The estimation of the dead time period and parameters of the asynchronous alternating event flow with extra event initiation.pdf Системы и сети массового обслуживания (СМО, СеМО)являются широко применяемой математической модельюреальных физических, технических, экономических и другихобъектов и систем. Случайные потоки событий, являющиесяосновными элементами СМО и СеМО, в свою очередь, ши-роко применяются в качестве математической модели реаль-ных процессов. В частности, информационные потоки заявок,циркулирующие в системах и сетях связи, в цифровых сетяхинтегрального обслуживания, в измерительных системах,потоки элементарных частиц (фотонов, электронов и т.д.),поступающие на регистрирующие приборы в физическихэкспериментах, достаточно адекватно описываются случай-ными потоками событий. Задачи по оценке состояний и па-раметров случайных потоков событий возникают в оптиче-ских и лазерных системах, функционирующих в режиме счё-та фотонов, например, при лазерном зондировании высотныхслоёв атмосферы, в оптических системах обнаружения, рас-познавания и сопровождения, работающих через атмосферуна предельно больших расстояниях, а также в оптическихсистемах загоризонтной связи.Условия функционирования реальных объектов и системтаковы, что если в отношении параметров обслуживающихустройств можно сказать, что они известны и с течениемвремени не меняются, то в отношении интенсивностей вхо-дящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Болеетого, интенсивности входящих потоков событий обычно ме-няются со временем, часто эти изменения носят случайныйхарактер, что приводит к рассмотрению математических мо-делей дважды стохастических потоков событий. С другойстороны, режимы функционирования СМО и СеМО непо-средственно зависят от интенсивностей входящих потоковсобытий. Вследствие этого важной задачей является задачаоценки в произвольный момент времени состояния и пара-метров потока событий по наблюдениям за этим потоком.Одними из первых работ по оценке состояний дваждыстохастических потоков событий, по-видимомуD , являютсяработы [1-4], в которых рассматривается асинхронный дваж-ды стохастический поток событий с двумя состояниями (MC-поток событий или поток с переключениями). Дальнейшиеисследования по оценке состояний дважды стохастическихпотоков событий, функционирующих в различных условиях,проведены в работах [5-9].В большинстве публикаций авторы рассматривают мате-матические модели потоков событий, когда события потокадоступны наблюдению. Однако на практике возникают ситуа-ции, когда наступившее событие может повлечь за собой не-наблюдаемость последующих событий. Одним из искажаю-щих факторов при оценке параметров потока событий высту-пает мёртвое время регистрирующих приборов [10, 11], кото-рое порождается зарегистрированным событием. Другие жесобытия, наступившие в течение периода мёртвого времени,недоступны наблюдению (теряются). По этой причине счёт-чик событий показывает, как правило, не истинную картину,а несколько искажённый ход явлений. В конкретных устрой-ствах регистрации величина и характер мёртвого временизависят от многих факторов. В первом приближении можносчитать, что этот период продолжается некоторое определён-ное (фиксированное) время T. Все устройства регистрацииможно разделить на две группы. Первую группу составляютустройства с непродлевающимся мёртвым временем, котороене зависит от наступления других событий в пределах егодействия. Ко второй группе относятся устройства регистра-ции с продлевающимся мёртвым временем. В последнемслучае мёртвое время возникает после любого события, по-ступившего на вход устройства, вне зависимости от факта егорегистрации, что приводит к увеличению общего периоданенаблюдаемости и, следовательно, к ещё большей потереинформации.Задачи по оценке параметров потока событий и оценкедлительности мёртвого времени рассматривались в работах[12-19; 20. С. 18−23, С. 24−29; 21−23]. При этом в [12, 13, 15]получены результаты для пуассоновского потока событий, в[14, 22] − для синхронного альтернирующего дважды стохас-тического потока событий, в [20. С. 18−23] − для синхронногодважды стохастического потока событий, в [20. С. 18−23; 21] −для полусинхронного дважды стохастического потока собы-тий, в [16, 17] − для асинхронного альтернирующего дваждыстохастического потока событий, в [18, 19, 23] − для асинхрон-ного дважды стохастического потока событий. В [13, 14, 18,20. С. 18−23, С. 24−29] исследования проведены в условияхотсутствия мёртвого времени; в [12, 16, 19, 21, 22] исследова-ния проведены для непродлевающегося мёртвого времени, в[15, 17, 23] − для продлевающегося мёртвого времени.Настоящая статья посвящена оценке длительности мёрт-вого времени и параметров асинхронного альтернирующегодважды стохастического потока с инициированием лишнегособытия (далее − поток с инициированием лишнего события)для случая непродлевающегося мёртвого времени. Подчерк-нём, что рассматриваемый поток событий достаточно адеква-тен при описании цифровых сетей интегрального обслужива-ния и относится к классу MAP-потоков [25, 26].ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассматривается поток с инициированием лишнего со-бытия, интенсивность которого есть кусочно-постоянныйстационарный случайный процесс ƒ(t) с двумя состояния-ми: ƒ(t) = ƒ, ƒ(t) = 0. Будем говорить, что имеет место пер-вое состояние процесса (потока), если ƒ(t) = ƒ, и, наоборот,имеет место второе состояние процесса (потока), еслиƒ(t)= 0. Если имеет место первое состояние процесса ƒ(t),то в течение временного интервала, когда ƒ(t) = ƒ, имеетместо пуассоновский поток событий с интенсивностью ƒ.Длительность пребывания процесса ƒ(t), в первом состоя-нии есть случайная величина, распределённая по экспо-ненциальному закону ( ) 1 1 ,1F t = − e−ƒ t где ƒ1 − интенсив-ность перехода из первого состояния процесса ƒ(t) во вто-рое. Если имеет место второе состояние процесса ƒ(t), тогенерация событий в этом состоянии не производится.Длительность пребывания процесса ƒ(t) во втором состоя-нии есть также экспоненциально распределённая случай-ная величина с функцией распределения ( ) 1 2 ,2F t = − e−ƒ tгде 2 ƒ − интенсивность перехода из второго состоянияпроцесса ƒ(t) в первое. Возможная интерпретация этогоследующая: момент перехода процесса ƒ(t) из первого со-стояния во второе «отключает» источник событий от ихгенерации (другими словами, источник событий в этотмомент времени «ломается», выходит из строя, и необхо-димо некоторое случайное время на его восстановлениелибо на замену). При этом переход из второго состояния впервое инициирует наступление лишнего события (т.е.источник событий восстановился и в момент восстановле-ния сгенерировал лишнее событие потока). Так как пере-ходы из состояния в состояние не связаны с наступлениемсобытий исходного потока, то поток называется асинхрон-ным. В сделанных предпосылках нетрудно показать, чтоƒ(t) = ƒ, ƒ(t) − марковский процесс.После каждого зарегистрированного в момент вре-мени ti события наступает время фиксированной дли-тельности T (мёртвое время), в течение которого дру-гие события исходного потока с инициированием лиш-него события недоступны наблюдению. Будем считать,что события, наступившие в течение мёртвого времени,не вызывают продление его периода. По окончаниимёртвого времени первое наступившее событие сновасоздаёт период мёртвого времени длительности T и т.д.Вариант возникающей ситуации показан на рисунке,где 1 и 2 − состояния случайного процесса ƒ(t); штри-ховкой обозначены периоды мёртвого времени дли-тельности T; t1, t2,... − моменты наступления событий внаблюдаемом потоке.12...ttt1 t2 t3 t5...tНаблюдаемый поток событий...... tt4Процесс ƒ(t)Поток событий с инициированием лишнего событияСхема создания непродлевающегося мёртвого времени1 ƒ 1 ƒ 1 ƒ2 ƒ 2 ƒ 2 ƒРассматривается установившийся (стационарный)режим функционирования потока событий, поэтому пе-реходными процессами на интервале наблюдения (t0, t),где t0 − начало наблюдений, t − окончание, пренебрега-ем. Тогда без потери общности можно положить t0 = 0.Так как процесс ƒ(t) является ненаблюдаемым, а на-блюдаемыми являются только временные моменты t1,t2,... наступления событий в наблюдаемом потоке, тонеобходимо по этим наблюдениям оценить (в момент tокончания наблюдений) параметры ƒ, ƒ1, ƒ2 случайно-го процесса ƒ(t) и длительность мёртвого времени T .ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИНТЕРВАЛА МЕЖДУ СОСЕДНИМИ СОБЫТИЯМИВ АСИНХРОННОМ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕМ ПОТОКЕ С ИНИЦИИРОВАНИЕМ ЛИШНЕГО СОБЫТИЯИсследуем сначала случай отсутствия мёртвого вре-мени, т.е. T = 0 . Рассмотрим временной отрезок (t0, t) иобозначим ƒj(t0, t) − вероятность того, что процесс ƒ(t) вмомент времени t находится в j-м состоянии, j = 1, 2(ƒ1(t0, t) + ƒ2(t0, t) = 1). Тогда для введённых вероятно-стей справедлива следующая система дифференциаль-ных уравнений:( ) ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ),, , , ,2 0 1 1 0 2 2 01 0 1 1 0 2 2 0t t t t t tt t t t t tƒ = ƒ ƒ − ƒ ƒƒ = −ƒ ƒ + ƒ ƒрешая которую вместе с начальными условиямиƒ( = )= ƒ 1 t0 ,t t0 , ƒ2(t0 ,t = t0)=1− ƒ , ( 0 ≤ ƒ ≤1), находим( )( , ) ., ,1 2 01 221 212 01 2 01 221 221 0⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ƒ + ƒ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ + ƒƒ− ƒ −ƒ + ƒƒƒ =− ƒ + ƒ −⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ + ƒƒ+ ƒ −ƒ + ƒƒƒ =t tt tt tt teeУстремляя здесь t к бесконечности (t  ) либо t0 кминус бесконечности (t0  − ), получаем финальныеаприорные вероятности состояний процесса ƒ(t) в виде1 221 ƒ + ƒƒƒ = ,1 212 ƒ + ƒƒƒ = , 1 2 1 ƒ + ƒ = . (1)Заметим, что апостериорные вероятности 1~ƒ и 2~ƒ со-стояний процесса ƒ(t) в момент наступления события (всилу определения потока с инициированием лишнегособытия), очевидно, есть ~ 11 ƒ = , ~ 02 ƒ = .Покажем, что рассматриваемый поток обладаетмарковским свойством, если его эволюцию рассматри-вать начиная с момента ti (момента наступления собы-тия). Подчеркнём, что поток с инициированием лишне-го события, по определению, обладает свойствами ста-ционарности и ординарности, поэтому он является по-током с ограниченным последействием (потоком Паль-ма) [26]. Итак, пусть момент времени ti - момент на-ступления события в рассматриваемом потоке. Тогдапроцесс ƒ(t), по определению, находится в первом со-стоянии. Покажем, что дальнейшая эволюция потока синициированием лишнего события полностью опреде-ляется состоянием процесса ƒ(t) в момент времени ti ине зависит от предыстории. Зарегистрированное в мо-мент времени ti событие может быть либо событием,наступившим внутри временного интервала, когда име-ет место первое состояние процесса ƒ(t) (событие 1-готипа), либо лишним событием, сынициированным впервом состоянии в момент перехода процесса ƒ(t) извторого состояния в первое (событие 2-го типа). Пустьнаступившее событие есть событие 1-го типа. Тогдаэволюция потока после момента ti определяется:1) числом событий, которые наступят после момен-та ti; но это число не зависит от того, как наступалисобытия до момента ti, так как в первом состоянии по-ток событий − пуассоновский с параметром ƒ;2) временем пребывания потока в первом состояниипосле наступления события в момент времени ti; нодлительность пребывания потока в первом состояниираспределена по экспоненциальному закону и не зави-сит от того, сколько времени находился поток (процессƒ(t)) в первом состоянии до момента ti; переход же изпервого состояния во второе определяет начало вре-менного участка второго состояния потока (процессаƒ(t)), т.е. начало временного участка второго состояниятакже не зависит от предыстории. Пусть наступившеесобытие есть событие 2-го типа. Тогда момент наступ-ления события 2-го типа определяет начало временногоучастка первого состояния потока (процесса ƒ(t)), в те-ение которого имеет место пуассоновский поток событийс параметром ƒ; но длительность пребывания потока(процесса ƒ(t)) во втором состоянии распределена по экс-поненциальному закону, обладающему свойством отсут-ствия последействия, поэтому эволюция потока послемомента ti в этом случае не зависит от предыстории.Таким образом, поток с инициированием лишнегособытия обладает марковским свойством в моменты tiнаступления событий. Тогда моменты наступлениясобытий ti, ti+1, ... не зависят от моментов ti−1, ti−2, ... .Отсюда следует, в силу произвольности i, что времен-ные интервалы ƒi = ti+1 − ti будут взаимно независимы-ми для любых i. Кроме того, в силу исходных предпо-сылок (стационарность функционирования потока со-бытий и стационарность процесса ƒ(t)) следует, чтоплотность вероятностей интервала между соседнимисобытиями потока p(ƒi) = p(ƒ) для любых i. Всё это оз-начает, что асинхронный альтернирующий поток с ини-циированием лишнего события, с другой стороны, яв-ляется рекуррентным потоком.Перейдём к нахождению плотности вероятностейp(ƒ). Отметим, что моменты времени t1, t2, ..., в которыерассматриваемый поток обладает марковским свойст-вом, образуют однородную цепь Маркова (вложеннуюцепь) [27]. Рассмотрим событие потока, наступившее впроизвольный момент времени ti. Так как исследуетсястационарный режим функционирования потока, то, ненарушая общности, припишем моменту наступленияэтого события момент ƒ = 0. Наступившее событие приэтом может быть либо событием 1-го типа, либо собы-тием 2-го типа. Если в момент ƒ = 0 произошло собы-тие потока, то возможны два варианта дальнейшейэволюции потока:1) процесс ƒ(t) остаётся в первом состоянии и на по-луинтервале [ƒ, ƒ + ƒƒ] наступает событие 1-го типа;2) процесс ƒ(t) на интервале (0, ƒ1) переходит во второесостояние, пребывает в этом состоянии в течение времен-ного интервала (ƒ1, ƒ) и на полуинтервале [ƒ, ƒ + ƒƒ] пере-ходит в первое состояние с одновременным инициирова-нием события 2-го типа в первом состоянии.Для первого варианта длительность интервала меж-ду соседними событиями потока есть экспоненциальнораспределённая случайная величина с плотностью ве-роятностей( ) ( ) − ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ + ƒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛11 1 p e , (2)для второго варианта - сумма двух экспоненциальнораспределённых случайных величин (ƒ = ƒ1 + ƒ2, ƒ1 −длительность пребывания процесса ƒ(t) в первом со-стоянии, (ƒ2 = ƒ − ƒ1 − длительность пребывания про-цесса ƒ(t) во втором состоянии) с плотностью вероят-ностей( ) ( )1 22 12 2 1 ƒ + ƒ − ƒ− ƒ + ƒ ƒ− ƒ ƒ −ƒ = ƒ ƒ + ƒ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛e e p . (3)Первый вариант эволюции потока заканчивается в мо-мент ƒ наступлением события 1-го типа, второй вари-ант − наступлением события 2-го типа. Тогда(ƒ)= (ƒ)+ (ƒ) p q1 p1 q2 p2 , (4)где qi − финальная вероятность того, что наступившеесобытие есть событие i-го типа (i = 1,2), q1 + q2 = 1.Так как моменты наступления событий образуютвложенную цепь, то для финальных вероятностей q1, q2имеют место следующие уравнения:1 1 11 2 21; 2 2 222 1 122 ; 1 2 1 q = q ƒ + q ƒ q = q ƒ + q ƒ q + q = , (5)где ƒi1 − вероятность того, что за время, которое прой-дёт от момента ƒ = 0, в который наступило событие i-готипа, поведение потока будет таковым, что следующимсобытием потока будет событие 1-го типа (i = 1,2); ƒi22− вероятность того, что за время, которое пройдёт отмомента ƒ = 0, в который наступило событие i-го типа,поведение потока будет таковым, что следующим со-бытием потока будет событие 2-го типа, при этом про-цесс ƒ(t) перейдёт сначала из первого состояния во вто-рое, а затем из второго состояния в первое с одновре-менным инициированием лишнего события.Пусть теперь [0, ƒ) − некоторый временной полуин-тервал. Введём в рассмотрение вероятности: ƒi1(ƒ) −условная вероятность того, что на интервале (0, ƒ) нетсобытий потока и в момент времени ƒ имеет место пер-вое состояние процесса ƒ(t) при условии, что в моментвремени ƒ = 0 имело место событие потока i-го типа (i== 1, 2); ƒi22(ƒ) − условная вероятность того, что на ин-тервале (0, ƒ) нет событий потока и в момент времени ƒимеет место второе состояние процесса ƒ(t) при усло-вии, что в момент времени ƒ = 0 имело место событиепотока i -го типа, i = 1,2 (при этом процесс ƒ(t) перей-дёт на интервале (0, ƒ) из первого состояния во второе).Тогда ƒi1(ƒ)ƒƒƒ + o(ƒƒ) − совместная условная вероят-ность отсутствия событий потока на интервале (0, ƒ) инаступления события потока 1-го типа на полуинтерва-ле [ƒ, ƒ + ƒƒ], где ƒƒ − достаточно малый интервал вре-мени, при условии, что в момент времени ƒ = 0 имеломесто событие i-го типа (i = 1, 2); ƒi22(ƒ)ƒ2ƒƒƒ + o(ƒƒ) −совместная условная вероятность отсутствия событийпотока на интервале (0, ƒ) и наступления события по-тока 2-го типа на полуинтервале [ƒ, ƒ + ƒƒ) при усло-вии, что в момент времени ƒ = 0 имело место событие i-готипа, i = 1, 2 (при этом процесс ƒ(t) на интервале (0, ƒ)сначала перейдёт из первого состояния во второе, азатем при переходе из второго состояния в первое сы-нициируется лишнее событие). Соответствующие ус-ловные плотности вероятностей при этом примут видƒ (ƒ) = ƒƒ (ƒ) 1 1~i i , ƒ (ƒ) = ƒ ƒ (ƒ) 22 2 22~i i , i = 1, 2. Так как ƒ −произвольный момент времени, то для нахождениявероятностей ƒi1, ƒi22 (i = 1,2), введённых в (5), необхо-димо проинтегрировать соответствующие условныеплотности вероятностей ƒ (ƒ) 1~i , ƒ (ƒ) 22~i , i = 1, 2, по ƒ отнуля до бесконечности:( ) ( )( ) ( )1( 1, 2) .~ ,~ ,1 2202 22022 220101 1ƒ + ƒ = =ƒ = ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ ƒƒ = ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ ƒ    id dd di ii i ii i i(6)Для вероятностей ƒi1(ƒ), ƒi22(ƒ), i = 1,1 справедливаследующая система дифференциальных уравнений:ƒ (ƒ) = −(ƒ + ƒ )ƒ (ƒ) ƒ (ƒ) = −ƒ ƒ (ƒ)+ ƒ ƒ (ƒ) i1 1 i1 , i22 2 i22 1 11с граничными условиями ƒi1(0), ƒi22(0), i = 1,1, решаякоторую, находим( ) − ƒ + ƒ ƒƒ ƒ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛11 e i , ( ) ⎢⎣⎡ − ƒ ƒ −ƒ + ƒ − ƒƒƒ ƒ = 21 2122 e i⎥⎦− ƒ + ƒ ƒ ⎤− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛e 1 ( i =1,2 ). (7)Подставляя выражения (7) в формулы (6), получаем, , 1 22 1 ( 1, 2).112211 ƒ + ƒ = =ƒ + ƒƒƒ =ƒ + ƒƒƒi = i i i i (8)Подставляя выражения (8) в систему уравнений (5),находим финальные вероятности qi (i = 1,1) в виде, , 1 2 111211 + =ƒ + ƒƒ=ƒ + ƒƒq = q q q . (9)Наконец, подставляя выражения (2), (3), (9) в формулу(4), выписываем выражение для плотности вероятно-стей интервала между соседними событиями потока синициированием лишнего события:( ) ( ) (1 ) 2 , 0,211 + − ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ ≥− ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ ƒ + ƒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛p e e (10)где ƒ = (ƒ − ƒ2)/(ƒ + ƒ1 − ƒ2), ƒ > 0, ƒ1 > 0, ƒ2 > 0.Отметим, что величина ƒ в (10) может быть как по-ложительной, так и отрицательной, при этом возможнытри случая:1) ƒ > ƒ2, ƒ +ƒ1 > ƒ2, тогда 0 < ƒ < 1 и плотность веро-ятностей (10) − убывающая функция переменной ƒ (ƒ ≥ 0)с точкой максимума ƒ0 = 0;2) ƒ < ƒ2, ƒ +ƒ1 < ƒ2, тогда ƒ > 1, при этом плотностьвероятностей (10) - убывающая функция переменнойƒ (ƒ ≥ 0) с точкой максимума ƒ0 = 0, если величина121221 ≤ ⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ + ƒƒƒ − ƒƒƒ = , и плотность вероятностей (10)при ƒ ≥ 0 имеет единственный максимум в точке1 ln 0 212212 10 >⎥ ⎥ ⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ + ƒƒƒ − ƒƒƒ − ƒ − ƒƒ = , (11)если ƒ > 1;3) ƒ < ƒ2, ƒ2 < ƒ + ƒ1, тогда ƒ < 0, при этом плотностьвероятностей (10) - убывающая функция переменнойƒ (ƒ ≥ 0) с точкой максимума ƒ0 = 0, если ƒ > 1, и плот-ность вероятностей (10) при ƒ ≥ 0 имеет единственныймаксимум в точке ƒ0 > 0, определённой формулой (11),если ƒ < 1.Подчеркнём, что если ƒ2 = ƒ, то рассматриваемыйпоток, как следует из (10), вырождается в пуассонов-ский с параметром ƒ. Наконец, если ƒ2 = ƒ + ƒ1, топлотность вероятностей (10) приобретает вид( ) [ ( )] 1 , 01 1 ƒ ≥− ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛p e . (12)Если ƒ ≥ ƒ1, то плотность вероятностей (12) - убы-вающая функция переменной ƒ (ƒ ≥ 0) с точкой макси-мума ƒ0 = 0; если ƒ < ƒ1, то плотность вероятностей (12)при ƒ ≥ 0 имеет единственный максимум в точкеƒ0=(ƒ1−ƒ)/ƒ1(ƒ+ƒ1)>0.ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИНТЕРВАЛА МЕЖДУ СОСЕДНИМИ СОБЫТИЯМИВ НАБЛЮДАЕМОМ ПОТОКЕРассмотрим теперь случай, когда при регистрации собы-тий потока с инициированием лишнего события присутству-ет мёртвое время длительности T (см. рисунок). В силу того,что мёртвое время привязано к моментам наступления собы-тий в исходном потоке, марковское свойство остаётся при-сущим и для моментов наступления событий в наблюдае-мом потоке. Припишем, не нарушая общности, моменту tiнаступления события в наблюдаемом потоке момент ƒ = 0.Обозначим через ƒj(ƒ)условную вероятность того, что в мо-мент времени ƒ процесс ƒ(t) будет находиться в состоянии j(j = 1,2) при условии, что в момент времени ƒ = 0 событиенаступило. Тогда для введённых вероятностей справедливаследующая система дифференциальных уравнений:() () ()( ) ( ) ( ),,2 1 1 2 21 1 1 2 2ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒƒ ƒ = −ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒрешая которую, находим( )( ) .,1 21 22121 21 1 2− ƒ + ƒ ƒ−ƒƒƒ ƒ =− ƒ + ƒ ƒƒ ƒ = +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛eeA AA A(13)В (13) A1, A2 − некоторые константы, которые опре-деляются из граничных условий:( ) ƒ1 0 = A1 + A2 , ( ) 1 2212 0 A − Aƒƒƒ = , (14)где ƒj(0) − условная (финальная) вероятность того, чтопроцесс ƒ(t) в момент времени ƒ = 0 находится в со-стоянии j (j = 1,2) при условии, что в этот момент вре-мени событие наступило (ƒ1(0) + ƒ2(0) = 1). Так какрассматриваемый поток является асинхронным альтер-нирующим потоком с инициированием лишнего собы-тия, то события наступают (наблюдаются) только впервом состоянии процесса ƒ(t), поэтому ƒ1(0) = 1,ƒ2(0) = 1. Тогда из (14) находим A1 = ƒ2(ƒ1 + ƒ2)−1, A2 == ƒ1(ƒ1 + ƒ2)−1. Полученные выражения для константA1, A2 совпадают с формулами (1) для финальных ап-риорных вероятностей состояний процесса ƒ(t). Так чтоокончательно выражения (13) примут вид( )( ) ,,1 22 2 21 21 1 2− ƒ + ƒ ƒƒ ƒ = ƒ − ƒ− ƒ + ƒ ƒƒ ƒ = ƒ + ƒ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ee (15)где ƒ1, ƒ2 определены формулами (1).Рассмотрим теперь временной интервал длительно-стью ƒ = T + t, состоящий из двух смежных интервалов:первый − длительностью T, второй − длительностью t.Началом первого интервала является момент наступле-ния события в наблюдаемом потоке, началом второгоинтервала − момент окончания мёртвого времени. Обо-значим Pj(t) − вероятность того, что в момент времени tпроцесс ƒ(t) будет находиться в j-м состоянии (j = 1, 2)и на интервале (0, t) событий наблюдаемого потока непроизойдёт. Обозначим A − событие, заключающееся втом, что на интервале (0, t) событий наблюдаемого по-тока не произойдёт и на полуинтервале [t, t + ƒt), где ƒt− достаточно малый интервал времени, произойдётсобытие наблюдаемого потока. Тогда вероятность со-бытия A запишется в виде P(A) = P1(t)ƒƒt + P2(t)ƒ ƒt ++ o(ƒt). Здесь подчеркнём, что если процесс ƒ(t) в мо-мент времени t находится во втором состоянии, то наполуинтервале [t, t + ƒt) процесс ƒ(t) с вероятностьюƒ2(ƒt) + o(ƒt) переходит в первое состояние, при этоминициируется лишнее событие в первом состоянии. Сдругой стороны, если p(t) − плотность вероятностейдлительности интервала между моментом окончаниямёртвого времени и следующим событием наблюдае-мого потока, то P(A) = p(t)ƒƒt + o(ƒt). Из сравненияэтих формул следует, чтоp(t) P1 (t) 2P2 (t) = ƒ + ƒ . (16)Для вероятностей Pj(t), j = 1, 2, имеет место сле-дующая система дифференциальных уравнений:P (t) ( )P (t) 1 1 1' = − ƒ + ƒ , P (t) P(t) P (t) 2 2 2 1 1' = −ƒ + ƒ ,решая которую, получаем( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ,00 0,0111 21211 212 211 1tPP t P P ttP t Peee⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ƒ + ƒƒ + ƒ − ƒƒ−− ƒ −⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒ + ƒ − ƒƒ= +− ƒ + ƒ=(17)где Pj(0) − вероятность того, что процесс ƒ(t) в моментвремени t = 0 находится в j-м состоянии (j = 1, 2). Сдругой стороны, момент времени t = 0 является момен-том окончания мёртвого времени длительности T, по-этому Pj(0) − вероятность того, что в момент окончаниямёртвого времени (в момент ƒ = T) процесс ƒ(t) будетнаходиться в j-м состоянии (j = 1, 2). Таким образом,для определения вероятностей (17) необходимо найтиявный вид Pj(0), j = 1,2.Введём в рассмотрение вероятность qi(T) − финальнуювероятность того, что наступившее событие в наблю-да-емом потоке есть событие i-го типа, i = 1,2 (q1(T) ++q2(T) = 1). Подчеркнём, что вероятности qi(T) отлича-ются от вероятностей qi, определённых в (9), так какпри формировании наблюдаемого потока часть собы-тий исходного потока с инициированием лишнего собы-тия теряется из-за присутствия мёртвого времени (см.рисунок). Найдём явный вид вероятностей qi(T), i = 1,2.Так как моменты наступления событий в наблюдаемомпотоке образуют вложенную цепь Маркова, то для фи-нальных вероятностей qi(T) справедливы следующиеуравнения:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1,,,1 22 1 122 2 2221 1 11 2 21+ == ƒ + ƒ= ƒ + ƒq qq T q T q Tq T q T q T(18)где вероятности ƒi1, ƒi22, i = 1,2 имеют тот же смысл,что и в (5), но для наблюдаемого потока событий. Та-ким образом, для определения вероятностей qi(T), i = 1,2,из уравнений (18) необходимо найти явный вид веро-ятностей ƒi1, ƒi22, i = 1,2.Введём в рассмотрение условные вероятности qij(T) −вероятность того, что процесс ƒ(t) в момент времени ƒ = T(в момент окончания мёртвого времени) находится в j-мсостоянии при условии, что в момент ƒ = 0 имеет местособытие i-го типа (i, j = 1,2). Пусть 0 ≤ ƒ ≤ T. Тогда длявведённых вероятностей qij(ƒ) имеет место следующаясистема дифференциальных уравнений: (ƒ)= −ƒ (ƒ)+ ƒ (ƒ) qi1 1qi1 2qi2 , (ƒ) = ƒ (ƒ)− ƒ (ƒ) qi2 1qi1 2qi2 , i =1,2 ,с граничными условиями q11(0) = q21(0) = 1, q12(0) = q22(0) = 0,решая которую, находим( ) ( )( ) ( ) ,,1 212 22 2 21 211 21 1 2− ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ = ƒ − ƒ− ƒ + ƒ ƒƒ = ƒ = ƒ + ƒ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛eeq qq q (19)где ƒ1, ƒ2 определены формулами (1). Отметим, чтоq21(0) = 1, q22(0) = 1, так как события (и 1-го, и 2-го типов)наступают только в первом состоянии процесса ƒ(t).Припишем теперь моменту окончания мёртвого вре-мени, по-прежнему, момент времени t = 0. Тогда на полу-интервале [t, t + ƒt), где ƒt - достаточно малый интервалвремени, с вероятностью ƒ(ƒt) + o(ƒt) произойдёт собы-тие 1-го типа либо с вероятностью ƒ2(ƒt) + o(ƒt) произой-дёт событие 2-го типа. Обозначим через pij(t) условнуювероятность того, что на полуинтервале [0, t) нет событийнаблюдаемого потока и в момент времени t имеет место j-есостояние процесса ƒ(t) при условии, что в момент време-ни t = 0 имеет место i-е состояние процесса ƒ(t) (i, j = 1,2).Тогда pi1(t)ƒƒt + o(ƒt) − совместная вероятность наступ-ления события 1-го типа на полуинтервале [t, t + ƒt) и пе-рехода процесса ƒ(t) из i-го состояния в первое за время t(i = 1,2); pi2(t)ƒ2 ƒt + o(ƒt)= pi22(t)ƒ2 ƒt + o(ƒt) − совместнаявероятность перехода процесса ƒ(t) из i-го состояния вовторое за время t с последующим переходом в первоесостояние на полуинтервале [t, t + ƒt) и инициированиемсобытия 2-го типа на этом полуинтервале (i = 1,2). Соот-ветствующие плотности вероятностей (вывод аналоги-чен выводу формулы (16)) при этом определятся в виде~ ( ) ( ),pi1 t pi1 t = ƒ pi22 (t) 2 pi22 (t)~ = ƒ , i = 1,2. Так как t − про-извольный момент времени, то вероятности переходапроцесса ƒ(t) из состояния i в состояние j (i, j = 1,2) завремя от момента окончания мёртвого времени до момен-та наступления следующего события наблюдаемого пото-ка запишутся в виде( ) ( )~ ( ) ( ) , 1, 2.~ ,02 22022 220101 1= = ƒ == = ƒ    p p t dt p t dt ip p t dt p t dti i ii i i(20)Интегрирование в (20) производится по бесконеч-ному интервалу времени, так как момент наступлениясобытия в наблюдаемом потоке (после момента време-ни t = 0) может, в принципе, быть равным бесконечно-сти. Таким образом, чтобы выписать переходные веро-ятности (20), необходимо найти явный вид вероятно-стей pi1(t), pi22(t), i = 1,2. Для этих вероятностей спра-ведливы следующие дифференциальные уравнения:pi1 (t) ( 1 )pi1 (t)  = − ƒ + ƒ , i =1,2 ,p222 (t) 2 p222 (t)  = −ƒ , p122 (t) 2 p122 (t) 1 p11(t)  = −ƒ + ƒс граничными условиями p11(0) = p22(0) = 1, p21(0) ==p122(0) = 0, решая которые, находим( ) ( )( )( ) .,, 0 ,22222 11 2112221111p t tp t t tp ttp tee ee= − ƒ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ƒ + ƒ− ƒ −ƒ + ƒ − ƒƒ==− ƒ + ƒ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛(21)Подставляя (21) в (20), получаем переходные веро-ятности в виде111 ƒ + ƒƒp = , 21 0 p = ,11122 ƒ + ƒƒp = , 222 1 p = . (22)В силу марковости процесса ƒ(t) полученные пере-ходные вероятности (19) и (22) позволяют (по извест-ной формуле [26]) выписать выражения для переходныхвероятностей ƒij в виде ƒij = qi1(T)p1j + qi2(T)p1j (i, j = 1,2),где qij(T) определены формулами (19), в которых ƒ = T;pij определены формулами (22); ƒi2 = ƒi22; pi2 = pi22, i = 1,2.Осуществляя подстановку в эту формулу выражений(19) и (22) (для соответствующих i, j), находим явныйвид переходных вероятностей ƒij:⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ƒ + ƒƒ + ƒƒ + ƒƒƒ = ƒ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ e 1 2 T1 2111 21 ,⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ − ƒ + ƒƒ + ƒ + ƒ −ƒ + ƒƒƒ = ƒ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛e 1 2 T1 212122 222 1 ,ƒi1 + ƒi22 = 1, i = 1,2,где ƒ1, ƒ2 определены в (1). Наконец, подставляя ƒi1,ƒi22, i = 1,2, в (18), получаем явный вид финальных ве-роятностей q1(T), q2(T):( ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ƒ + ƒƒ + ƒƒ + ƒƒ= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Tq T e 1 21 211 ,( )⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ − ƒ + ƒƒ + ƒ + ƒ −ƒ + ƒƒ= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Tq T e 1 21 2122 1 , (23)где ƒ1, ƒ2 определены в (1). Подставляя в (23) T = 0,получаем выражения (9) для случая отсутствия мёртво-го времени.Вероятностное поведение процесса ƒ(t) в течениемёртвого времени описывается формулами (15). Таккак события в наблюдаемом потоке делятся на события1-го и 2-го типов, то вероятности Pi(0), i = 1,2, в выра-жениях (17) запишутся в видеP1(0) = q1(T)ƒ1(ƒ = T) + q2(T)ƒ1(ƒ = T) = ƒ1(ƒ = T),P2(0) = q1(T)ƒ2(ƒ = T) + q2(T)ƒ2(ƒ = T) = ƒ2(ƒ = T), (24)где ƒi(ƒ = T), i = 1,2, определены формулами (15) при ƒ = T.Подставляя (24) в (17), а затем (17) в (16) производя приэтом необходимые преобразования и учитывая, что дли-тельность ƒ интервала между соседними событиями в на-блюдаемом потоке есть сумма длительности мёртвого вре-мени T (T − детерминированная величина) и длительностиинтервала между моментом окончания мёртвого времени инаступлением следующего события в наблюдаемом потокеt (ƒ = T + t), находим плотность вероятностей p(ƒ) в виде( ) ( )( ) ⎪⎪⎩⎪ ⎪⎨⎧ƒ ≥− ƒ ƒ −+ − ƒ ƒ+− ƒ + ƒ ƒ −ƒ ƒ + ƒ≤ ƒ ≤ƒ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛1 , если ,0, если 0 ,2211TTTTpee (25)ƒ > 0, ƒ1 > 0, ƒ2 > 0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ − ƒ + ƒƒ + ƒƒ + ƒ − ƒƒ − ƒƒ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛e 1 2 T1 21 22 ,где ƒ1, ƒ2 определены в (1). Положив в (25) T = 0, при-ходим к формуле (10), т.е. к формуле для плотностивероятностей интервала между соседними событиями васинхронном альтернирующем потоке с инициирова-нием лишнего события.Подчеркнём, что если ƒ2 = ƒ, то рассматриваемыйпоток, как следует из (25), вырождается в пуассонов-ский с мёртвым временем [12]. Если ƒ2 = ƒ + ƒ1, топлотность вероятностей (25) приобретает вид( ){( ) [ ( )][ ( )( )]⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎧ƒ ≥− ƒ + ƒ ƒ −⎭ ⎬ ⎫− ƒ + ƒ− ƒ − ƒ + ƒ ƒ −ƒ + ƒ + ƒ ƒ − −ƒ + ƒƒ , (26)где ƒ(T) определена в (25); в обозначениях p(T|ƒi), ƒ(T)подчёркивается, что p(T|ƒi), ƒ(T) являются функциямипеременной T.Упорядочим наблюдения p(T|ƒi), по возрастанию:ƒmin = ƒ(1) > ƒ(2) < ... < ƒ(n). Тогда оценкой максимальногоправдоподобия Tˆ длительности мёртвого времени Tбудет являться решение следующей оптимизационнойзадачи [28]:L(T | ƒ(1) ,..., ƒ(n))=( )( ) ƒ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎢ ⎢⎣⎡+− ƒ + ƒ ƒ −= ƒ ƒ + ƒnii TT e1( )11( ( ))0 min( )21 2 max< ≤ƒ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎥ ⎥⎦− ƒ ƒ − ⎤+ − ƒ ƒTi TT e . (27)Рассмотрим функцию( ) ( )( ) +− ƒ + ƒ ƒ −ƒ = ƒ ƒ + ƒ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Tp T Tii e( )11| ( )( ( )) ⎟⎠⎞⎜⎝− ƒ ⎛ ƒ −+ − ƒ ƒTTie( )21 2 , 0 < T ≤ ƒmin , i =1,n, (28)где ƒ(T) определена в (25). Нетрудно показать, что функ-ция (28) является возрастающей функцией переменной Tдля любых i, ƒ > 0, ƒ1 > 0, ƒ2 > 0. Если это так, то функцияправдоподобия (26) также является возрастающей функ-цией переменной T для любых ƒ > 0, ƒ1 > 0, ƒ2 > 0. Отсю-да следует, что решением оптимизационной задачи (27)является minTˆ = ƒ . Таким образом, minTˆ = ƒ есть оценкамаксимального правдоподобия длительности мёртвоговремени T при любых ƒ > 0, ƒ1 > 0, ƒ2 > 0. Аналогичныйрезультат имеет место и для случая ƒ2 = ƒ + ƒ1.ПОСТРОЕНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВИ ДЛИТЕЛЬНОСТИ МЁРТВОГО ВРЕМЕНИ МЕТОДОМ МОМЕНТОВВид плотности вероятностей (25) позволяет сделатьвывод о том, что возможна оценка (например, методоммаксимального правдоподобия либо методом момен-тов) неизвестных параметров распределения ƒ1 = ƒ + ƒ1,ƒ2, ƒ, T. Это означает, что имеется возможность оце-нить три неизвестных параметра ƒ, ƒ1, ƒ2 процесса ƒ(t)и оценить неизвестную длительность мёртвого време-ни T. Применение метода максимального правдоподо-бия при оценке параметров ƒ, ƒ1, ƒ2 (оценка макси-мального правдоподобия длительности мёртвого вре-мени T, как показано выше, есть minTˆ = ƒ для любыхƒ > 0, ƒ1 > 0, ƒ2 > 0) влечёт за собой очевидные трудно-сти, связанные с видом функции правдоподобия (26).Вследствие этого для оценки неизвестных параметровƒ, ƒ1, ƒ2, T используем метод моментов, дающий оцен-ки, обладающие достаточно хорошими свойствамипри больших выборках наблюдений [28].Рассмотрим статистики ƒ== ƒnikk n iC11 , гдеƒi = ti − ti +1 , i =1,n , k =1,2,... , т.е. наблюдаются n +1событий потока. В силу взаимной независимости ве-личин ƒi и их одинаковой распределённости имеет ме-сто M(Ck) = M(ƒk), где M - оператор математическогоожидания. Более того, статистика Ck, k = 1,2,... , схо-дится почти наверное при n   к M(ƒk). Тогда для оцен-ки неизвестных параметров ƒ1 = ƒ + ƒ1, ƒ2, ƒ, T распреде-ления (25) необходимо иметь четыре уравнения( ) kM ƒk = C , k =1,4, (29)где ( )  ( ) ƒ( )=−⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ− ƒ+ƒƒ−ƒ = ƒ ƒ ƒ = +kii ik k iTk k Tk iM p d T k1 1 21!! .В результате достаточно трудоёмких преобразова-ний из системы (29) получаем уравнение для опреде-ления оценки длительности мёртвого времени:− + ( − ) + ( − 3) 3 +3 1422151T 6 6C T 3 6C C T 4 C 6C T+ ( + − ) 2 +2 1 323 C4 12C1 C 8C C T+ ( C C − C C − C C + C C )T + 1 4 2 323 1 226 4 1 6 24 24 18 3 6 4 022 4 131 2 3 223 + C − C C C + C − C C + C C = . (30)Очевидно, что решение уравнения (30) возможнотолько численно. В качестве оценки Tˆ естественно вы-брать корень уравнения (30) из полуинтервала (0, ƒmin], гдеi ƒmin = min ƒ ( i =1,n ). При этом возможны варианты:1) если корень, попавший в полуинтервал (0, ƒmin],единственный, то тогда этот корень и есть Tˆ ;2) если ни один из корней не попал в полуинтервал(0, ƒmin], то тогда оценка minTˆ = ƒ ;3) если в полуинтервал (0, ƒmin], попадает более од-ного корня, то тогда для того, чтобы сделать оценкуTˆ , необходима некоторая дополнительная информа-ция либо, скажем, в качестве оценки Tˆ выбиратьсреднеарифметическое этих корней.Оценки 1ˆƒи 2 ˆ ƒ при этом выражаются в виде⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ƒ = − b + b − 4c2ˆ 1 21 , ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ƒ = − b − b − 4c2ˆ 1 22 ,= { 2 (2 ˆ − 6 ˆ + 6 ˆ + 3 − 3 1 2 ) }2121b T 3 C T C T C C C { − + 2 2 −131Tˆ 4 4C Tˆ 6C Tˆ2 } 16 1 2 ˆ 2 3 ˆ 2 1 3 3 2 − − C C T + C T − C C + C ,= { 6 ( ˆ − 2 ˆ − + 2 2 ) } { − + 2 2 −131Tˆ 4 4C Tˆ 6C Tˆ2 }16 1 2 ˆ 2 3 ˆ 2 1 3 3 2 − − C C T + C T − C C + C . (31)При этом должны выполняться следующие нера-венства: b2 − 4c > 0, b < 0, c > 0, так как оценки 1ˆƒи2 ˆ ƒ должны быть положительными. Кроме того, так какоценки 1ˆƒ, 2 ˆ ƒ , как видно из (31), являются корнями соот-ветствующего квадратного уравнения, то при выборе кор-ней принято, что ƒ + ƒ1 > ƒ2 (в реальных ситуациях вели-чины ƒ1 и ƒ2 обычно сравнимы между собой, а исходныйпоток событий достаточно интенсивен); если же имеетсядругая априорная информация о соотношении параметровпроцесса ƒ(t), то нужно в (31) просто поменять местами1ˆƒи 2 ˆ ƒ . Оценка ƒˆ выражается в виде⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ− −ƒ − ƒƒ ƒƒ =212 11 2ˆˆ 1ˆ ˆˆ ˆˆ C T . (32)Если найдены (по формулам (30)-(32)) оценки ƒˆ ,1ˆƒ, 2 ˆ ƒ , Tˆ , то имеется возможность найти оценку 1 ˆ ƒс использованием формулы (25) для ƒ:[( ) ] ( ) +− ƒ + ƒƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ + ƒ + ƒ − ƒ ƒ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛e Tˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 2 ˆ1 2 2 1 1 2 1 1ˆ (ˆ ˆ )(ˆ 1) 0 2 1 2 + ƒ ƒ − ƒ ƒ − = . (33)В уравнении (33) оценки Tˆ , 1ˆƒ, 2 ˆ ƒ , ƒˆ определя-ются выражениями (30) - (32) соответственно. Нако-нец, оценка параметра ƒ находится в виде1 1 ƒˆ = ƒˆ − ƒˆ . (34)ЗАКЛЮЧЕНИЕПолученные результаты показывают возможностьоценивания длительности мёртвого времени по резуль-татам текущих наблюдений (в течение некоторого вре-менного интервала) за потоком событий для регистри-рующих приборов первого рода (приборов с непродле-вающимся мёртвым временем), а также возможностьоценки параметров исходного асинхронного альтерни-рующего потока с инициированием лишнего события.Выражения (31), (32), (34) для оценок параметровраспределения (25) получены в явном виде как функциистатистик Ck и оценки Tˆ , являющейся корнем полинома(30), что позволяет производить вычисления без привле-чения численных методов решения уравнений (29).Рассматриваемый случай характерен тем, что оце-нивание производится в условиях отсутствия априор-ной информации о параметрах потока событий. Однакоесли имеется дополнительная информация о парамет-рах потока событий (граничный случай - известны всепараметры ƒ, ƒ1, ƒ2), то качество

Скачать электронную версию публикации