Model predictive control for systemswith random parameters and multiplicative disturbances.pdf Одним из эффективных подходов к синтезу систем уп-равления, получившим широкое признание и применение впрактике управления сложными технологическими процес-сами является метод управления с прогнозирующей моделью(прогнозирующее управление) [1]. Идея этого метода, по-видимому, впервые была предложена А.И. Пропоем в работе[2] и состоит в следующем.Пусть эволюция динамической системы описывается мо-делью в дискретном времени и зависит от выбора управленийu(k). На каждом шаге k при некотором заданном горизонтепрогнозирования p вычисляется последовательность прогно-зирующих управлений u(k/k), u(k+1/k), …, u(k+p−1/k), зави-сящих от состояния системы в текущий момент времени k,которая оптимизирует выбранный критерий на горизонтепрогноза. В качестве управления u(k) в момент k полагаютu(k) = u(k/k), тем самым получая управление как функциютекущего состояния, т.е. управление с обратной связью. Что-бы получить управление на следующем шаге, процедура по-вторяется для текущего момента k+1, при этом горизонтуправления сдвигается на один шаг. Сходная идея, принад-лежащая Н.Н. Моисееву, описана в [3].Привлекательной чертой этого подхода является возмож-ность достаточно просто учитывать явные ограничения на пере-менные состояния и управления. При этом получается стратегияуправления с обратной связью, но удается избежать так назы-ваемого проклятия размерности, которое препятствует синтезууправлений с обратной связью при ограничениях, если приме-нять традиционные подходы с использованием метода динами-ческого программирования. При учете ограничений синтез про-гнозирующих стратегий управления обычно сводится (в зависи-мости от выбора критерия) к решению задач линейного [2, 4]или квадратичного [5] программирования, для решения которыхсуществуют эффективные методы [6].В данной работе рассматривается задача синтеза страте-гий управления с прогнозирующей моделью для дискретныхсистем со случайными параметрами, возмущенных аддитив-ными и мультипликативными шумами, зависящими от со-стояний и управлений. Проблема синтеза регуляторов длятаких систем при различных предположениях о характереизменения случайных параметров без учета явных ограниче-ний на управления рассматривалась в ряде работ [7−10]. Вчастности, в [7] получены уравнения синтеза линейно-квадратичных регуляторов для систем с мультипликативны-ми шумами и случайными параметрами, представляющимисобой последовательность независимых случайных величин,для которых известны только первый и второй моменты рас-пределения.В данной работе для таких систем получены уравнениясинтеза оптимальных стратегий управления с прогнозирую-щей моделью, которые позволяют учитывать явные ограни-чения на управляющие переменные.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПусть объект управления описывается уравнениями( ) [ ] ( ) [ ] + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ + ƒ = + ƒ=( 1) , , ( ) ( )10 x k A k k A k k v k x kmii i( ) [ ] ( ) [ ] + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ƒ+ƒ+ƒ=, , ( ) ( )10 B k k B k k v k u kmii i+ D[ƒ(k ),k]w(k), (1)где x(k) − nx-мерный вектор состояния, u(k) - nu-мерныйвектор управления, v(k) и w(k) - векторы белых шумов раз-мерностей m и nw с нулевыми средними и единичнымиматрицами ковариаций, причем M{w(k)vT (s)}= 0 длялюбых k и s; ƒ(k) - последовательность независимых q-мерных случайных векторов с известными первым и вто-рым моментами: M{ƒ(k)}= ƒ(k) , M{ ƒ(k)T ƒ(k)}= ƒ(k) иM{ƒ(k)wT (s)}= 0 , M{ƒ(k)vT (s)}= 0 для любых k и s;Aj[ƒ(k), k], Bj[ƒ(k), k] и D[ƒ(k), k] ( j = 0,m ) - матрицысоответствующих размерностей, зависящие от ƒ(k) ли-нейно; vj(k) - j-я компонента вектора v(k); M - операторматематического ожидания, символ T означает транс-понирование.На управляющие воздействия наложены следующиеограниченияumin(k) ≤ s(k) u(k) ≤ umax(k). (2)Необходимо определить закон управления системой(1) при ограничениях (2) из условия минимума крите-рия со скользящим горизонтом управления( )⎩ ⎨ ⎧+ + + + = + ƒ=piJ k p k x k i R k i x k i11M T ( ) ( ) ( )⎭ ⎬ ⎫+ + + +ƒ−=( ) ( ) ( ) ( )102uT k i k R k i u k i k x kpi, (3)где M{…/…} - оператор условного математическогоожидания; p - горизонт прогноза, k = 0, 1, 2,… - теку-щий момент времени; R1(k+i) ≥ 0 и R2(k+i) > 0 - весо-вые матрицы соответствующих размерностей.СИНТЕЗ СТРАТЕГИЙПРОГНОЗИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯПрогнозирующие управления определяются по сле-дующему правилу: на каждом шаге k минимизируемфункционал (3) по последовательности программныхуправлений u(k/k), ..., u(k+p-1/k), зависящих только отсостояния системы в момент k. В качестве управленияв момент k берем u(k) = u(k/k). Тем самым получаемуправление u(k) как функцию состояния x(k), т.е.управление с обратной связью. Чтобы получить управ-ление u(k+1) на следующем шаге, процедура повторя-ется для текущего момента k+1.В дальнейшем будем использовать следующие обо-значения: для любой матрицы ƒ[ƒ(k), k], зависящей отƒ(k), ƒ(k) = M{ƒ[ƒ(k ), k] } и ƒ~ (k ) = ƒ[ƒ(k ), k]− ƒ(k) , неуказывая явную зависимость матриц от ƒ(k).Теорема. Оптимальная стратегия прогнозирующегоуправления системой (1) при ограничениях (2), мини-мизирующая критерий (3) при фиксированном гори-зонте управления p, определяется уравнениемu(k ) =[Iu 0u L 0u]U(k ) ,где( )( )( )⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ −=u k p ku k kU k1K (4)определяется из решения задачи квадратичного про-граммирования с критерием видаY(k+p/k) = UT(k)H(k)U(k) + 2xT(k)G(k)U(k), (5)при ограниченияхUmin(k) ≤ S(k)U(k) ≤ Umax(k), (6)где Iu - единичная матрица размерности nu, 0u - квад-ратная нулевая матрица размерности nu; H(k), G(k) иUmin(k), Umax(k), S(k) - блочные матрицы вида( )( ) ( )( ) ( )⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡=H k H kH k H kH kp pppKK K KK111 1, (7)G(k ) [G1(k ) K Gp (k )] = , (8)( )( )⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ −=1( ) ...minminmin u k pu kU k ,( )( )⎥ ⎥⎦⎤⎢ ⎢⎣⎡+ −=1( ) ...maxmaxmax u k pu kU k ,S(k ) = diag(s(k ),..., s(k + p −1)),блоки которых определяются следующими соотноше-ниями:( )( ) ( ) ( )( )⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩⎪⎪ ⎪ ⎪⎨⎧>− + + − =−

Скачать электронную версию публикации