Исследование асимптотически средних характеристик и величин отклонения в неустойчивых сетях множественного доступа в случайной среде | Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284.

Исследование асимптотически средних характеристик и величин отклонения в неустойчивых сетях множественного доступа в случайной среде

Предлагаются математические модели сетей связи множественного доступа с оповещением о конфликте, функционирование которых рассматривается с учетом влияния случайной среды. Исследуются распределение вероятностей состояний канала, асимптотическое среднее нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов, величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от этого среднего.

Investigation of asymptotically average features and valuesof the deflection in unstable networks of the plural access in casual ambience.pdf Известно [1-6], что время доставки сообщений в сетяхсвязи, управляемых протоколами случайного множественно-го доступа, обладает свойством нерегулярности его значений.Причиной этого явления служат два фактора.Первый фактор определяется стохастическими свойства-ми протоколов случайного множественного доступа.Второй фактор определяется тем, что функционирование се-ти связи происходит в изменяющихся неконтролируемых внеш-них условиях, к которым, например, можно отнести состояниеионосферы для радиосетей, атаки вирусов на компьютерныесети связи, несанкционированный доступ в сети связи и т.д.Изучению стохастических свойств протоколов случайногомножественного доступа посвящено достаточно много работ[7−13]. Влияние второго фактора на функционирование сетейслучайного доступа мало изучено. Анализу именно этой си-туации и посвящена данная работа.Изменяющиеся неконтролируемые внешние условия,влияющие на функционирование компьютерных сетей связи,будем называть случайной средой и рассматривать математи-ческие модели сетей связи в случайной среде.Рассмотрим математическую модель сети случайногомножественного доступа с оповещением о конфликте в мар-ковской среде.МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬРассмотрим математическую модель сети случайногодоступа с оповещением о конфликте в виде однолиней-ной системы массового обслуживания (СМО) [14-16], навход которой поступает простейший с параметром по-ток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одномиз трех состояний: k = 0, если он свободен; k = 1, когда онзанят обслуживанием заявки; k = 2, когда на приборе реа-лизуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшаяв момент поступления прибор свободным, начинает не-медленно обслуживаться. Если за это время другие тре-бования не поступили, то исходная заявка по завершенииобслуживания покидает систему. Если во время обслужи-вания одной заявки поступает другая, то они вступают вконфликт. От этого момента начинается этап оповещенияо конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также по-ступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят висточник повторных вызовов (ИПВ). Повторное обраще-ние заявок к прибору из ИПВ происходит после случай-ной задержки, продолжительность которой имеет экспо-ненциальное распределение с параметром . Число заявокв ИПВ обозначим i. Длины интервалов оповещения оконфликте также имеют экспоненциальное распределе-ние с параметром 1/a, где a - средняя продолжительностьэтих интервалов.В качестве математической модели случайной сре-ды рассматрим однородную цепь Маркова [17] s(t) сконечным множеством состояний s = 1, 2,..., S и непре-рывным временем, инфинитезимальные характеристи-ки которой обозначим . qs1s2Здесь при s1 s2,( ( ) ( ) )lim 2 11 2 Δ tP s t t s s t sqs s t 0 + = ==а при s1 = s2 = s.( ( ) ( ) ) 1limΔ tP s t t s s t sqss t 0 + = = −=Очевидно, что 02 11 2= =Ssqs s .Будем полагать, что влияние случайной среды нафункционирование сети связи определяется зависимо-стью интенсивности обслуживания заявок от состоя-ний s(t) = s случайной среды, т.е. = (s), где s текущеесостояние случайной среды, тогда вероятность оконча-ния обслуживания заявки на приборе за бесконечномалый промежуток времени t равна (s) t + o(t).В силу свойств приведенной математической моде-ли, трехмерный случайный процесс {k(t), i(t), s(t)} из-менения во времени состояний (k, i) математическоймодели сети связи и состояний s математической моде-ли случайной среды является цепью Маркова с непре-рывным временем.Обозначим P( k(t) = k,i(t), = i, s(t) = s) = Pk(i, s, t).Очевидно, что для любого момента времени должновыполняться условие нормировки = = ==020 1( , , ) 1.i kSsPk i s tНетрудно показать, что распределение Pk(i, s, t)удовлетворяет следующей системе дифференциальныхуравнений Колмогорова:+ + = +( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , )0 10 t i P i s t s P i s tP i s t1 ( , , ) ( , , ) ,12 0 111 =+ +Ssa P i s t P i s t qs s+ + + = +( , , ) ( ( )) ( , , ) ( , , )1 01 t i s P i s t P i s tP i s t( 1) ( 1, , ) ( , , ) ,10 1 111 =+ + + +Ssi P i s t P i s t qs s= − + − += ⎟⎠⎞⎜⎝+ ⎛ +( 1, , ) ( 2, , )( , , ) 1 ( , , )2 122P i s t P i s tt a P i s tP i s t( 1) ( 1, , ) ( , , ) .11 2 111 =+ − − +Ssi P i s t P i s t qs s (1)ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙМОДЕЛИРешение Pk (i, s,t) системы (1) достаточно полноопределяет функционирование математической моделисети связи и ее вероятностно-временные характеристи-ки, но для (1) не существует точных аналитическихметодов решения [18]. Поэтому данную систему будемисследовать модифицированным для нестационарныхраспределений методом асимптотического анализа [19]в условиях большой задержки 0. Обозначим = 2, 2t = (2)и покажем, что следующий предел( ) lim 2 ( 2 )0 = x i (3)как асимптотическое среднее нормированного числазаявок в ИПВ является детерминированной функцией.Рассмотрим также процесс( ) lim ( ) ( ) ,2 20 − =y i x (4)который характеризует изменение величин отклонениячисла заявок в ИПВ от их асимптотического среднего ипокажем, что он является диффузионным процессомавторегрессии.Учитывая обозначения (2), выполним следующие заме-ны в системе (1):2i = x() + y, 1 ( , , ) = ( , ,,) Pk i s t Hk y sи получим систему вида1 ( , , , ) ( , , , ) ,( ( ) ) ( , , , ) ( ) ( , , , )( , , , ) ( ) ( , , , )12 0 10 12 0 011 =+ + + + + = ++ − Ssa H y s H y s qs sx y H y s s H y syH y s x H y s( )) ( , , , ) ( , , , ) ,( )) ( , , , ) ( , , , ) ( ( )( , , , ) ( ) ( , , , ) ( ( )10 1 11 02 1 111 =+ + + + + + = + ++ + + − Ssy H y s H y s qs sy s H y s H y s xy xH y s x H y s+ + − − + = − + − + ⎟⎠⎞⎜⎝+ ⎛ + − ( ( ) ( )) ( , , , )( , , , ) ( , , , ) ( 2 , , , )( , , , ) ( ) ( , , , ) 112 2 12 2 2x y H y sH y s H y s H y sy aH y s x H y s( , , , ) .12 111 =+ SsH y s qs s (5)Теорема 1. Асимптотически при 0 распределе-ние вероятностей Rk состояний канала имеет вид,( ) 2( ) ( )( )0 2 a x x xR x x + + + + + + =,1 ( )2 2( ) ( ) a x x xR x + + + + +=,( ) 2( ) ( )( )222 a x x xR a x + + + + += (6)где a и заданы, x = x() − детерминированная функция,которая определяется дифференциальным уравнением вида,( ) 2( ) ( )( ) ( ) ( ) a x 2 x xx x x + + + + + = − (7)в котором v(x) определяется равенством( ) 1 ( ) ( ) ,111= = Ssx R s R s (8)где R1(s)=P(k(t)=1, s(t)=s и ( ( ) 1) ( ) .11 1 == = =SsR P k t R sДоказательство. На первом этапе в системе (5) пе-рейдем к пределу при 0 и, полагая, что существуютlim ( , , , ) ( , , )0 = Hk y s Hk y s ,получим систему1 ( , , ) ( , , ) ,( ( )) ( , , ) ( ) ( , , )11 12 0 10 1s sSsa H y s H y s qx H y s s H y s=+ + + = +( ( )) ( , , ) ( , , ) ,( ( ) ( )) ( , , )11 10 1 11s sSsx H y s H y s qx s H y s== + + + + =1 ( , , ) = ( + ()) ( , , ) +2 1 H y s x H y sa( , , ) , 11 12 1 s sSsq s y H =+ (9)решение которой будем искать в видеHk(y, s, ) = Rk(s)H(y, ). (10)Тогда Rk(s), имеющая смысл совместного распределе-ния вероятностей состояний канала и среды, как следу-ет из (9), определяется системой вида( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , 11 10 1 2 0 1 s sSsR s R s qas R s s R x = + = + +( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) , 11 11 0 1 1 s sSsq s R s R x s R s x = + + = + +s sSsa R s x R s R s q 11 11 2 1 2 ) ( ) ( )) ( ( ) ( 1 == + + (11)и условием нормировки( ) 120 1 =k= =SsRk s . (12)Отметим, что в системе (11) имеем 3S уравнений относи-тельно 3S неизвестных Rk(s), так как k = 0, 1, 2; s = 1, 2, ..., S.Обозначим( ) ,1==SsRk s Rk ( ) ( ) ,20R s R skk = =(13)где Rk и R(s) - маргинальные распределения вероятно-стей состояний k канала (Rk) и состояний s среды (R(s)).Очевидно для этих распределений также выполняютсяусловия нормировки ==201kk R , ==SsR s1( ) 1 .Сложив по k уравнения системы (11), получим сис-тему S уравнений вида( ) 0 11 11 = =s sSsR s q , s =1,2,..., S, (14)которая совместно с условием нормировки ==SsR s1( ) 1определяет стационарное распределение вероятностейR(s) состояний s цепи Маркова s(t).Сложив по s каждое из уравнений системы (11) иобозначив( ) 1 ( ) 1( )1 1s R sRxSs = = , (15)перепишем результат в виде системы трех уравнений( ) 0 ( ) 1 1 2 , Ra + x R = x R +( + x + (x))R1 = ( + x)R0 ,a1 R2 ( x)R1= + (16)относительно трех неизвестных R0, R1, R2.Система (15) совместно с условием нормировкиR0+R1+ R2 дает следующее решение:,( ) 2( ) ( )( )0 2 a x x xR x x + + + + + + =,1 ( )2 2( ) ( ) a x x xR x + + + + +=.( ) 2( ) ( )( )222 a x x xR a x + + + + += (17)Здесь параметры a и заданы, v(x) определяется равен-ством (15), где ==SsR R s11 1( ) , а R1(s) определяется ре-шением Rk(s) системы (11).На втором этапе доказательства покажем, что x = x()является детерминированной функцией.В системе (5) функции Hk(y , s, , ) разложим вряд по приращениям аргумента y и, ограничиваясь сла-гаемыми порядка o(), получим следующую системууравнений:1 ( , , , ) ( , , , ) ,( , , , ) ( ) ( , , , )( ) ( , , , ) ( ( ) )12 0 1110 101111==+ + + += − + + − Sss sSss sa H y s H y s qH y s q s H y sy x yx H y s{ }=+ + + ++ + + + += − + + + − SsH y s qs s oy x y H y sH y s x y H y sy x y sx H y s11 101 0111 ( , , , ) ( ),( ( ) ) ( , , , )( , , , ) ( ( ) ) ( , , , )( ) ( , , , ) ( ( ) ( )){ + }+− − − + + + − = − + − 2 ( , , , ) ( ( ) ) ( , , , )( ( ) ) ( , , , ) ( , , , )( ) ( , , , ) 1 ( , , , )112122y y x y H y sH y syx y H y s H y sy a H y sx H y s=+ + SsH y s qs s o12 111 ( , , , ) ( ). (18)В системе (18) все уравнения просуммируем по k и sи, обозначив= = 20( , , , ) ( , , , )kk x s x s , ( , , , ) ( , , )1 = =x s k xSsk ,= = = 20 1( , , , ) ( , , )kSsk x s x , (19)получим{ + −= − () ( , , ) (x( ) y)H0 ( y, , )y yx H y2 ( , , ) (2 ( )) 1( , , )} . − H y − + x H y Поделив на левую и правую части последнего ра-венства и устремив 0 получим{− + += () (y, ) y x( )H0 ( y, ) H2 ( y, )x H y(2 ( )) 1( , )} . + + x H y (20)В силу (10), (13) и (19) можно записать( , ) ( , , ) ( ) ( , ) ( , ) .1 1 = = = = =H x H x s R s H x RkH xSskSsk kТогда (20) перепишется следующим образом{ − + += ( ) ( , ) [ x( )R0 R2y yx H y(2 ( )) 1 ] ( , )} + + x R H y . (21)Здесь Rk определяется равенствами (6), потому (21)нетрудно представить в виде( ) 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 a x x xx x R x x + + + + + = − = − , (22)где v(x) определяется равенством (15), в котором R1(s) опре-деляется решением Rk(s) системы (11) и зависит от x. Урав-нение (22) совпадает с уравнением (7). Теорема доказана.Наибольший интерес относительно дифференци-ального уравнения (22) представляют его точки покоя,которые определяются уравнением( ) 2( ) ( )( ) ( )121a x x xx x + + + + + = ,так как устойчивые точки покоя этой математическоймодели называются точками стабилизации сети слу-чайного доступа, в окрестности которых может доста-точно долго оставаться процесс изменения состоянийсети, что весьма важно для неустойчивых сетей связи.Для сетей в детерминированной и неизменной среде,как показано в работе [13], может быть не более однойточки стабилизации, так как при значениях меньше не-которого критического значения сеть моностабильна идля нее существует единственная точка стабилизации, апри больше критического значения сеть не только неус-тойчива, но также и нестабильна. Характеристики такихсетей с течением времени лишь только ухудшаются.Для сетей, функционирующих в случайной среде,рассматриваемое уравнение может иметь несколькокорней, в том числе и устойчивых, то есть реально су-ществование двух, трех, четырех и более точек стаби-лизации для неустойчивых сетей в случайной среде.Теорема 2. Асимптотически при 0 случайныйпроцесс y() определяется стохастическим дифферен-циальным уравнением видаdy() = A(x) y()d + B(x)dw(), (23)гдеA(x) = R1 − R0 − x()R0 + R2 + (2 + x())R1 , (24)Bx(x) определяется равенством− + + + + = ) 1(0 0 2 1B2 (x) x( )R R (4 x( ))R 2[x( )h)], )( ( )) ( 2 ( ) 1(2(1)1) 1(0(1)1) 1(2 − h − + x h + x h + h + h (25)в котором ( ), ( ), ( ),1(1)1(1)11(1)1(1)11) 1(0) 1(0 = = == = =SsSsSsh h s h h s h h s==Ssh h s1(1)1(1)1 ) ( , ==Ssh h s1) 1(2) 1(2 ( ) , а hk(1) (s) являются ре-шением системы++=( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )],( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( )1 01(1)1) 1(0(1)111 h s q x R s x R sx s h s x h sSss s + = − + − + + + + +== + + + − =Ssh s x h s h s qs sa 1) 1(2(1)1) 1(211 1 ( ) ( ( )) ( ) ( )= ( − x())R2 (s) + (2 + x())R1 (s). (26)Доказательство. Для доказательства теоремы найдемрешение системы (18) в виде следующего разложения:Hk ( y, s,,) = Rk (s)H( y,) + hk ( y, s,) + o(). (27)Отыщем вид функций hk(y, s, ). Перепишем систе-му (18) в виде( , , , ) ( ) ( , , , ),( , , , ) 1 ( , , , )( ( )) ( , , , ) ( , , , ) ( )100 11 20 011 = + = − + +− + − + Sss s yH y s q x H y sH y s a H y sx H y s yH y s s( ) ( , , , ) ( ),( , , , ) ( ) ( , , , )( ( )) ( , , , ) ( , , , )( ( ) ( )) ( , , , ) ( , , , )0111 10 01 111+ − − + = − + + + +− + + − +=y ox H y syH y s q x H y sx H y s yH y sx s H y s yH y sSss s+ = − + + =− + + +=yx H y syH y s H y s qa H y s x H y sSss s( ( )) ( , , , )( , , , ) ( , , , )1 ( , , , ) ( ( )) ( , , , )211 2 12 111(2 ( )) 1 ( , , , ) + (). + + oyx H y s (28)Подставив в систему (28) разложение (27), получим( ) ( ) ( , ) ,( ( ) ( , ) ( , , ))( , , )) 1 ( ( ) ( , ) ( , , ))( , ) ( , , )) ( )( ( ) ( , )( ( ))( ( ) ( , ) ( , , )) ( ( )010 1 0 11 2 20 10 0 011yx R s H yR s H y h y s qh y s a R s H y h y sH y h y s s R s H yx R s H y h y s y R sSss s = − + + =+ + + + + + +− + + − =( , ) ( ),( , , )) [ ( ) ( ) ( ) ( )]( , , )) ( ( ) ( , )( ( ) ( , ) ( , , )) ( ( ) ( , )( ( ) ( , ) ( , , )) ( ( ))( ( ) ( ))( ( ) ( , ) ( , , ))1 1 1 010 1 10 0 01 11 111+ + = − + + + + + + +− + + + − + + + −=y oH yh y s q x R s x R sh y s R s H yR s H y h y s y R s H yy R s H y h y s xx s R s H y h y ss sSs− 1( ( ) ( , ) + ( , , ))+ ( + ())R2 s H y h2 y s xa(R1(s)H( y, ) + h1( y, s, )) + y(R1(s)H( y, ) ++ = − ++ + + =( , , )) [( ( )) ( )( , , )) ( ( ) ( , )2 1 211 2 111h y s q x R sh y s R s H ys sSs(2 ( )) 1 ( )] ( , ) ( ). + + + oyx R s H y (29)Из (11) следует, что эту систему можно переписать в виде( ) ( ) ( , ) ,( , , ) 1 ( , , ) ( , , )( ( )) ( , , ) ( ) ( , ) ( )011 2 0 10 011yx R s H yh y s a h y s h y s qx h y s yR s H y sSss s = − + + =− + − + =( , ) ( ),( , , )) [ ( ) ( ) ( ) ( )]( ( )) ( , , ) ( ) ( , )( ( ) ( )) ( , , )) ( ) ( , )1 011 10 01 111+ + = − + + + + +− + + − +=y oH yh y s q x R s x R sx h y s yR s H yx s h y s yR s H ySss s + = − +− + + + =( , ) ( , , )) [( ( )) ( )1 ( , , ) ( ( )) ( , , )) ( )212 12 1 111 H y h y s q x R sa h y s x h y s yR sSss s(2 ( )) 1 ( )] ( , ) ( ). + + + oyx R s H y (30)Поделив на все уравнения системы (30) и выпол-нив несложные преобразования, получим( ) ( ) ( , ) ,( , , ) ( ) ( , )( ( )) ( , , ) ( ) ( , , ) 1 ( , , )0010 10 1 211yx R s H yh y s q R s yH yx h y s s h y s a h y sSss s − + = −− + + + +=[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( , ) ,( , , )) ( ( ) ( )) ( , )( ( ) ( )) ( , , )) ( ( )) ( , , )1 01 011 11 011yx R s x R s H yh y s q R s R s yH yx s h y s x h y sSss s − + + = − −− + + + + +=+ = − +− + + +=( , , )) ( ) ( , )1 ( , , ) ( ( )) ( , , ))112 12 111 h y s q R s yH ya h y s x h y sSss s[( ( )) 2 ( ) (2 ( )) 1 ( )] (y, ) .x R s x R s H y + − + + (31)Данная система является системой линейных неодно-родных алгебраических уравнений и имеет решение, еслиранг ее собственной матрицы совпадает с рангом ее расши-ренной матрицы. Покажем, что это действительно так. Про-суммируем все уравнения системы (31), в результате полу-чим 0 = − x() − x()R0 + R2 + (2 + x())R1, но, учитывая(21), имеем, что левая и правая части данного равенства рав-ны 0, следовательно, ранги соответствующих матриц совпа-дают, а система (31) имеет решение, определяемое с точно-стью до однопараметрического семейства векторов (R0(1),...,R0(S), R1(1),..., R1(S), R2(1),..., R2(S))T C, где C − произвольнаяскалярная величина.Будем искать решение системы (31) в следующем виде:( , , ) (1) ( ) ( , ) + (2) ( ) ( , ). = h s yH yyhk y s hk s H y k (32)Подставим (32) в (31) и представим полученнуюсистему в виде двух систем:( ) ( ) ( ),( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 ( )01) 1(0) 1(2(1)1) 1(011 h s q x R sx h s s h s a h sSss s + = − − + + + +=( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )],( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( )1 01(1)1) 1(0(1)111 h s q x R s x R sx s h s x h sSss s + = − + − + + + + +== + + + − =Ssh s x h s h s qs sa 1) 1(2(1)1) 1(211 1 ( ) ( ( )) ( ) ( )= ( − x())R2 (s) + (2 + x())R1(s) , (33)( ) ( ),( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 ( )01) 2 (0) 2 (2(2)1) 2 (011 h s q R sx h s s h s a h sSss s =+ =− + + + +( ) ( ) ( ),( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( )1 01(2)1) 2 (0(2)111 h s q R s R sx s h s x h sSss s + = −− + + + + +=1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ).11) 2 (2(2)1) 2 (211 a h s x h s h s q R sSss s − = + + + − =(34)Продифференцировав систему (11) по x, получим( ) ( ),( ( )) ( ) ( ) ( ) 1 ( )010 10 1 211R s q R sx R s s R s a R ss sSs+ =− + + + +=( ) ( ) ( ),( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( )1 011 11 011R s q R s R sx s R s x R ss sSs+ = −− + + + + +=1 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ).112 1 2 1 11a R s x R s R s qs s R sSs− = + + + − =(35)Из (34) и (35) следует, что решение hk(2) (s) системы(34) имеет видhk(2) (s) Rk (s) = . (36)С учетом (36) и (32) разложение (27) примет видHk ( y, s, , ) = Rk (s)H( y, ) +(1) ( ) ( , ) + ( ) ( , ) . + y R s yH yhk s H y k (37)На следующем этапе найдем вид функции H(y, ). Дляэтого функции в правой части системы (5) разложим в рядпо приращениям аргумента y с точностью до o(2), получим1 ( , , , ) ( , , , ) ,) ( , , , ) ( ) ( , , , )( , , , ) ( ) ( , , , ) ( ( )11 12 0 10 12 0 0s sSsa H y s H y s qy H y s s H y sy xH y s x H y s=+ + + = ++ + + − + + + + =+ − ( ( ) ( )) ( , , , )( , , , ) ( ) ( , , , )12 1 1x y s H y syH y s x H y s{ }{ }( , , , ) ( ),2 ( ( ) ) ( , , , )( ( ) ) ( , , , )( , , , ) ( ( ) ) ( , , , )211 12 02 200 011+ + + + + + ++ = + + +=H y s q ox y H y syy x y H y sH y s x y H y ss sSs{ }{ + }+ + + +− + + − + + + − + + − − = ⎟⎠⎞⎜⎝+ ⎛ ++ − 2 ( ( ) ) ( , , , )( ( ) ) ( , , , )( , , , ) ( ( ) ) ( , , , )24( , , , ) 2 ( , , , )( , , , )2( , , , )1 ( , , , ) ( , , , )( , , , ) ( ) ( , , , )2 12 212 112 211222 222 22 2 2x y H y syy x y H y sx y H y syH y syH y s H y syH y syH y sa H y s H y syH y s x H y s( , , , ) ( 2 ).12 1 11 + +=H y s qs s oSs(38)Сложим все уравнения системы (38) по k, подста-вим разложение функций Hk(y, s, , ) в виде (37), вы-полним несложные преобразования и получим} {}+ + + ++ + ++ + + + + ++ + + + + + + − + ⎩ ⎨ ⎧− − − −− − + + + = − − +⎭ ⎬ ⎫+ ++ + + +⎩ ⎨ ⎧+ − + +− + + +=( , , ) ( ) ( , ) ( , , )( ) ( ) ( , ) ( ( ) ( , )( ) ( , ) 4 ( ) ( , )( ) ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) ( , )2 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )( ) ( , ) 2 ( ) ( , )( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )( )) ( , ) ( ) ( ) ( , )( ) (2 ( )) ( ) ( , ) ( ( )( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ( ) ( )( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )( ) ( )) ( , ) ( ) ( ) ( , )( ( ) ( ) ( )) ( , ) ( )( ( )0 1 1 1 1 111 0 12 12 02 21(1)1 1(1)2 1) 1(2 0) 1(020122 12 0) 1(21(1)0 1) 1(021 20 1 2 021h y s R s H y h y sx R s H y R s H yR s H y R s H yx R s H yyx R s yH yyR s yH y x h s H yyR s yH y h s H yyx R s yH y h s H yyy y x h s H yR s Hy yy R sR s x R s H yy R s yH y x R sh s H yy R s yH yR s yH y h s H yyy x y h s H yR s R s H yR s R s R s H y x R sSs( ) ( , ) ( , , )) ( 2 ).2 1 2 1 1+ R s H y + h y s qs s + o (39)Сложим все уравнения (39) по s и, обозначивhk hk s1(1) (1) ( ) , k = 0,1,2 и s = 1,2,..., S, (40)перепишем в виде + ++ + + − − + ++ − − + + + − −− = − − + + + = − + +−− + + − + + + +0 2222(1)1) 1(2) 1(0210 221 020 2 122) 1(2(1)1) 1(020 1 220 1 2 0 1 222 ( ( )(2 ( )) ) ( , )( )) ) ( , ) ( ( )( ) ( , ) ( ( ) (2( ( ) (2 ( )) ) ( , )( )( ) ( , )( , ) ( )( ) ( , )( ) ( , ) ( )( )x R Ryx h H yy x h hx R yH yy x R RR R yH yyx R R x R H yyx h h h H yyy x R R R yH yH yR R R H y x R R R(4 ( )) ) ( , ) ( 2 ) .221 + + + oyx R H y (41)Поделим левую и правую части равенства (41) на 2и в силу условия нормировки R0 + R1 + R2 = 1 и диффе-ренциального уравнения (21) перепишем (41) в виде+ − − + ++ + + + + = − − − + + + 2( ( ) (2 ( )) )2 ( ( ) (4 ( ))( , ) 1( , ) ( ( ) (2 ( )) )(1)1) 1(2) 1(00 2 11 0 0 2 1x h h x hy x R R x RyH yH y R R x R R x R( )( ))) ( , ) . 22) 1(2(1)1) 1(0 yx h h h H y + + + (42)Получили уравнение Фоккера−Планка для плотно-сти распределения вероятностей H(y, ) значений диф-фузионного процесса авторегрессии y().Обозначим коэффициент переноса уравнения (42)A(x) = [−x()R0 + R2 + (2 + x())R1]x . (43)(43) совпадает с (24).Коэффициент диффузии обозначим как− − + + − + + += + + + + −(2 ( )) ( ( ) (2( ) ( ) (4 ( )) 2[ ( )0 2(1)1) 1(2) 1(0 0 2 12h x h x R RB x x R R x R x h)]. )( )) ( ) 1(2(1)1) 1(0 1 + x R h + h + h (44)(44) совпадает с (25). ) 1(0h , (1)1 h , ) 1(2h равенстве (43)определяются равенствами (40), где hk(1) (s) есть реше-ние системы (33), которая совпадает с системой (26).Стохастическое дифференциальное уравнение для диф-фузионного процесса авторегрессии y() запишем в видеdy() = A(x) y()d + B(x)dw(), (45)где A(x) определяется равенством (43), B(x) определя-ется равенством (44), следовательно, уравнение (45)совпадает с уравнением (23). Теорема доказана.Следствие. Решение y() стохастического диффе-ренциального уравнения (45) имеет вид − = 0( ( )) ( ( ))y( ) e0 B(x(u))e 0 dw(u)uA x s ds A x s ds, (46)где A(x) определяется равенством (43), B(x) - равенст-вом (44), а x()- дифференциальным уравнением (21).Доказательство. Представим процесс y()в виде( ) 0 ( )( ( )) = y e fA x s ds, (47)где( ) 0 ( )( ( )) = −f e yA x s ds, (48)A(x) определяется равенством (43), а x() - дифферен-циальным уравнением (21)Продифференцируем (48), используя формулы Ито,получим( ( )) ( ) ,[ ( ( )) ( ) ( ( )) ( )]( ( )) ( )( ) ( ( )) ( )00 00( ( ))( ( )) ( ( ))( ( ))= + == − + = − + =− − − − B x e dwA x y d B x dwA x e y d edf A x f d e dyA x s dsA x s ds A x s dsA x s dsто есть( ) ( ( )) 0 ( ).( ( )) = −df B x e dwA x s ds(49)Проинтегрируем (49), тогда − = +0( ( ))f ( ) B(x(u))e 0 dw(u) C.uA x s dsПоложив f(0) = 0, получим − = + =0( ( ))f ( ) f (0) B(x(u)) e 0 dw(u)uA x s ds( ( )) 0 ( )( ( ))0B x u e dw uuds s x A − = . (50)С учетом (50) уравнение (47) запишется в виде − = 0( ( )) ( ( ))y( ) e0 B(x(u))e 0 dw(u)uA x s ds A x s ds, (51)где A(x) определяется равенством (43), B(x) - равенст-вом (44), а x() - дифференциальным уравнением (21).(51) совпадает с (46). Теорема доказана.ЗАКЛЮЧЕНИЕРассмотрены неустойчивые сети множественного до-ступа, функционирующие в случайной среде. Предложе-ны математические модели таких сетей в марковскойсреде и выполнен асимптотический анализ этих моде-лей. Получено дифференциальное уравнение (7), опре-деляющее асимптотическое среднее значение x() числазаявок в источнике повторных вызовов, приведены фор-мулы (6), определяющие распределение вероятностей Rkсостояний канала связи. Показана возможность сущест-вования более чем одной точки стабилизации для такихнеустойчивых сетей связи. Получено дифференциальноеуравнение (23), характеризующее изменение отклоненийчисла заявок в источнике повторных вызовов от ихасимптотического среднего. Приведено решение этогоуравнения (46).

Скачать электронную версию публикации

Загружен, раз: 292

Ключевые слова

Авторы

ФИО	Организация	Дополнительно	E-mail
Вавилов Вячеслав Анатольевич	Томский государственный университет	аспирант кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики, ассистент кафедры информатики Анжеро-Судженского филиала Кемеровского государственного университета	vavilov@asf.ru

Всего: 1