Investigation of time of the stable operating the unstable networks of the plural access in casual ambience.pdf В настоящее время бурное развитие информационных тех-нологий и их внедрение в экономическую и производственнуюдеятельность расширяют сферу применения средств передачиинформации. Следствием этого является необходимость усо-вершенствования существующих концепций и средств по-строения сетей передачи данных, а также внедрение инноваци-онных технологий. Важнейшими требованиями к сетям связи внастоящее время являются высокая скорость и надежностьпередачи различного типа информации. В связи с этим созда-ется новое аппаратное обеспечение, призванное расширитьпропускную способность физических каналов связи; разраба-тываются сетевые протоколы, целью которых является повы-шение производительности сетей.Несмотря на предпринимаемые усилия, полного решениявышеизложенных проблем еще не существует. Именно поэтомуведется исследование математических моделей передачи ин-формации. В качестве инструмента математического моделиро-вания используют аппарат теории массового обслуживания, спомощью которого строятся аналитические модели сетей пере-дачи данных. Такого рода исследования служат для оценки па-раметров функционирования существующих сетей связи и по-зволяют выработать принципы разработки новых, реализующихболее эффективный процесс передачи данных. Таким образом,исследование математических моделей сетей связи на сего-дняшний день является весьма актуальным.Представленные в данной работе исследования касаютсясетей связи, управляемых протоколами случайного множест-венного доступа.Одной из важнейших характеристик неустойчивых сетей,управляемых протоколами случайного множественного дос-тупа является среднее время стабильного функционирования.В данной работе рассмотрим математическую модель сетислучайного множественного доступа с оповещением о кон-фликте в марковской среде и исследуем время стабильногофункционирования.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИВ статье В.А. Вавилова «Исследование асимптоти-чески средних характеристик и величин отклонения внеустойчивых сетях множественного доступа в случай-ной среде», представленной в данном выпуске «Вест-ника ТГУ» рассмотрена математическая модель неус-тойчивой сети случайного доступа с оповещением оконфликте в виде системы массового обслуживания(СМО), на вход которой поступает простейший с пара-метром ƒ поток заявок. Прибор этой СМО может нахо-диться в одном из трех состояний: k = 0, если он свобо-ден; k = 1, когда он занят обслуживанием заявки; k = 2,когда на приборе реализуется этап оповещения о кон-фликте. Заявка, заставшая в момент поступления при-бор свободным, начинает немедленно обслуживаться.Если за это время другие требования не поступили, тоисходная заявка по завершению обслуживания покида-ет систему. Если во время обслуживания одной заявкипоступает другая, то они вступают в конфликт. С этогомомента начинается этап оповещения о конфликте.Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие наэтапе оповещения о конфликте, переходят в источникповторных вызовов (ИПВ). Повторное обращение зая-вок к прибору из ИПВ происходит после случайнойзадержки, продолжительность которой имеет экспо-ненциальное распределение с параметром ƒ. Число зая-вок в ИПВ обозначим i. Длины интервалов оповещенияо конфликте также имеют экспоненциальное распреде-ление с параметром 1/a, где a - средняя продолжитель-ность этих интервалов.В качестве математической модели случайной сре-ды рассматрена однородная цепь Маркова s(t) с конеч-ным множеством состояний s = 1, 2,..., S и непрерыв-ным временем, инфинитезимальные характеристикикоторой обозначены . qs1s2 Здесь при s1  s2tP s t t s s t sqs s t 0 ƒ+ ƒ = ==( ( ) ( ) )lim 2 11 2 Δ ,а при s1 = s2 = stP s t t s s t sqss t 0 ƒ+ ƒ = = −=( ( ) ( ) ) 1limΔ.Влияние случайной среды на функционирование се-ти связи определено зависимостью интенсивности ƒобслуживания заявок от состояний s(t) = s случайнойсреды, т.е. ƒ = ƒ(s), где s текущее состояние случайнойсреды, тогда вероятность окончания обслуживаниязаявки на приборе за бесконечно малый промежутоквремени ƒt равна ƒ(s)ƒt + o(ƒ t).В силу свойств приведенной математической модели,трехмерный случайный процесс [2] {k(t), i(t), s(t)} измене-ния во времени состояний (k, i) математической моделисети связи и состояний s математической модели случай-ной среды, является цепью Маркова с непрерывным вре-менем. Обозначено P(k(t) = k, i(t) = i, s(t) = s) = Pk(i, s, t).Показано, что распределение Pk(i, s, t) удовлетворя-ет следующей системе дифференциальных уравненийКолмогорова1 ( , , ) ( , , ) ,( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )12 0 10 1011 ƒ=+ ++ ƒ + ƒ = ƒ +Ssa P i s t P i s t qs st i P i s t s P i s tP i s t+ ƒ + ƒ + ƒ = ƒ +( , , ) ( ( )) ( , , ) ( , , )1 01 t i s P i s t P i s tP i s t+ + ƒ + +Ssi P i s t P i s t qs s+ − ƒ = ⎟⎠⎞⎜⎝+ ⎛ ƒ +( , , ) 1 ( , , ) ( 1, , )2 22 t a P i s t P i s tP i s t( 2, , ) ( 1) ( 1, , ) ( , , ) .11 1 2 111 ƒ=+ ƒ − + − ƒ − +SsP i s t i P i s t P i s t qs sИсследование проведено модифицированным длянестационарных распределений методом асимптотиче-ского анализа [1]. Найдено распределение вероятно-стей состояний k = 0, 1, 2 канала в виде,( ) 2( ) ( )( )0 2 a x x xR x xƒ + + ƒ + + ƒƒ + + ƒ=,1 ( )2 2( ) ( ) a x x xR xƒ + + ƒ + + ƒƒ +=,( ) 2( ) ( )( )222 a x x xR a xƒ + + ƒ + + ƒƒ += (1)где a и ƒ заданы; x = x(ƒ) − детерминированная функция,которая определяется дифференциальным уравнением,( ) 2( ) ( )( ) ( ) ( ) a x 2 x xx x xƒ + + ƒ + + ƒƒ + ƒ ƒ = ƒ − (2)в котором v(x) определяется равенствомƒ=ƒ = ƒSss R sRx111( ) 1 ( ) ( ), (3)где R1(s) = P(k(t) = 1, s(t) = s) и R1 = P(k(t) = 1) =ƒ=SsR s11( ) .Процесс x(ƒ) имеет смысл асимптотического сред-него нормированного числа заявок в источнике по-вторных вызовов.Показано также, что асимптотически при ƒ  0 слу-чайный процесс y(ƒ), характеризующий изменение ве-личин отклонения числа заявок в ИПВ от их асимпто-тического среднего, определяется стохастическим диф-ференциальным уравнением видаdy(ƒ) = A(x) y(ƒ)dƒ + B(x)dw(ƒ) , (4)гдеA(x) = R1 − R0 − x(ƒ)R0 + ƒR2 + (2ƒ + x(ƒ))R1 , (5)B(x) определяется равенством− ƒ + ƒ + ƒ + ƒ + ƒ = ) 1(0 0 2 1B2 (x) x( )R R (4 x( ))R 2[x( )h)], )( ( )) ( 2 ( ) 1(2(1)1) 1(0(1)1) 1(2 − ƒh − ƒ + x ƒ h + x ƒ h + h + h (6)в котором( ) ,1) 1(0) 1(0ƒ==Ssh h s ( ) ,1(1)1(1)1 ƒ==Sss h h ƒ==Ssh h s1) 1(2) 1(2 ( ) ,а hk(1) (s) являются решением системы( ) ( ) ( ),( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 ( )01) 1(0) 1(2(1)1) 1(011 h s q x R sx h s s h s a h sSss s + = −  ƒ− ƒ + ƒ + ƒ + +ƒ=( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )],( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( )1 01(1)1) 1(0(1)111 h s q x R s x R sx s h s x h sSss s + = −  ƒ + ƒ− ƒ + ƒ + ƒ + ƒ + ƒ +ƒ== + ƒ + ƒ + − ƒ=Ssh s x h s h s qs sa 1) 1(2(1)1) 1(211 1 ( ) ( ( )) ( ) ( )= (ƒ − x(ƒ))R2 (s) + (2ƒ + x(ƒ))R1(s). (7)Найдено решение уравнения (4) в виде ƒ − ƒƒ = ƒ0( ( )) ( ( ))y( ) e0 B(x(u))e 0 dw(u)uA x s ds A x s ds, (8)где A(x) определяется равенством (5), B(x) - равенством(6), а x(ƒ)- дифференциальным уравнением (2).Исследуем время стабильного функционированиядля данной математической модели неустойчивых се-тей множественного доступа, функционирующих вслучайной среде.ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОКВ ИСТОЧНИКЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВОбозначим ƒ = ƒ2, ƒ2t = ƒ и рассмотрим для доста-точно малых значений параметра ƒ случайный процессz(ƒ) = x(ƒ) + ƒy(ƒ), z = ƒ2i(ƒ / ƒ2 ) . (9)Теорема 1. С точностью до o(ƒ) случайный процессz(ƒ) является решением стохастического уравнения [4]dz(ƒ) = A* (z)d(ƒ) + ƒB* (z)dw(ƒ), (10)где( ( )) ( ) 0 2 (2 ( )) 1,A* z ƒ = −z ƒ R + ƒR + ƒ + z ƒ R (11)+ ƒ − ƒ − ƒ + ƒ + − ƒ +ƒ = ƒ + ƒ + ƒ + ƒ +0(1)1) 1(2) 1(00 2 1*22[ ( ) (2 ( )) ( ( )( ( )) ( ) (4 ( ))z h h z h z RB z z R R z R)], )( )) ( 2 ( ) 1(2(1)1) 1(0 2 1 + ƒR + ƒ + x ƒ R h + h + h (12)в котором ƒ==Sshk hk s1(1) (1) ( ) и hk(1) (s) определяются сис-темой (7), т.е. z(ƒ) является однородным диффузион-ным процессом с коэффициентом переноса A*(z) и ко-эффициентом диффузии ƒ2 B*2(z).Доказательство. Дифференцируя (9), получимdz(ƒ) = x(ƒ)dƒ + ƒdy. (13)В силу (2) и (4) правую часть (13) перепишем в виде( ) ( ) ( ) ( ).[ (2 ) ] ( ) ( )(2 ( ) ) ] ( ) ( )( )) ) ] ( ) ( ) [ ( ( ) )(2 ( )) ( ( ) (2( )) ] ( ) ( ) [ ( )( )) ] [ ( ) (2( ) ( ) [ ( ) (2* **0 2 1*2 10*11 0 20 2*11 1 0 0 20 2= ƒ + ƒ ƒ + ƒ= − + ƒ + ƒ + ƒ + ƒ − ƒ ƒ =+ ƒ + ƒ + ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ =+ ƒ  ƒ + ƒ ƒ = − ƒ + ƒ ++ ƒ + ƒ + ƒ − ƒ + ƒ + ƒ ++ ƒ  ƒ + ƒ ƒ = − ƒ + ƒ ++ ƒ ƒ + ƒ − − ƒ  + ƒ  + ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ = − ƒ + ƒ + ƒ +A z d B z dw ozR R z R d B z y dwR x y R d B x dwx R d B x dw x y Rx R y x R Rx R yd B x dw x R Rx R d R R x R Rx d dy x R RxТаким образом, z(ƒ) является однородным диффузи-онным процессом с коэффициентом переноса A*(z) икоэффициентом диффузии ƒ2B*2(z) и определяется сточностью до o(ƒ) стохастическим дифференциальнымуравнением вида (9). Теорема доказана.Для достаточно малых значений параметра ƒ случай-ный процесс ƒ2i(ƒ/ƒ2) можно аппроксимировать однород-ным диффузионным процессом z(ƒ), удовлетворяющим сто-хастическому дифференциальному уравнению (9).Следствие. Плотность распределения вероятностейзначений процесса z(ƒ) имеет вид⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ= zdzB zA zB zF z C0*2*2 2 ( )exp 2 ( )( )( ) , (14)где;( )exp 2 ( )( )110 0* 2** 2 2−⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ=  z vdu dvB uA uB vC (15)A*(z) определяется равенством (11), B*2(z) − равенством (12).Доказательство. Обозначим через F(z, ƒ) плотностьраспределения вероятностей значений процесса z(ƒ),тогда можно записать уравнение Фоккера−Планка дляплотности этого процесса:( , ) { ( ) ( , ) } 2 { *2 ( ) ( , )} ,22 2* ƒƒ ƒ += −ƒ ƒ B z F zzz A z F zF zгде A*(z) определяется равенством (11), B*2(z) опреде-ляется равенством (12). Рассмотрим как бы стационар-ный процесс z(ƒ), т.е. F(z, ƒ)  F(z), тогда стабильноераспределение можно найти из уравнения Фокке-ра−Планка:0 { ( ) ( ) } 2 { ( ) ( ) } *222 2* B z F zzz A z F z ƒ += −или{ } { ( ) ( )}2( ) ( ) *222 2* B z F zzA z F zz ƒ =.Обозначим( ) ( ) ( ) B*2 z F z = G z , (16)тогда( ),( )( ) 2 ( )*2*2 G zB zA zzG zƒ=,( )2 ( )( )( )10*2*20dv CB vdv A vG vz dG v z+ƒ = ln ,( )ln ( ) 2 ( )0*2*2  +ƒ=zdv CB vG z A v⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= zdvB vG z C A v0*2*2 ( )( ) exp 2 ( ) .Учитывая (57), перепишем последнее равенство в виде⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= zdvB vA vB zF z C0*2*2 2 ( )exp 2 ( )( )() . (17)Для F(z) должно выполняться условие нормировки =zF v dv0( ) 1. (18)Принимая во внимание (18), можно найти констан-ту C в (17):.( )exp 2 ( )( )1 10 0*2**2 2   ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ=z vdu dvB uA uB vC (19)С учетом (19) равенство (17) полностью совпадает с(14). Следствие доказано.ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕНИСТАБИЛЬНОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯНаибольший интерес относительно дифференциаль-ного уравнения (2) представляют его точки покоя [3]. Врамках данной математической модели сети связи устой-чивые точки покоя уравнения (2) назовем точками стаби-лизации неустойчивой сети множественного доступа. Вокрестности точек стабилизации достаточно долго можетоставаться процесс изменения состояний сети, что весьмаважно для неустойчивых сетей связи. Для сетей, функ-ционирующих в случайной среде уравнение (2) можетиметь несколько точек покоя, в том числе и устойчивых.Временем стабильного функционирования сети случай-ного доступа в окрестности точки стабилизации назовеминтервал времени T(ƒ), в течение которого процесс z(ƒ)находится в окрестности этой точки стабилизации. Иссле-дуем условное среднее значение интервала времени T(ƒ).Теорема 2. Условное среднее значение интервалавремени T(ƒ) при условии, что в начальный момент ƒz(ƒ) = z имеет вид⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= −    dv duB vE z A vz g uz 0 0*2*2 ( )( ) exp 2 ( )21⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−  gduB uA u0*2*2 ( )exp 2 ( ) , (20)где A*(z) определяется (11), B*2(z) определяется (12).Доказательство. Обозначим условное среднее зна-чение интервала времени T(ƒ) при условии, что в на-чальный момент ƒ z(ƒ) = z, E(z) = M{T(ƒ) | z(ƒ) = z}.Перепишем последнее равенство в видеE z M Z {M{T z z z}} = ƒ ƒ + ƒƒ = + ƒ ( ) ƒ ( ) | ( )илиE z M Z {M{ T z z z}} = ƒƒ + ƒ + ƒƒ ƒ + ƒƒ = + ƒ ( ) ƒ ( ) | ( ) ,E z M Z { M{T z z z}} = ƒƒ + ƒ + ƒƒ ƒ + ƒƒ = + ƒ ( ) ƒ ( ) | ( ) ,( ) = ƒƒ + { ( + ƒ , ƒ + ƒƒ)} ƒ E z M Z E z z ,E(z) M Z{E(z z)} = ƒƒ + + ƒ ƒ ,⎭ ⎬ ⎫⎩ ⎨ ⎧ ƒ= ƒƒ + + ƒ  + ƒ ( )2( ) ( ) ( ) ( )2E z M Z E z zE z z E z ,{ } 2 ( ) { } .E(z) E(z) E (z)M Z z 1 E z M Z z 2 = ƒƒ + +  ƒ +  ƒ ƒ ƒУничтожая в обеих частях последнего уравнения оди-наковые слагаемые E(z) и разделив их на ƒƒ, получим приƒƒ  0 обыкновенное дифференциальное уравнение2 ( )0 1 ( ) ( ) ( )2 *2A* z E z ƒ B z E z= +  + (21)второго порядка, где B*2(z) определено (12), A*(z) опре-делено (11). Частное решение данного уравнения удов-летворяет краевым условиям E(z1) = 0, E(z2) = 0.В уравнение (21) входят только производные функ-ции E(z), поэтому его порядок можно понизить заменойE(z) = h(z), (22)тогда( ) 12( ) ( ) ( )2 *2* ƒ  = −A z h z + B z h z , (23)Уравнение (23) является линейным неоднородным диф-ференциальным уравнением первого порядка. Найдем об-щее решение соответствующего однородного уравнения:dzB zA zh zdh z( )2 ( )( )( )2 *2*ƒ= − ,dz CB zh z A zzln( )ln ( ) 2 ( )0*2*2 +ƒ= −  ,h z C A z0*2*2 ( )( ) exp 2 ( ) . (24)Найдем частное решение линейного неоднородногодифференциального уравнения.,( )( ) exp 2 ( )( )2 ( )( )( ) ( ) exp 2 ( )0*2**2 2*20*2*2⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−ƒ++⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ =  −zzdzB zC z A zB zA zdzB zh z C z A z1,( )exp 2 ( )( )( )2 ( )( )exp 2 ( )( )( )2 ( )( )( )exp 2 ( )0*2*2*2*20*2*2*2*20*2*2= −⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ −ƒ−⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ −ƒ+⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ −zzzdzB zA zC zB zdz A zB zA zC zB zdz A zB zC z A z1( )( )exp 2 ( )0*2*2 = −⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−  zdzB zC z A z ,  ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= −z vdv dzB vC z A v0 0*2*2 ,( )( ) exp 2 ( )тогда ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= −  dv dzB vh z A vz v0 0*2*2 ( )() exp 2 ( )⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−  zdzB zA z0*2*2 ( )exp 2 ( ) . (25)(25) есть частное решение (23).Из (24) и (25) следует, что решение линейного неод-нородного дифференциального уравнения (23) имеет вид.( )exp 2 ( )( )( ) exp 2 ( )0*2*20 0*2*2 ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ −⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= −  z v zdzB zdv dz A zB vh z A vТогда, учитывая замену (22), имеем⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ = −  dv dzB vE z A vz v0 0*2*2 ( )() exp 2 ( ).( )exp 2 ( )0*2*2 ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−  zdzB zA z (26)Решение (26) уравнения запишем в виде⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ= −    dv duB vE z A vz g uz 0 0*2*2 ( )( ) exp 2 ( )21.( )exp 2 ( )0*2*2 ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−  gduB uA u (27)(27) совпадает с (20). Теорема доказана.ЗАКЛЮЧЕНИЕПроведена глобальная аппроксимация процесса изме-нения числа заявок в источнике повторных вызовов в ма-тематических моделях неустойчивых сетей множественно-го доступа с оповещением о конфликте, функционирова-ние которых рассматривается с учетом влияния случайнойсреды. Приведено дифференциальное уравнение (10) дляапроксимирующего процесса z(ƒ). Найдена плотность рас-пределения вероятностей значений процесса z(ƒ) в виде(14). Исследовано среднее время стабильного функциони-рования таких неустойчивых сетей связи.

Скачать электронную версию публикации