Tests of linear hypotheses based on indicators.pdf Возможности построения статистических процедур во мно-гом определяются имеющейся априорной информацией о сто-хастической составляющей обрабатываемых данных. В работерассматривается класс квантильных априорных предположенийо случайных погрешностях измерений. Они формулируются ввиде суждений о квантилях распределения шумов, которые мо-гут быть известны с точностью до параметров.С одной стороны, такое описание априорной информацииадекватно в ряде практических применений, например, приобработке результатов физических экспериментов и стати-стических обследований. При изучении зависимостей кван-тильная априорная информация приводит к описанию про-гнозов в терминах квантилей условных распределений.С другой стороны, знание квантилей с точностью до пара-метров слабее параметрического задания формы распределения.Такая информация оставляет задачу на непараметрическом уро-вне неопределенности. В то же время имеется возможность опи-сывать неизвестный масштаб распределения с помощью интер-квантильного размаха, известного с точностью до параметра.Дадим формальное описание квантильной априорной ин-формации. Пусть, для определенности, Y1,…,Yn - скалярныеколичественные наблюдения, полученные в рамках линейноймодели с аддитивными, случайными и независимыми по-грешностями ƒ1,…,ƒn. Модель наблюдений опишем позднее, апока сосредоточимся на модели той априорной информациио распределениях погрешностей, с учетом которой мы соби-раемся строить статистические выводы. Пусть Fi - ф.р. с.в. ƒiи известно, что они могут различаться, но имеют общиеквантили заданных уровней, известные с точностью до пара-метров. Иными словами, существуют векторы параметровμi , при которыхFi(ck + dkμi ) = qk, k = 1,…, K-1, i=1,…, n, (1)где 0 < q1 B ƒ 0 JW JB ƒ 0 , (9)где статистика ( 0 , 0 ) ( ( 0 , 0 )) B ƒ ƒ =B s ƒ ƒ n определена как( ) ( 1( 1),..., 1( ), 2 ( 1),..., 2 ( ))= −1/2   B s n B s B sn B s B sn , W1n и W2nобразуют последовательности положительно определен-ных и невырожденных (в том числе в пределе) матриц,ƒ − множество допустимых значений параметров, т.е.{ : 2 M , ( , ), 1,..., } i K M i n ƒ = ƒ L ƒ c D = .В качестве tƒ можно взять квантиль уровня ƒ пре-дельного распределения с.в. ( ) 2 ( ) B s JW nJB s   или ис-пользовать квантиль точного распределения этой с.в.,которую можно получить методом Монте-Карло, еслииметь в виду, что P{si=k}=pk . В нормированном вари-анте 1W2n =(JVBJ)− , где⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛ = =21 2121var{ ( , )}Ce 0 DCe D 0I e C e CV B 0 0nn nB nd,In = (ƒij : i, j = 1,...,n) = (e1,...,en ) − единичная матрица,e j ( ij : i 1,...,n) = ƒ = . В этом случае можно положить1 (1 )0= − − ƒtƒ Fm−m , где Fm m0 − − ф.р. с.в. 2m−m0 ƒ . Если до-полнительно положить W1n=(LVBL')-1 11 ( ) n BW =LVL −и выбирать параметризацию альтернатив из условияLVBJ' = 0, то целевая функция в (8) также будет нор-мирована, и имеет место представлениеBnJW nJBn BnAW nABn BnLW nLBn 2 2 2   =   −   , (10)т.к. пространства, определяемые базисами ( 1/2 ) L VB и( 1/2 ) J VB ортогональны, а слагаемые в (10) задают про-екции вектора (VB1/2 )Bn на них и на их прямую сумму.Благодаря (10), можно выражать статистику критерия(9) через матрицы A и L (которые определяются со-держательной постановкой задачи), минуя явное вы-числение матрицы J:argmin ( 0 | )20ƒ ς ƒ Ln ƒ ƒ n= ,ƒ n n n n n n t ς2 (ƒ |J) =ς2 (ƒ |A) −ς2 (ƒ |L) > , (11)где ( | ) ( , ) ( ) 1 ( , )0 0ςn2 ƒ U Bn ƒ 0 U UVBU UBn ƒ 0=    − .В этом случае достигнутое на первом этапе значе-ние целевой функции может быть использовано привычислении статистики на втором этапе.АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАИНДИКАТОРНЫХ СТАТИСТИК,ОЦЕНОК И КРИТЕРИЕВПРИ БЛИЗКИХ АЛЬТЕРНАТИВАХИзучим свойства процедуры (8)−(9) при близкихальтернативах видаHn: ƒ=ƒn{ƒ : ƒ < an−ƒ}, 2( +1) ƒ > mm . (12)Сформулируем теорему о равномерной линейностииндикаторных статистик, исследуем асимптотическийуровень значимости индикаторного критерия и егоасимптотическую мощность при близких альтернати-вах (12). Для этого без ограничения общности положимƒ = 0 и будем ссылаться на следующие условия регу-лярности:а) Элементы матриц L и J ограничены равномернопо объему выборки n.б) P{ ƒi 0 такие, что при всех i ƒƒ ,для которых 0222L1 ƒ + L ƒ < ƒ i i , выполняется( ) ( ) 2220 1 ƒi ƒ ≤−L Liƒ + L iƒ .ж) Для любого R > 0 существует A(R) такое, что длявсех i ƒƒ при i i R  +  2 >221 L ƒ L ƒ выполняется222ƒi (ƒ)≤ −A(R) L1iƒ + L iƒ .Теорема 1 (о равномерной линейности индикатор-ных статистик). Пусть выполнены условия (а)−(г) ипусть последовательность {gi:i≤1} ограничена, а наборметок {B(1),…,B(K)} удовлетворяет условиюƒ = K =k B k pk 1 ( ) 0 . Тогда каковы бы ни были траекторииальтернативных распределений FK, M, i(c, D, p), еслиμi J2i ƒ =  , то для случайной функции{ ( ( )) ( ( ))(L L ƒ ) ƒ (J J ƒ ) ƒ}(ƒ, ƒ) 1 ƒ,0 0, ƒ1 1 2 2 1 1 2 21− ƒ +  + ƒ + − − = ƒ=i i i i i i i inin gi B si B sinUпри любых ƒ >0, a>0, (1, ) 2( 1)1+  m ƒ выполняетсяlim sup sup (ƒ, ƒ) 0ƒ W2 ( ) ƒ W2 ( )=⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧  ƒ  ƒ nn an anP Un n,где A { R A n i K M i}mn W1 ( )=  : ≤ , 2 M , ( , )ƒ 0 ƒ L ƒ c D ,A { R A n i K M i}m mn W2 ( )=  − : ≤ , 2 M , ( , )ƒ 0 ƒ J ƒ c D ,ƒ [ ] −= ƒ = 1 − +1 1 ( ) ( 1) ( | 0) Ki k B k B k fi ck ,ƒ [ ] −= = 1 − +2 1 ( ) ( 1) ( | ) Kƒ i k dk B k B k fi ck 0 .Если теперь ввести матрицу чувствительности меток⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛ƒ ƒ  ƒ =n n nn n nn n21 22211 1 221111 11 1 121 12ƒ e 0 ƒƒ e ƒ 01 diag[ ,..., ] e ƒ e ƒ ,где ƒ [ ] −= ƒ = 1 − +11 1 1 ( ) 1 ( 1) ( | 0) Ki k B k B k fi ck ,ƒ [ ] −= = 1 − +12 1 1( ) 1( 1) ( | ) Kƒ i k B k B k dk fi ck 0 ,ƒ [ ] −= = 1 − +21 1 2 ( ) 2 ( 1) ( | ) Kƒ i k B k B k fi ck 0 ,ƒ [ ] −= = 1 − + 22 1 2 ( ) 2 ( 1) ( | ) Kƒ i k B k B k dk fi ck 0 ,то на основе теоремы 1 можно получить предельныеразложения для индикаторных статистик из (8) и (9)при близких альтернативах ƒn вида (12).Теорема 2. Пусть выполнены условия (а)−(г), суще-ствуют предельные матрицыƒ = Jƒ Ln n0 lim , ƒ = Jƒ Jn n1 lim , 2 lim 0 = >ƒ n JVBJи ƒn - некоторая оценка параметров ƒ, для которой0 ƒ (1)nƒ n = op при каком-либо ƒ0 ( 2(m+1)m ,ƒ). ТогдаJBn (ƒn ,0)=JBn (0,ƒn )+ n(ƒ0ƒn − ƒ1ƒn )+op (1) .Теорема 3. Пусть выполнены условия (а)−(ж) и су-ществуют предельные матрицыƒ = Lƒ Jn n01 lim , 11 lim 0 = ƒ n LVBL.Тогда для индикаторной оценки (8) выполняется [ ( , ) 01 ] (1)1nƒn =−ƒ1−1 LBn 0 ƒn − nƒ ƒn +op .Теорема 2 позволяет судить о локальном поведениифункции мощности индикаторного критерия (9), еслирассматривать близкие альтернативы с разной скоро-стью сходимости. При этом критерий (9) будет иметьасимптотический уровень значимости ƒ, если ƒ =0 0 .Для использования критерия (11) матрица J должнавыбираться так, чтобы LV J=0 B . По теореме 3 инди-каторная оценка свободных параметров при близкихальтернативах асимптотически нормальна, n − со-стоятельна и удовлетворяет условию теоремы 2, еслиƒ =0 01 или ƒn =o(n−1/2 ) .Эти дополнительные требования будут выполнены,когда, например, матрицы VB и ƒn пропорциональныили когда из LV J=0 B следует, что Jƒ L=0 n иLƒ J=0 B . Для проверки этого условия не обязательностроить матрицу J. Достаточно убедиться в пропор-циональности матриц J ƒ L 0 n и J V L 0 B , где J0 − лю-бой базис, дополняющий L0 до L, например, когдаA=(L',J0')'. При построении тестов будем проверять этоусловие их применимости.ПРИМЕРЫ МЕТОКПример 1. Метки могут быть взяты в виде {B1(k)}=={-1, 0, 1}, {B2(k)}={1,- Q, 1}, где Q = 2p/(1-2p). Этинаборы пропорциональны наборам {Rj(k)}, если дляплотности выполняется условие квантильной симмет-рии fi(-c) = fi (c). Для моментов меток имеем 2d1 =2p,D2=Q, C=0, так что матрица VB будет диагональной.При условии квантильной симметрии имеем ƒ11i=2fi(c),ƒ12i=ƒ21i=0, ƒ22i=2 fi(c)(Q+1) и матрица ƒn тоже будетдиагональной.Пример 2. Здесь метки можно взять в виде {B1(k)}=={-Q,-ƒA, ƒA, Q}, {B2(k)} = {Q, -1, -1, Q}, где Q=2p/(1-2p).Пропорциональность с наборами {Rj(k)} будет иметьместо, если fi(-c)=fi(c) и ƒA=ƒi, где ƒi=(fi(0)-fi(c))/fi(c).Величину ƒA, таким образом, можно трактовать какаприорную догадку о квантильной островершинности(или затянутости) гипотетического распределения. Приотсутствии других соображений, рекомендуется братьƒA=Q/2. Моменты меток имеют вид 21 d = 2p( A Q ƒ 2 + ),D2=Q, C=0, и вновь матрица VB является диагональной.В условиях квантильной симметрии при дополнитель-ном естественном требовании fi(0)=0 выполняетсяƒ12i=ƒ21i=0, ƒ11i=2fi(c)(ƒAƒi+Q), ƒ22i=2fi(c)(Q+1), матри-ца ƒn диагональная.Пример 3. Для квантильной регрессии метки {B1(k)} =={-1/p, 1/(1-p)} являются взвешенными знаками остат-ков. Эти метки всегда пропорциональны набору {R1(k)}и для них 2d1 =[p(1-p)]-1, VB d 2In1 = . При этом, еслиfi(0)=f(0), то ƒn=Inf(0)/n, и имеется пропорциональностьматриц VB и ƒn.Пример 4. Для частного случая медианной регрес-сии метки {B1(k)}={-1, 1} соответствуют знакам остат-ков. Здесь 2d1 =1, VB=In, ƒn =Inf(0)/n при fi(0)=f(0).Если ф.р. Fi непрерывно дифференцируемы, то ус-ловия регулярности (д)−(ж) выполняются в примерах 3и 4 всегда, в примере 1 - для всех симметричных ф.р.(и, по крайней мере, для близких к симметричнымф.р.), а в примере 2 - для достаточно широкого классасимметричных и близких к симметричным распределе-ний (равномерному, Лапласа, распределениям семейст-ва Стьюдента, в том числе Коши, и др.).ЗАДАЧИ ОДНОФАКТОРНОГО АНАЛИЗАРассмотрим модель наблюденийyij=ƒj+ƒij; j=1,…, q; i=1,…, nj; ƒ = = qn j nj 1 , (13)где ƒ1,…, ƒq - неизвестные параметры.Гипотеза об однородности q выборок по парамет-рам сдвига формулируется в видеH0:ƒ1=…=ƒq. (14)В качестве альтернативы выступает нарушение лю-бого из этих равенств.В примерах 3 и 4 при гипотезе свободен только пара-метр ƒ = ƒ - общее значение параметра положения выбо-рок. Запишем участвующие в процедуре (11) статистики:21 12 112 ) ( 1 ) | ( ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= ƒƒ= =qjnin ijjBd nς ƒ L ƒ , (15)ƒ ƒ ƒƒ= = == ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= −qjqjniijniijjjnj jBnBd nn121 1112 11ς2 (ƒ|J) 1 (ƒ) 1 (ƒ) , (16)где 1 ( ) 1( ( )) = −ƒ B ij ƒ B s yij , s(u)=(3+sign(u))/2 .В примерах 1 и 2 если все выборки имеют один не-известный квантильный масштаб ƒ, то с точностью дообозначений ( )= ( ( −ƒ ,ƒ )) Bkij ƒ Bk s yij , ƒ=(ƒ ,ƒ ) стати-стика теста ς2n (ƒ|J) будет иметь вид (16). Здесь примеры1 и 2 отличаются наборами меток и индикаторнымифункциями, которые были введены ранее. Статистика,используемая в (11) на первом этапе, отличается от (15):21 12 2221 12 112 ) ( 1 ) ( 1 ) | ( ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= ƒƒ ƒƒ= = = =qjniijqjnin ijj jBd nBd nς ƒ L ƒ ƒ . (17)Если выборки имеют разные (и неизвестные) кван-тильные масштабы ƒj, то условия применимости норми-рованного теста не выполняются. Возможен еще одинвариант, когда общий параметр масштаба ƒ известен. Вэтом случае ƒ=ƒ, а статистики в (11) имеют вид (15) и (16)с точностью до обозначения 1 (ƒ) 1( ( , )). = − ƒ ƒ B ij B s yijПерейдем к проверке гипотезы однородности q вы-борок по квантильным масштабамH0:ƒ1= … =ƒq. (18)Она может проверяться в рамках примеров 1 и 2 при из-вестных и неизвестных параметрах положения выборокƒj. Если известно, что ƒj=ƒ, но само значение ƒ неизвест-но, то ƒ = (ƒ,ƒ) и, как ранее, (ƒ) = ( ( − ƒ,ƒ)), Bkij Bk s yij астатистики в (11) имеют вид (17) иƒ ƒ ƒƒ= = == ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= −qjqjniijniijjjnj jBnBd nn121 1212 22ς2 (ƒ|J) 1 (ƒ) 1 (ƒ) . (19)Если известно, что ƒj=ƒ и параметр ƒ известен (ƒ=0без ограничения общности), то21 12 222 ) ( 1 ) | ( ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= ƒƒ= =qjnin ijjBd nς ƒ L ƒ , (20)а ς2n (ƒ|J) дается (19) с точностью до обозначенийƒ = ƒ и 2 (ƒ) 2 ( ( , )) = ƒ B ij B s yij . Для случая, когда ƒj не-известны и могут различаться, имеем ƒ ( 1,..., , )= ƒ ƒ ƒ  q ,(ƒ) = ( ( − ƒ,ƒ)), Bkij Bk s yij а статистики из (11) с точно-стью до этих обозначений даются формулами (17) и (19).Наконец, для гипотезы однородности по сдвигам имасштабамH0:ƒ1= … =ƒq, ƒ1= … =ƒq, (21)в обозначениях (ƒ) = ( ( − ƒ,ƒ)) Bkij Bk s yij и ƒ = (ƒ,ƒ)целевая функция ς2n (ƒ|L) имеет вид (17), а выражениедля статистики теста (11) сводится к1 (ƒ) 1 (ƒ) .ς (ƒ | J) 1 (ƒ) 1 (ƒ)121 1212 22121 1112 112ƒ ƒ ƒƒƒ ƒ ƒƒ= = = == = = =⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛+ −+ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛= −qjqjniijniijjjqjqjniijniijjjnj jj jd n B n Bnd n B n Bn(22)ДВУХФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗАДДИТИВНОЙ СХЕМЫ ДЕЙСТВИЯ ФАКТОРОВРассмотрим модель эксперимента, которая не пред-полагает совместного влияния факторов:yijl = aj +bl + ƒ ijl; j=1,…, J; l=1,…, L; i=1,…,njl, (23)где a1,…,aJ, b1,…,bL-1 - неизвестные параметры, bL=0;ƒijl - независимые случайные отклонения, информацияо распределении которых сводится к модели одного изчетырех примеров, рассмотренных ранее. Введем обозна-чения для объемов выборок ƒ = = Lnj l njl * 1 , ƒ = = Jn l j njl * 1 ,ƒ = = Ln l n l ** 1 * . Имея в виду метки остатков Bkijl (ƒ) , бу-дем использовать обозначения видаƒ = = n jlBk jl i Bkijl * (ƒ) 1 (ƒ), ƒ = = JBk l j Bk jl ** (ƒ) 1 * (ƒ) ,ƒ = = LBk j l Bk jl * * (ƒ) 1 * (ƒ), ƒ = = LBk l Bk l *** (ƒ) 1 ** (ƒ) .Начнем с проверки гипотезы об отсутствии дейст-вия одного из факторов:H0 : b1 = … = bL-1= 0. (24)Для примеров 3 и 4 Bkijl (ƒ)=Bk (s( yijl −aj )) , где( 1,..., )=  ƒ a aJ , s(u)=(3+sign(u))/2 . При этомƒ==Jj jjn d nB1 *2122 1* * ( )( | )ƒς ƒ L , 2112 ( | ) ( ) ( )n dς ƒ J ς ƒ Q ς ƒ −= , (25)где поэлементно ƒ== −Jj jjl l jl nBB n1 *1* *1**( )[ ( )] ( )ƒς ƒ ƒ ,ƒ = = − Jkl n l kl j njlnjk nj [Q] * ƒ 1 / * . При одинаковых объемахвыборок, если njl n** /(JL) = , то (25) упрощается:**2121***1 *2122 ( | ) 1** ( ) ( )d nBd nL Bl llnƒ ƒ J ƒ ς − =ƒ=.Для примеров 1 и 2 при известных и одинаковыхдля всех выборок масштабах шумов ƒ можно исполь-зовать точно такие же статистики вида (25), но приэтом полагая (ƒ) = ( ( − ,ƒ)). Bkijl Bk s yijl a j В случае, еслиобщий параметр масштаба ƒ неизвестен, имеемƒ ( 1,..., , ) , = ƒ  a aJ (ƒ) = ( ( − , ƒ)), Bkijl Bk s yijl a j а в (25) из-менится вид статистики**2222***1 *2122 1* * ( ) ( )( | )d nBd nJ Bj jjnƒ ƒL ƒ ς + =ƒ=,при этом вид ς2n (ƒ|J) останется прежним. Наконец,если допустить, что масштабы выборок могут разли-чаться, то нормированный тест построить не удается,т.к. условия его применимости не выполняются.Перейдем к проверке гипотезы об отсутствии дей-ствия обоих факторов:H0 : a1 = … = aJ , b1 = … = bL-1= 0. (26)Здесь в примерах 3 и 4, а также в примерах 1 и 2 приизвестных масштабах шумов имеем ƒ = a,( | ) ( )/( ** )2121***ςn2 ƒ L =B ƒ d n , (27)211**2121***1 *2122 1* * ( ) ( ) ( ) ( )( | )d n dBd nJ Bj jjnƒ ƒ ς ƒ Q ς ƒς ƒ J−== ƒ − + , (28)примеры отличаются индикаторами и метками: дляпримеров 1 и 2 Bkijl (ƒ) = Bk (s( yijl − a,ƒ)), где ƒ − из-вестная величина, в то время как для примеров 3 и 4Bkijl ( ) Bk (s( yijl a)) ƒ = − . При одинаковых объемах вы-борок njl формула (28) упрощается, подобно (25). Как иранее, допущение разных масштабов шумов в выбор-ках приводит к невозможности построения нормиро-ванного теста.При неизвестном (но общем для всех выборок)масштабе шумов ƒ в рамках примеров 1 и 2 имеемƒ = (a,ƒ) , Bkijl (ƒ) = Bk (s( yijl − a,ƒ)) , тестовая стати-стика для проверки гипотезы (26) будет иметь вид (28),но для оценки свободных параметров вместо (27) будетиспользоваться целевая функция**2222*****2122 ( | ) 1*** ( ) ( )d nBd nBnς ƒ L = ƒ + ƒ . (29)Следующий вид гипотезы включает предположениеоб отсутствии действия факторов на масштабы шумоввыборок в рамках примеров 1 и 2:H0 : ƒ11 = … = ƒJL . (30)Здесь ƒ ( 1,..., , 1,..., 1, )= ƒ  a aJ b bL− - вектор свободныхпараметров, (ƒ) = ( ( − − ,ƒ)) Bkijl Bk s yijl a j bl ,ƒ ƒƒ= =−=+= +JjLl jljlJj jjn d nBd n dB1 12222*2111 *2122 1* * ( ) ( ) ( ) ( )( | )ƒ ς ƒ Q ς ƒ ƒς ƒ L ,**2222***1 12222 2* ( ) ( )( | )d nBd nJ BjLl jljlnƒ ƒς ƒ J =ƒƒ −= =. (31)Для аналогичной гипотезы видаH0 : b1 = … = bL-1= 0, ƒ11 = … = ƒJL (32)имеем ƒ ( 1,..., , )= ƒ  a aJ , (ƒ) = ( ( − ,ƒ)) Bkijl Bk s yijl a j ,ƒ ƒƒ= = == +JjLl jljlJj jjn d nBd nB1 12222*1 *2122 1* * ( ) ( )( | )ƒ ƒς ƒ L , (33)структура ς2n (ƒ|J) будет даваться (с точностью до обо-значений) суммой статистик вида (25) и (31).Наконец, для проверки гипотезыH0 : a1 = … = aJ , b1 = … = bL-1= 0, ƒ11 = … = ƒJL (34)получаем ƒ = (a,ƒ) , Bkijl (ƒ) = Bk (s( yijl − a,ƒ)) , целеваяфункция ς2n (ƒ|L) имеет вид (33), но ς2n (ƒ|J) есть сум-ма статистик вида (28) и (31).Тесты, полученные здесь для проверки гипотез (32)и (34), можно применять только в условиях примера 1.Для примера 2 условия применимости нормированноготеста будут выполнены, только если ƒA=ƒ.ЗАКЛЮЧЕНИЕПользуясь (11), можно построить тесты для провер-ки линейных гипотез в двухфакторной модели, котораяучитывает совместное влияние факторов, но эти задачине являются темой данной работы. Это же можно ска-зать и о проверке гипотез об отсутствии влияния одно-го из факторов на масштабы шумов.Целевые функции ς2n (ƒ|L) , которые используютсядля оценки свободных параметров, являются кусочно-постоянными, и это требует специальных методов ми-нимизации, которые здесь не рассмотрены.Согласно теоремам 2 и 3, при гипотезе предельным рас-пределением статистик ς2n (ƒ|J) будет хи-квадрат с соот-ветствующим числом степеней свободы. Однако при уме-ренных объемах выборки для выбора порога тестов можноиспользовать процентные точки распределения статистикς2n (ƒ|J) , в которых величины Bkijl (ƒ) заменены наBkijl (ς ijl ) , где ijl ς − независимые дискретные с.в., прини-мающие значения 1,…,K с вероятностями p1,…,pK.Обращает на себя внимание структура тестовыхстатистик ς2n (ƒ|J) . Она во многом аналогична числи-телю отношения Фишера−Снедекора, которое исполь-зуется для проверки линейных гипотез в гауссовскомдисперсионном

Скачать электронную версию публикации