век-тор) как вектор-столбец с компонентами y1(t) = QS(t),y2(t) = P(t), y3(t) = QD(t), а y0 - вектор-столбец начально-го состояния рынка в момент времени t0 с компонентамиy01 = QS = QS(t0), y02 = P0 = P(t0), y03 = QD 0 = QD(t), y* - век-тор-столбец состояния равновесия рынка такой, что*1 y = Q*, *2 y = P*, *3 y = Q*. Введем матрицу A коэффи-циентов системы уравнений (17)-(19):A .⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡− − −− −−=DS D DDS DSS S SDb r bq a qb r b(20)Тогда систему дифференциальных уравнений (17)-(19) можно записать в компактной векторно-матричнойформе( ( ) ( ) ) , ( ) .0 0ydt = A y t − y* y t = yd t (21)При выбранных знаках коэффициентов системы(17)-(19) вещественные части собственных чисел мат-рицы A отрицательны: Reƒ1 < 0, Reƒ2 < 0, Reƒ3 < 0.Следовательно, состояние равновесия y* устойчиво ирешение y(t) векторного дифференциального уравне-ния (21) при любом начальном условии y0 стремится кэтому состоянию. Однако переход рынка к состояниюравновесия происходит достаточно медленно. Для ус-корения этого перехода целесообразно использоватьоптимальное управление переменными состояния рын-ка. Кроме того, при изменении знаков у некоторых ко-эффициентов (например, у bSS или bDD) на противопо-ложные положение равновесия системы теряет устой-чивость, цены беспредельно повышаются, платежеспо-собный спрос падает до нуля, рынок разваливается.Для стабилизации рынка в состоянии равновесия вэтом случае также требуется оптимальное управление.При наличии случайных возмущений рынка (слу-чайных колебаний предложения, цены и спроса) де-терминированная динамическая модель рынка (21)принимает форму диффузионной модели, описываемойвекторным стохастическим дифференциальным урав-нением Ито:dy(t) = A(y(t) − y* )dt + Sƒdƒ(t) , ( ) 0 0 y t = y , (22)где ƒ(t) - стандартный векторный винеровский случай-ный процесс (гауссовский векторный случайный про-цесс с независимыми компонентами ƒi(t), i = 1, n , имею-щими независимые приращения d i (t) i (t dt) i (t) ƒ = ƒ + − ƒ ,для которых M { d i (t) } 0 , M { (d i (t))2 } | dt | , ƒ = ƒ = где M -знак математического ожидания). Пусть для простотывозмущения по каждой переменной векторы состояниянезависимы. Тогда матрица Sƒ коэффициентов приприращениях винеровского процесса будет диагональ-ной. Если рассматривать каждую компоненту произ-водной винеровского процесса dƒi (t)/dt как «белый»шум с единичной спектральной плотностью мощности,то ( ƒ ) = ƒ Sii Gi 2 будет спектральной плотностью мощно-сти «белого» шума Siƒi dƒi (t) dt , возмущающего i-юкомпоненту вектора состояния системы (22). ВеличиныƒGi называют также коэффициентами диффузии про-цесса (22). Следовательно, ƒ = ƒ Sii Gi , i = 1, n .ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯРЫНКОМ И СТАБИЛИЗАЦИИ РЫНКАВ ПОЛОЖЕНИИ РАВНОВЕСИЯВведя в правую часть уравнений (21) или (22)управляющий фактор u(t), получим уравнения управ-ляемого движения:( ( ) ) ( )( ) t * tdtdy t A y y Bu = − + , ( ) y t0 = y 0 , (23)(в детерминированном случае) иdy(t) = A(y(t) − y* )dt + Sdƒ(t) + Bu(t)dt (24)(в стохастическом случае), где B - матрица передачиуправления; u(t) - вектор управления, y0 - вектор на-чальных условий (состояние рынка в начальный мо-мент времени t0). Известно [4], что система управляемапо всем переменным состояния, если ранг матрицыуправляемости полный (rank [B, AB] = n, где n -поря-док системы; в данном случае n = 3). Примем в качест-ве критерия оптимальности управления детерминиро-ванной системой взвешенный квадратичный критерийминимума отклонения состояния рынка от равновесияи минимума «энергетических» затрат на управление: (( t − ) ( t − )+ t t )dt +tt1 T T0y( ) y* R y( ) y* u ( )Qu( )( ) ( )u yy y P y y,*1 1*+ (t1 ) − (t ) −  min T , (25)где t0, t1 - границы интервала времени управления; R, P1 -заданные неотрицательно определенные симметричные ма-трицы коэффициентов квадратичных форм критерия (25); Q- заданная положительно определенная симметричная мат-рица. Обычно эти матрицы - диагональные. Матрица Q -«штрафная» для управления. Она характеризует уровень«ресурса управления» (чем меньше ее диагональные элемен-ты, тем выше «ресурс управления», и наоборот).В стохастическом случае вместо критерия (25), ко-торый в этом случае становится случайным, использу-ется его математическое ожидание:(( ) ( ) )⎪⎩⎪⎨ ⎧M  t − t − + t t dt +tt1 T T0y( ) y* R y( ) y* u ( )Qu( )( ) ( )} u yy y P y y,*1 1*+ (t1 ) − (t ) −  min T . (26)Задача минимизации квадратичного функционала (25)при детерминированных линейных дифференциальныхсвязях (21) хорошо известна [4, 5] как задача А.М. Летова -Р. Калмана аналитического конструирования оптимальногорегулятора (АКОР). Ее решение приводит к оптимальномууправлению в форме обратной связиu(t) = −Q−1BT P(t)(y(t) − y*), (27)где P(t) - матрица, являющаяся решением матричногодифференциального уравнения РиккатиP P A A P P BQ B P R = − ( ) − ( ) + ( ) − ( ) −( ) t t t 1 tdtd t T T (28)с граничным условием P(t1) = P1 на правом конце ин-тервала управления.В стохастическом случае возможны два варианта ситуа-ций: либо состояние рынка y(t) в каждый данный моментвремени точно известно системе выработки оптимальногоуправления (управляющему органу), либо точное знаниесостояния рынка не доступно, а доступны только наблюде-ния этого состояния, производимые с некоторой погрешно-стью (ошибкой). В первом варианте алгоритм управления неменяется по сравнению с детерминированным случаем, такчто оптимальное управление определяется формулами (27)-(28). Однако теперь уже управление действует на случайновозмущаемую систему (24), стабилизируя ее состояние вокрестности положения равновесия.Во втором варианте вектор состояния y(t) неизвес-тен управляющему органу, а доступен лишь векторизмерений z(t), производимых с ошибками:dz(t) = Hy(t) + Sƒdƒ(t). (29)Это наблюдаемый диффузионный процесс, в общемслучае k-мерный (k ≤ n), где ƒ(t) - стандартный вектор-ный винеровский случайный процесс, ƒ = ƒ Sii Gi ,i = 1, k , ƒGi - коэффициент диффузии (спектральнаяплотность мощности) i-й компоненты ошибок наблю-дений (29). В этом варианте вектор управления строит-ся не по вектору состояния y(t), а по вектору ) (t y )фильтрационных оценок состояния y(t), байесовскихоценок, обладающих минимальной дисперсией:u(t) = −Q−1BT P(t)(y)(t) − y*). (30)Оценки ) (t y ) являются апостериорным математическиможиданием вектора состояния y(t) при фиксированныхнаблюдениях z(t) на интервале времени наблюдения отначального момента t0 до текущего момента t. Ониподчиняются известным уравнениям фильтрации Кал-мана−Бьюси [6, 7]:dy) (t) = A(y(t) − y*)dt +K(t)(dz(t) −Hy) (t)dt)+ Bu(t)dt ,( ) 1 ( ) ( ) K t = D t HT Gƒ − , ( ) y 0 y 0 ) t = ) ; (31)D = AD + D A −D H (Gƒ)− HD +Gƒ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 t t t tdtd t T T ,( ) D t0 = D0, (32)где 0 y ) - начальная оценка вектора состояния; K(t) -коэффициент усиления фильтра; dz(t) Hy(t)dt − ) - «ин-новационный» (обновляющий) процесс;D(t) = M{(y)(t) − y(t))(y) (t) − y(t))T } -ковариационная матрица ошибок фильтрации, являю-щаяся решением матричного дифференциального урав-ения Риккати (32) с начальным условием D0, гдеM{( )( )T } 0 0 0 0 0 D = y) − y y) − y -начальная ковариационная матрица ошибок фильтра-ции. Уравнение управляемой стохастической системы(24) решается при начальном условии y(t0) = y0 совме-стно с уравнениями фильтрации Калмана−Бьюси (31)-(32) с использованием выражения (30) для оптимально-го управления.ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫРассмотрим примеры оптимальной стабилизациирынка с помощью управлений вида (24) в детермини-рованном случае и вида (30) в стохастическом. Пустьравновесное значение состояния рынка характеризует-ся вектором y* с компонентами * * 1001 y = Q = ,* * 102 y = P = , * * 1003 y = Q = . Пусть в начальный мо-мент времени t0 = 0 состояние рынка характеризуетсявектором y0 с компонентами *y01 = Q0S = 0.25y1 ,*y02 = P0 = 2y2 , *03 0 3 y = QD = y , т.е. начальный моментвремени на рынке имеется 75 %-й дефицит товара ирыночная цена на 100 % превышает равновесное зна-чение. Пусть параметры рынка (элементы матрицы A)имеют значения⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡− − −− −−=0.01 0.1 0.010.1 0.01 0.010.01 1 0.01A . (33)Собственные числа этой матрицы равны следующимзначениям:0.9912,0.5544 10.0893 ,0.5544 +10.0893 ,321ƒ = −ƒ = − −ƒ = −iiгде i = −1 - мнимая единица. Как видим, веществен-ные части всех собственных чисел матрицы A отрица-тельны, так что точка покоя (равновесия) рынка y* асим-птотически устойчива. Кроме того, два первых собст-венных числа - комплексно-сопряженные. Следователь-но, решение дифференциальных уравнений (21) или (22)неуправляемого движения рынка носит характер зату-хающих колебаний вокруг положения равновесия.В случае одновременного управления всеми перемен-ными рынка - поставкой товара, ценой и спросом - век-тор управления u(t) имеет три отличные от нуля состав-ляющие u1(t), u2(t) и u3(t), а квадратная 33 -матрица B -единичная диагональная. Ранг матрицы управляемости[B, AB] в этом случае равен 3, т.е. рынок управляем повсем переменным состояния. При управлениях по парепеременных QS и P, QS и QD, P и QD ранг матрицы управ-ляемости также равен 3, т.е. рынок тоже управляем повсем трем переменным состояния. При управлении толь-ко по QS, только по P или только по QD ранг матрицыуправляемости равен 2, т.е. не является полным - рынокуправляем не по всем переменным состояния.Активное управление рынком возможно как со сто-роны поставщиков товара (продавцов) через регулиро-вание режима поставки товара (предложение) и запра-шиваемой цены по правилам, предписываемым зако-ном оптимального управления, так и со стороны поку-пателей с помощью регулирования потребительскогоспроса (через искусственное повышение спроса илиорганизованный бойкот рынка) также по правилам,предписываемым законом оптимального управления.Хотя такое участие потребителей в управлении рынкомпредставляется достаточно проблематичным, рассмот-рим в нашем примере случай управления рынком черезвсе переменные состояния - поставки товара (предло-жение), цены и потребительский спрос. В этом случаеответственность за перевод рынка в состояние равно-весия и стабилизацию его в равновесном состояниивозлагается и на поставщиков товара (продавцов), и напокупателей.Итак, пусть вектор управления имеет все три со-ставляющие - u1(t), u2(t) и u3(t). Тогда матрица B -ди-агональная матрица размерности 33 . При этом рангматрицы управляемости является полным (равным 3), ирынок вполне управляем.Выберем в качестве матриц R и P1 единичные диа-гональные матрицы размерности 33 , а в качествематрицы Q - диагональную матрицу размерности 33с одинаковыми диагональными элементами, равными0.1. Возьмем t1 = 20.На рис. 1 приведен ход во времени детерминиро-ванного управляемого (жирные линии) и неуправляе-мого (тонкие линии) процессов (вверху - предложениеQS(t), в середине - цена P(t), внизу - спрос QD(t)).На рис. 2 приведен ход во времени составляющихвектора оптимального детерминированного управления(соответственно вверху - предложением, в середине -ценой, внизу - спросом).300y1=QSy1yu10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100102030y2=Py2yu20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10708090100110y3=QDty3yu3Рис. 1. Поведение во времени неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) невозмущаемых рынков0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100102030u10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-150-100-50050u20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-50510u3tРис. 2. Зависимость оптимальных управленийот времени в отсутствие возмущенийНа рис. 3−5 приведены фазовые траектории детер-минированного управляемого (жирные линии) и не-управляемого (тонкие линии) процессов соответствен-но в координатах: предложение (QS) - цена (P), пред-ложение (QS) - спрос (QD), цена (P) - спрос (QD).0 50 100 150 200 250-50510152025y1=QSy2=Pyuy0y*yРис. 3. Фазовые траектории неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) невозмущаемых рынковв координатах «предложение - цена»Видно, что неуправляемый процесс совершает мед-ленно затухающие колебания, стремясь к положениюравновесия. Управляемый процесс значительно быст-рее приводит рынок из неравновесного состояния всостояние равновесия, чем неуправляемый.0 50 100 150 200 250707580859095100105y1=QSy3=QDyuy0y*yРис. 4. Фазовые траектории неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) невозмущаемых рынковв координатах «предложение - спрос»-5 0 5 10 15 20 25707580859095100105y2=Py3=QDyuy0y*yРис. 5. Фазовые траектории неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) невозмущаемых рынковв координатах «цена - спрос»Аналогичные результаты получаются и при опти-мальном управлении рынком в условиях воздействия нанего случайных факторов. Это могут быть и случайныеколебания поставок товаров на рынок (случайные коле-бания предложения), и случайные колебания рыночнойцены, и случайные колебания спроса. Последние пред-ставляются наиболее естественными из возмущающихфакторов (покупательский спрос едва ли остается посто-янным, он все время флуктуирует в силу естественныхпричин, связанных со статистичностью самого ансамбляпокупателей). Поэтому ниже рассмотрен пример управ-ления рынком (его стабилизации) в условиях случайныхколебаний только спроса (хотя принципиально ничего неизменилось бы при случайных возмущениях состояниярынкаплотности мощности которых равны соответственно1 4 Gƒ = , 2 0,2025, Gƒ = 3 0,09, Gƒ = так что 11 2 S ƒ = ,22 0,45, S ƒ = 33 0,3 S ƒ = (наблюдения за вектором состоя-ния рынка - не очень точные).На рис. 6 приведен ход во времени реализации слу-чайного колебания спроса, возмущающего рынок. Коле-бания спроса моделировались нами как случайный ку-сочно-постоянный («меандровый») нормальный процессс нулевым средним и дисперсией, равной спектральнойплотности мощности, деленной на величину шага дискре-тизации случайного процесса во времени, т.е. на величинуинтервала постоянства случайного воздействия. Можнопоказать, что в пределе при стремлении этого интервала кнулю «меандровый» процесс становится «белым» шумом,спектральная плотность мощности которого становитсяпостоянной, функция автокорреляции - дельтаобразной,дисперсия - бесконечно большой. Аналогичным образоммоделируется и шум наблюдения за состоянием рынка(независимо по каждой наблюдаемой компоненте векторасостояния). При компьютерном моделировании шаг дис-кретизации шума (интервал его постоянства) взят доста-точно малым (в 600 раз меньше длины интервала времениуправления).0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-30-20-100102030ksiQDtРис. 6. Случайные колебания спросаНа рис.7 приведен ход во времени управляемого(жирные линии) и неуправляемого (тонкие линии) про-цессов (вверху - предложение QS(t), в середине - ценаP(t), внизу - спрос QD(t)), случайно возмущаемых ко-лебаниями спроса.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100100200300y1=QSy1yu10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100102030y2=Py2yu20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10708090100110y3=QDty3yu3Рис.7. Поведение во времени неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии)случайно возмущаемых рынковНа рис. 8 приведен ход во времени составляющих векто-ра оптимального управления для случайно возмущаемогорынка (соответственно вверху - предложением, в середине -ценой, внизу - спросом). Оптимальное управление полученос использованием в алгоритме управления результатов обра-ботки наблюдений за состоянием рынка фильтром Калмана(оптимальных оценок вектора состояния рынка).0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-100102030u10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-150-100-50050u20 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-50510u3tРис. 8. Зависимость оптимальных управленийот времени при случайных возмущенияхНа рис. 9 приведены наблюдения за состоянием ры-нка (тонкие линии) в сравнении с истинным ходом пе-ременных состояния (жирные линии). Хорошо виденвременной ход ошибок наблюдения.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10050100150y1=QSz1yu10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100102030y2=Pz2yu20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 109095100105110y3=QDtz3yu3Рис. 9. Наблюдения во времени за состоянием рынкапри случайных возмущениях0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10050100150y1=QSyk1yu10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105101520y2=Pyk2yu20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 109698100102104y3=QDtyk3yu3Рис.10. Фильтрационные оценки состояния рынкапри случайных возмущенияхНа рис.10 приведены калмановские оценки состояниярынка по наблюдениям, показанным на рис. 9. Видно, чтофильтр Калмана оценивает предложение товара и егоцену значительно эффективнее, чем случайно флук-туирующий спрос.На рис. 11−13 приведены фазовые траектории уп-равляемого (жирные линии) и неуправляемого (тонкиелинии) процессов, описывающих поведение рынка соот-ветственно в координатах: предложение (QS) - цена (P),предложение (QS) - спрос (QD), цена (P) - спрос (QD) приналичии случайных колебаний рыночного спроса.0 50 100 150 200 250-50510152025y1=QSy2=Pyuy0y*yРис. 11. Фазовые траектории неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) возмущаемых рынковв координатах «предложение - цена»0 50 100 150 200 250707580859095100105110y1=QSy3=QDyuy0y*yРис.12. Фазовые траектории неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) возмущаемых рынковв координатах «предложение - спрос»-5 0 5 10 15 20 25707580859095100105110y2=Py3=QDyuy0y*yРис.13. Фазовые траектории неуправляемого (тонкие линии)и управляемого (жирные линии) возмущаемых рынковв координатах «цена - спрос»Видно, что и в условиях стохастических возмуще-ний неуправляемый процесс совершает медленно зату-хающие случайные колебания, стремясь к положениюравновесия. Управляемый процесс и в этом случае зна-чительно быстрее приводит рынок из неравновесногосостояния в состояние равновесия, чем неуправляемый.Однако из-за наличия возмущающих воздействий, по-стоянно выводящих рынок из состояния равновесия,система управления должна продолжать непрерывноработать, чтобы эффективно удерживать рынок в по-ложении равновесия. Без оптимального управления,стабилизирующего рынок в состоянии равновесия, ры-нок значительно медленнее возвращается в состояниеравновесия при каждом выведении его из этого состоя-ния. При наличии непрерывных стохастических воз-мущений рынка дисперсия его колебаний около со-стояния равновесия в случае использования стабилизи-рующего управления значительно меньше, чем в слу-чае отсутствия такого управления.Сравнивая рис. 11 с рис. 3, замечаем, что представ-ленные на них в координатах «предложение - цена»кривые практически не отличаются друг от друга. Раз-личие можно заметить только в непосредственной бли-зости от точки покоя (равновесия). Это значит, чтофлуктуации спроса слабо влияют на предложение то-вара и его цену. Подтверждение этому можно найтитакже в сравнении рис. 7 с рис. 1.Однако, сравнивая рис. 12 с рис. 4 в координатах«предложение - спрос», а также рис. 13 с рис. 5 в коорди-натах «цена - спрос», обнаруживаем существенные разли-чия между поведением рынка при наличии случайныхфлуктуаций спроса, возмущающих рынок, и в отсутствиетаких возмущений. В отсутствие флуктуаций спроса вели-чина спроса, равная в нашем примере первоначально сво-ему равновесному значению, на траектории (как неуправ-ляемой, так и управляемой) движения рынка к равновесиюсначала отклоняется от равновесного значения, но посленекоторых сложных движений снова приходит к равновес-ному значению. Флуктуации же спроса не позволяют пол-ностью стабилизировать рынок в положении равновесия.Это видно также и из сравнения рис. 7 с рис. 1 (координата«спрос» плохо стабилизируется в точке равновесия), и изсравнения рис. 8 с рис. 2 (оптимальное управление по ко-ординате «спрос» постоянно «борется» с возмущениями,создаваемыми случайными флуктуациями спроса).А НУЖНО ЛИ СТАБИЛИЗИРОВАТЬ РЫНОКВ ПОЛОЖЕНИИ РАВНОВЕСИЯ?До сих пор мы исходили из молчаливого предполо-жения, что стабилизация рынка в состоянии равновесиявыгодна его участникам. На интуитивном уровне этопредставляется вполне естественным. Но так ли это?Рассмотрим этот вопрос более внимательно примени-тельно к исследуемой здесь динамической моделирынка, описываемой в пространстве переменных со-стояния «предложение - цена - спрос».Пусть, как принято в нашем примере, начальное нерав-новесное состояние рынка характеризуется товарным де-фицитом (QS(t0) < QD(t0) = Q*) и повышенными ценами(P(t0) > P*). Казалось бы, такая ситуация выгодна постав-щикам товара. За меньшее количество товара, покупаемогоу производителя по некоторой определенной цене (скажем,C0P* < P*, где C0 < 1 - доля цены производителя по отно-шению к равновесной рыночной цене), можно получитьболее высокую выручку, продавая товар по сложившейся вначальный момент повышенной рыночной цене. Эта си-туация стимулирует поставщиков товара (продавцов) уве-личивать объем предложения, причем продажа всего това-ра гарантирована тем, что спрос выше предложения. В со-ответствии с законами естественного (неуправляемого)рынка, описываемого рассматриваемой здесь динамиче-ской моделью (см. рис. 3 или рис. 11), увеличение предло-жения до равновесной величины, равной спросу, не сопро-вождается снижением цены. Наоборот, цена достигает мак-симального значения, существенно превосходящего равно-весное. В этих условиях поставщик не в состоянии отка-заться от дальнейшего увеличения предложения. Однакопри этом начинается затоваривание рынка, поставщику неудается продать весь предлагаемый к продаже товар, егоизлишек приходится хранить, оплачивая хранение по цене,составляющей, например, долю C < 1 от рыночной ценытовара. Прибыль поставщика начинает снижаться. Нарас-тая, затоваривание рынка приводит (опять же в соответст-вии с законами рынка) к постепенному снижению цены доравновесного значения и ниже. В такой ситуации постав-щику становится невыгодно повышать объемы предложе-ния. Начинается снижение поставок товара на рынок. Од-нако рынок все еще сильно затоварен. Цены, естественно,начинают падать ниже равновесного значения. Это вынуж-дает поставщика, все еще несущего убытки, еще большеснижать объемы предложения. Наконец, цены достигаютминимального значения, спрос начинает расти, а предло-жение продолжает падать. Возникает и нарастает товарныйдефицит, товары распродаются полностью, но их не хвата-ет для удовлетворения растущего спроса. Поставщику,естественно, выгодно увеличивать объемы предложения(поставок товара на рынок), тем более что ему уже не нуж-но платить за хранение излишков товара, потому что ника-ких излишков нет. Есть дефицит, приводящий к росту цен,которые в один прекрасный момент оказываются вышеравновесных. Предложение достигает первоначальногозначения. Однако при этом объеме предложения цены ока-зываются несколько ниже первоначальных. Рынок завер-шает виток своего медленного движения к равновесию. Наследующем витке картина поведения рынка повторяется,но рынок еще немного приближается к равновесию. И такдалее, до тех пор, пока равновесие не будет достигнуто.А как же ведет себя суммарная прибыль поставщика(продавца) на траектории движения рынка к равновесию?Очевидно, в каждый данный момент времени t объ-ем продаж в единицу времени равен минимальному иззначений объемов спроса и предложения:Q (t) = min { QD (t), QS (t) } . (34)Продавая этот объем товара по рыночной цене P(t),продавец получает в единицу времени выручку S0(t) == P(t)Q(t). Если объем продаж в данный момент време-ни ниже объема предложения (Q(t) < QS(t), продавецвынужден платить за хранение непроданного товара(излишки товара на рынке) в каждую единицу временисумму CP(t)(QS(t) − Q(t)), уменьшающую его выручкуна эту величину:S0(t) = P (t)Q(t) −−CP(t)(QS (t) −Q(t))⋅1(QS (t) −Q(t)), (35)где⎩ ⎨ ⎧≤= > 0, если 01( ) 1, если x 0,x x - единичная ступенчатая фун-кция Хевисайда (индикатор положительности аргумента).Покупа

Скачать электронную версию публикации