Mean continuation of occupation period in the one-line queueing systemwith synchronous double stochastic input flow.pdf Дважды стохастические потоки событий вызывают в по-следнее время все больший интерес, так как они являютсяхорошей математической моделью для многих реальных по-токов событий. Однако сложность объекта делает его иссле-дование очень трудным в аналитическом плане. В работерассматривается и решается одна частная задача теории мас-сового обслуживания для дважды стохастического потока сдвумя состояниями интенсивности.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИРассмотрим дважды стохастический пуассоновский по-ток событий с двумя состояниями интенсивности ƒ1 и ƒ2. Вдальнейшем для определенности будем считать, что ƒ1 > ƒ2.Переходы между этими состояниями возможны только вмомент наступления нового события. Если поток находитсяв состоянии ƒ1, то вероятность перехода ƒ1  ƒ2 равна ƒ1, авероятности остаться в том же состоянии 1 − ƒ1. Если потокнаходится в состоянии ƒ2, то вероятность перехода ƒ1  ƒ2равна ƒ2, а вероятности остаться в том же состоянии 1 − ƒ2.Будем считать, что этот поток поступает на однолинейнуюСМО с бесконечным бункером. Под работой x, которуюнесет заявка, будем понимать то время, которое требуетсядля обслуживания заявки на обслуживающем приборе. Бу-дем считать, что эта работа является случайной величиной сплотностью вероятностей, exp 1 ) ( ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ƒ−ƒp x = x (1)так что ƒ имеет смысл среднего времени обслуживанияодной заявки.Под незавершенной работой w будем пониматьсуммарное время обслуживания заявок, находящихся вбункере, плюс остаточное время обслуживания заявки,находящейся на приборе.ВЫВОДДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙОбозначим через w незавершенную работу в мо-мент времени t. Через mi(w), i = 1, 2 обозначим среднеевремя до опустошения системы, если в момент времениt интенсивность входящего потока была равна ƒi.Выведем уравнение для m1(w). Рассмотрим интер-вал времени [t, t + ƒt]. За это время может произойти:1) с вероятностью 1 − ƒ1ƒt + o(ƒt) новая заявка не при-дет; тогда незавершенная работа уменьшится на ƒt, асреднее время до опустошения системы станет m1(w − ƒt);2) с вероятностью ƒ1ƒt(1 − ƒ1) + o(ƒt) придет новаязаявка, требующая для своего обслуживания время x, асостояние потока останется прежним. Тогда незавер-шенная работа станет w + x − ƒt, а среднее время доопустошения системы станет m1(w + x − ƒt);3) с вероятностью ƒ1ƒtƒ1 + o(ƒt) придет новая заяв-ка, требующая для своего обслуживания время x и из-менится состояние потока. Тогда незавершенная работастанет w + x − ƒt, а среднее время до опустошения сис-темы станет m2(w + x − ƒt).Так как прошло время ƒt, то имеем выражение(1 ) ( ) ( ) .( ) ( )( ) (1 ) ( )01 1 101 1 21 1 1+ ƒ ƒ − ƒ + − ƒ+ ƒ ƒ ƒ + − ƒ += ƒ + − ƒ ƒ − ƒ +t m w x t p x dxt m w x t p x dxm w t t m w tРазложим m1(w − ƒt), сократим m1(w), разделим наƒt и перейдем к пределу ƒt  0. Получим+ + ƒ ƒ + ƒ − =  0m1(w) 1 1m1(w) 1 1 m2 (w x) p(x)dx(1 ) ( ) ( ) .01 1 1 + ƒ − ƒ m w + x p x dx (2)Аналогично получим+ + ƒ ƒ + ƒ − =  0m2 (w) 1 2m2 (w) 2 2 m1(w x) p(x)dx(1 ) ( ) ( ) .02 2 2 + ƒ − ƒ m w + x p x dx (3)Систему уравнений (2), (3) надо решить при гра-ничном условии m1(0) = m2(0) = 0.ВИД РЕШЕНИЙ И ИХ НАХОЖДЕНИЕВ (2) вместо p(x) подставим (1) и в интеграле сдела-ем замену w + x = z, умножим обе части уравнения наe−w/ƒ и продифференцируем по w:(1 ) ( ) .1 ( ) ( )( ) 1 ( ) 1 ( )11 121 11 11 1 1 1− ƒ− ƒ − ƒ− ƒ − ƒ − ƒƒƒ − ƒ++ƒƒ ƒƒ −ƒ+− ƒ  +ƒ = −ƒ −ww ww w wm w em w e m w em w m w e e m w eСократив множитель e−w/ƒ, получим уравнение( ) 1 .( ) ( )( 1 ) ( )11 121 11 1 1= − ƒƒƒ ƒ−−ƒƒ ƒ +  ƒ − ƒ +m wm w m w m wАналогичное уравнение получится и из (3).Заметим, что в правой части уравнений стоит константа,а один из корней характеристического уравнения равен 0 .Поэтому решение системы (2), (3) будем искать в виде( ) ( 1) .( ) ( 1) ,2 2 21 1 1= + −= + −−−zwzwm w A w B em w A w B eСлагаемые A1w и A2w соответствуют частному решениюнеоднородного уравнения, а 1 получается потому, что ко-рень характеристического уравнения равен нулю. Коэффици-енты подобраны для выполнения условия m1(0) = m2(0) = 0.Коэффициенты A1, A2, B1, B2 и z найдем, подставляяэти решения в (2) и (3). Подстановка в (2) дает1 (1 ) ( ) 1,(1 )( ) 1 (1 )( 1)1 1 11 111 1 11 11 1 2 21 1 1 1 1 1 1 1 2+ ƒ − ƒ + ƒ +ƒ +ƒ − ƒ+− ƒ − ƒ +ƒ +ƒ ƒ+ ƒ ƒ + ƒ +− = −ƒ − ƒ − − ƒ ƒ +−−− −B z e A wA w B z e BA B e z A w B e Bzwzwzw zwгде ( ) ,0ƒ = xp x dx 1.( ) 1 10 0 ƒ +=ƒ = ƒ − −−e p x dx e dx zzx zx xПриравнивая коэффициенты при слагаемых, содер-жащих w, получим ƒ1ƒ1A1 − ƒ1ƒ1A2 = 0, откуда следует,что A1 = A2. Далее их будем обозначать как A.Приравнивая свободные члены, получаемA = 1+ Aƒ1ƒ + ƒ1ƒ1(B1 − B2 ) . (4)Из уравнения (3) получимA = 1+ Aƒ2ƒ + ƒ2ƒ2 (B2 − B1) . (5)Умножая (4) на ƒ1ƒ1, (5) на ƒ2ƒ2 и суммируя, полу-чим явное выражение для A:1 1(1 2 ) 2 2 (1 1 ) .1 1 2 2ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ − ƒ ƒƒ ƒ + ƒ ƒA =Определим знак A. Интенсивности переходов ƒ1  ƒ2и ƒ2  ƒ1 равны ƒ1ƒ1 и ƒ2ƒ2. Значит, в состоянии ƒ1поток находится в среднем 1/ƒ1ƒ1, за этот интервал всреднем придет 1/ƒ1 заявок и может быть обслужено всреднем 1/ƒ1ƒ1ƒ заявок. Аналогично для состояния ƒ2.Это приводит к условию 1 1 1 1 .1 1 2 2 1 2 ƒ+ƒ>ƒ ƒ ƒ+ƒ ƒ ƒПосле преобразований получаем следующее условие ра-ботоспособности системы: ƒ1ƒ1(1−ƒ2ƒ) + ƒ2ƒ2(1−ƒ1ƒ)>0, от-куда следует, что A > 0.Приравнивая коэффициенты при e−zw, получим, что1 1 0 .1 121 1 11 =ƒ +ƒ ƒ− ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ +ƒ ƒ + ƒ ƒz z B zB z (6)Такая же операция над (3) даст, что1 1 0 .2 2 222 21 = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ +ƒ ƒ + ƒ ƒ+ƒ +ƒ ƒ− z zB z B z (7)Относительно B1 и B2 получили систему однород-ных алгебраических уравнений. Для того чтобы эта си-стема имела ненулевое решение, необходимо, чтобы еедетерминант был равен нулю:01 11 12 2 2 2 21 1 1 1 1=−ƒ +ƒ ƒ + ƒ ƒƒ +ƒ ƒ−ƒ +ƒ ƒ− −ƒ +ƒ ƒ + ƒ ƒ=zzzzzzzzD .Это условие определит нам z. Сначала отметим, что приz = 0 0 ,2 2 2 2− ƒ1 ƒ1 ƒ ƒ1 1 =D = ƒ ƒ − ƒ ƒ т.е. z = 0 является корнемхарактеристического уравнения. Раскрывая детерминант исокращая z, получим характеристическое уравнение для z:ƒ − ƒ(ƒ1ƒ + ƒ2ƒ − 2) + (1− ƒ1ƒ(ƒ1 +1) −z3 2 z2 z− ƒ ƒ(ƒ +1) + ƒ ƒ ƒ2 ) −2 2 1 21 1(1 2 ) 2 2 (1 1 ) 0. −ƒ ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ =Найдем B1 и B2. Из (6) имеем⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ +ƒ ƒ− = −ƒ +ƒ ƒ1( ) 1111 2 11 1zB B B zz;с другой стороны имеем выражение (4), откуда получа-ется A(1 − ƒ1ƒ) − 1 = B1z(zƒ + 1 − ƒ1ƒ).Подставляя выражение для A, получим( ( 1) ( 1)) ( 1) .( )1 1 2 2 2 1 11 1 1 21 ƒ ƒ ƒ ƒ − + ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ − ƒ ƒ +ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ=B z zАналогично находится выражение для B2:( ( 1) ( 1)) ( 1) .( )1 1 2 2 2 1 12 2 2 12 ƒ ƒ ƒ ƒ − + ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ − ƒ ƒ +ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ=B z zПериод занятости начинается с прихода заявки, котораянесет с собой работу, распределенную по (1). Поэтомусредняя длительность периода занятости при условии, чтов момент его начала интенсивность была ƒ1, равна − ƒƒ=01 1m m (w) 1 e w dw .Подставляя сюда выражение для m1(w), получим11111 1 1 ƒ +ƒ+ ƒ = ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −ƒ += ƒ +zA B zzm A B .Подставим значение A и B1:.( 1)( 1 )(1 ) (1( 2 )( )121 1 2 2 2 11 1 1 2 21ƒ + ƒ + − ƒ ƒƒ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ − ƒ ƒƒ + − ƒ ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ= +z zz zmАналогично.( 1)( 1 )(1 ) (1( 2 )( )111 1 2 2 2 12 1 1 2 21ƒ + ƒ + − ƒ ƒƒ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ − ƒ ƒƒ + − ƒ ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ= +z zz zmНайдем среднее время простоя системы mi, если вначальный момент поток находился в состоянии ƒ1.Пусть в момент времени t в системе нет заявок, тогдаможет произойти только приход новой заявки, которыйзавершит период простоя. В среднем заявка придетчерез время 1/ƒ1. Таким образом, mi = 1/ƒ1.РАСЧЕТ БЕЗУСЛОВНОЙ СРЕДНЕЙДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРИОДА ЗАНЯТОСТИДля вычисления безусловного среднего значения перио-да занятости надо найти вероятности ƒi того, что в началепериода занятости ƒ = ƒi, тогда m = ƒ1m1 + ƒ2m2 .РАСЧЕТ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХВЕРОЯТНОСТЕЙОбозначим через i количество заявок в системе. Пустьi = 0, т.е. система пуста. Найдем вероятности Pj1(0) того, чтосистема перейдет в состояние ƒ = ƒ1, i = 1, не заходя в со-стояние ƒ = ƒ2, i = 1, если в начальный момент времени онанаходится в состоянии ƒ = ƒj, i = 0. Тогда, рассматривая со-стояние системы спустя время ƒt, можно записатьP11(0) = (1− ƒ1ƒt)P11(0) + ƒ1ƒt(1− ƒ1) ⋅1+ o(ƒt) ,P21(0) = (1− ƒ2ƒt)P21(0) + ƒ2ƒtƒ2 ⋅1+ o(ƒt) .Отсюда получаем P11(0) = 1 − ƒ1, P21(0) = ƒ1. Анало-гично P12(0) =ƒ1, P22(0) = ƒ2.РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙНайдем теперь основные для дальнейшего вероят-ности Pj1(i) и Pj2(i). Здесь Pj1(i) есть вероятность пере-хода из состояния ƒ = ƒi, i = i в состояние ƒ = ƒ1, i = 1 сзаходом в состояние i = 0, т,е. при условии, что будетопустошение системы. Тогда, рассматривая состояниесистемы спустя время ƒt при i > 1, можно записать(1 ) ( 1) 1 ( 1) ( ),( ) (1 1 ) ( ) ( 1)1 1 11 1111 1 11 1 1 21t P i tP i o tP i t t P i t P iƒ − + ƒƒ+ ƒ ƒ − ƒ + +ƒ + ƒ ƒ ƒ + +ƒ= − ƒ ƒ −(1 ) ( 1) 1 ( 1) ( ).( ) (1 1 ) ( ) ( 1)2 2 21 2121 2 21 2 2 11t P i tP i o tP i t t P i t P iƒ − + ƒƒ+ ƒ ƒ − ƒ + +ƒ + ƒ ƒ ƒ + +ƒ= − ƒ ƒ −Это приводит к системе (обозначим li = ƒiƒ, ai = aiƒ)( 1) ( ) ( ) 0,( 1) ( ) ( 1)11 1 111 1 21 1 1 11+ ƒ − − ƒ + ƒ =+ + ƒ − + +P i l P il a P i l a P i( 1) ( ) ( ) 0.( 1) ( ) ( 1)21 2 212 2 11 2 2 21+ ƒ − − ƒ + ƒ =+ + ƒ − + +P i l P il a P i l a P iКак это следует из общей теории, будем искать ре-шение в виде 1P11(i) =C ⋅ ƒi− ; 1P11(i) = (C⋅K) ⋅ ƒi− . Этоприводит к системе( ) ( ( ) ( 1 ) ) 0;21 121 1 l a CK k + C l ƒ − a k + ƒ − l ƒ + ƒ k = (8)( )( ( ) ( 2 ) ) 0.22 22l2a2Ck + CK l ƒ − a k + ƒ − l ƒ + ƒ k = (9)Чтобы система имела не нулевое решение относи-тельно C и (C⋅K), надо, чтобы ее детерминант был ра-вен 0 , т.е.0( ) (1 ( 1)( ) (1 ( 1))222 2 2 21 1 121 1 =ƒ− + ƒ − +ƒ− + ƒ − +l a l a k l kl a k l k l a .Один корень этого уравнения очевиден - это ƒ =1,так как при этом определитель принимает вид02 2 2 21 1 − 1 1 =−l a l al a l a .Заметим, что величина K, соответствующая этомукорню, равна 1.Для нахождения уравнения, определяющего осталь-ные корни, раскроем детерминант и получившийся мно-гочлен четвертой степени поделим на двучлен ƒ −1. То-гда получим относительно ƒ уравнение третьей степени:( )) ( 1) 0.( ) (1 2 1 2 1 21 1 2 221 2 1 23− ƒ + + + ƒ + + − ƒ =ƒ − − + + −l l l l k l lk l l a a k l a l aЭто уравнение имеет три разных вещественных корня.Из них только один корень, лежащий на отрезке (0, 1),соответствует стационарному режиму. В дальнейшемчерез ƒ обозначен именно этот корень.Выведем еще выражение для константы K, соответ-ствующее этому корню. Из уравнения (8) получаем1 (1 )(1 ) , 21 11l a kK k kl ƒ − −− = (10)а из (9)1 (1 )(1 ) .22 22l a kk klKK ƒ − −=− (11)Из (10) и (11) получаем выражение для K, соответ-ствующее корню ƒ : (1 ) .(1 )2 1 11 2 2kl l aK − kl l a−= −С учетом полученных результатов мы можем написать( ) .( ) ,121111−−= + ⋅ ƒ= + ⋅ ƒiiP i C D KP i C D (12)Для нахождения констант C и D надо выписать урав-нения для P11(1) и P21(1) с учетом того, что мы обязатель-но должны пройти через состояние i = 0. Тогда имеем(1 ) (2) 1 (0) ( ),(1) (1 1 ) (1) (2)1 1 11 1111 1 11 1 1 21t P tP o tP t t P t Pƒ + ƒƒ+ ƒ ƒ − ƒ +ƒ + ƒ ƒ ƒ +ƒ= − ƒ ƒ −(1 ) (2) 1 (0) ( ),(1) (1 1 ) (1) (2)2 2 21 2121 2 21 2 2 11t P tP o tP t t P t Pƒ + ƒƒ+ ƒ ƒ − ƒ +ƒ + ƒ ƒ ƒ +ƒ= − ƒ ƒ −где P11(0) и P21(0) были найдены ранее. Отсюда обыч-ным образом получаем систему11(1)( 1 1) 1 1 21(2) 1(1 1) 11(2) 1 11(0) , P P P P ƒ= ƒ ƒ + ƒ − ƒ +ƒƒ +21(1)( 2 1) 2 2 11(2) 2 (1 2 ) 21(2) 1 21(0) . P P P P ƒ= ƒ ƒ + ƒ − ƒ +ƒƒ +Подставим сюда (12) и получим1 ( ) (1 ) (1 ) 1 (0) ,1 1 1 11 C D D k Dk K P ƒ+ + ƒ − + ƒ ƒ − =ƒ1 ( ) (1 ) (1 ) 1 (0) .2 2 2 21 C DK DK k Dk K P ƒ+ + ƒ − + ƒ ƒ − =ƒОтсюда находится C и D. Явное выражение не вы-писано из-за громоздкости.Для дальнейшего нам нужна лишь вероятностьP21(1), которую мы будем обозначать как ƒ21. Так каквсякий период занятости начинается из состояния 1, то,по смыслу, P21(1) есть вероятность того, что следую-щий период занятости начнется при ƒ = ƒ1, если теку-щий период занятости начался при ƒ = ƒ2.Аналогичными рассуждениями находится ƒ12.Пусть ƒi, i = 1, 2 есть финальные (стационарные)вероятности того, что период занятости начнется изсостояния ƒ = ƒi. Поэтому для определения ƒ1 и ƒ2 мыимеем обычную систему1,,,1 21 11 2 21 11 12 2 22 2ƒ + ƒ =ƒ ⋅ ƒ + ƒ ƒ = ƒƒ ⋅ ƒ + ƒ ƒ = ƒоткуда ,12 21211 ƒ + ƒƒƒ = .12 21122 ƒ + ƒƒƒ =СТАЦИОНАРНАЯ ПЛОТНОСТЬВЕРОЯТНОСТЕЙНЕЗАВЕРШЕННОЙ РАБОТЫОбозначим через ƒi(w), i = 1, 2 стационарную плот-ность вероятностей незавершенной работы при усло-вии, что интенсивность потока ƒ = ƒ1. Выведем урав-нение для ƒ1(w).Пусть в некоторый момент времени t величина незавер-шенной работы равна w. Рассмотрим момент времени t − ƒt.Тогда попасть в состояние w можно различными путями.1. С вероятностью 1 − ƒ1ƒt + o(ƒt) за время ƒt не на-ступило события потока. Тогда незавершенная работабыла w + ƒt.2. С вероятностью ƒ1ƒt(1 − ƒ1) + o(ƒt) за время ƒtпришла новая заявка, но состояние потока не измени-лось. Тогда незавершенная работа была ƒ01ƒe−ƒw+( ) ,0( ) 1 + ƒ ƒ −ƒ −wx e w x dx где ƒ01 − вероятность того, что вмомент времени t − ƒt система была пуста, а ƒ = 1/ƒ −интенсивность обслуживания.3. С вероятностью ƒ2ƒ2ƒt пришла новая заявка иизменилось состояние потока. Тогда незавершенная ра-бота была ( ) ( ).002 2 e x e w x dxwƒ ƒ −ƒw +  ƒ ƒ −ƒ −В итоге получим уравнение для ƒ1(w):+ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ +ƒ − ƒ ƒ + ƒ − ƒ ƒ ƒ +−ƒ − −ƒ−ƒ www xwx e dx ew w e2 2 020( )11 1 1 1 1 01( ) ) (( ) ( ) (1 )(( ) ) 0 .0( )2 +  ƒ ƒ = −ƒ −wx e w x dx (13)Аналогично получим уравнение для ƒ2(w):+ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ +ƒ − ƒ ƒ + ƒ − ƒ ƒ ƒ +−ƒ − −ƒ−ƒ www xwx e dx ew w e1 1 010( )22 2 2 2 2 02( ) ) (( ) ( ) (1 )(( ) ) 0 .0( )1 +  ƒ ƒ = −ƒ −wx e w x dx (14)Для решения этой системы уравнений перейдем к пре-образованиям Лапласа ~ ( ) ( ) ,0  ƒ s = ƒ w e−swdwi i i = 1, 2.Тогда ( ) ( ) ( ), 0 ~ƒi w ↔ sƒi s − ƒi ƒ e−ƒw ↔ ƒ (ƒ + s), и по-этому система (13), (14) принимает вид(0) ( (1 ) ) ,~ ( )( ( ) ) ~ ( )1 1 1 01 2 2 021 1 1 2 2 221= ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒƒ s s + s ƒ − ƒ − ƒ ƒ ƒ + ƒ s ƒ ƒ ƒ =(0) ( (1 ) ) .~ ( )( ( ) ) ~ ( )2 2 2 02 1 1 012 2 2 1 1 122= ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒƒ s s + s ƒ − ƒ − ƒ ƒ ƒ + ƒ s ƒ ƒ ƒ =Рассмотрим детерминант этой системы:] .[ (2 ) ( )( )( )1 2 221 1 2 2 221 11 2 1 221 23 22 2 221 11 1 1 2 22− ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ= + ƒ − ƒ − ƒ + ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ −=ƒ ƒ ƒ + ƒ − ƒ − ƒ ƒ ƒ= + ƒ − ƒ − ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒs s s ss sD s sНам нужны корни уравнения D = 0. Один из них оче-виден - s = 0. Остальные три определяются из уравнения0 ,(2 ) ( )1 2 221 1 2 2 221 11 2 1 221 23 2− ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ =s + s ƒ − ƒ − ƒ + s ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ −которое имеет один положительный и два отрицательныхкорня. Положительный корень мы обозначим через z0, аотрицательные - как −z1 и −z2, так что z1 > 0, z2 > 0; z0, z1 иz2 можно найти лишь численно. Тогда можно записать( )( )( ) 0 1 2 , D = s s − z s + z s + z и именно этим выражениеммы будем пользоваться в дальнейшем.Найдем теперь вид ~ ( )ƒ1 s и ~ ( ) .ƒ1 s Имеем=ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ + ƒ − ƒ − ƒ ƒ ƒƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ(0) ( (1 ) ) ( )(0) ( (1 ) )2 2 222 2 2 02 1 1 011 1 1 01 2 2 02 2 2s s( (1 ) )) .) ( (0)( (0) ( (1 ) ))( ( )2 2 02 1 1 01 12 2 2 2 2221 1 1 01 2 2 02Ds s− ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ =− ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ ƒ −= ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ + ƒ − ƒ −Поэтому( ) ( )( )( ).~0 1 211 s s z s z s zs − D+ +ƒ = (15)Заметим, что 1(s)~ƒ определена для всех s ≥ 0, а у фор-мулы (15) имеется две особые точки - s = 0 и s = z0, когдапроисходит деление на нуль. Чтобы не было особенностей,надо чтобы при s = 0 и s = z0 обращался в нуль также и чис-литель. Это приводит к следующей системе уравнений:точка s = 0: 1 (0) 2 (0) 1 01 2 02 , ƒ + ƒ = ƒ ƒƒ + ƒ ƒƒточка s = z0:( (0) ( (1 ) )),( ( ) )( (0) ( (1 ) ))2 2 2 2 2 02 1 1 012 2 220201 1 1 01 2 2 02= ƒ ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ + ƒ − ƒ − ƒ ƒ ƒ =ƒ − ƒ ƒ − ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ z zчто и дает систему уравнений, определяющую ƒ1(0) иƒ2(0) через ƒ01 и ƒ02.Аналогично определяем ~ ( ) .2 ƒ sБудем считать, что ƒ01 и ƒ02 заданы и ƒ1(0) и ƒ2(0) вы-ражены через них. Тогда выражения для 1(s)~ƒ можноразложить на простейшие ~ ( ) ,21111 s zDs zs C +−+ƒ = так чтоявный вид ƒ1(w) следующий: ( ) 1 2 ;1 1 1ƒ w = C e− z w + D e− z wявный вид С1 и D1 не выписан из-за громоздкости.Аналогично, (s) 2~ƒ можно представить в виде( )22122~s zDs zs C+−+ƒ = .Явный вид ƒ2(w) следующий: ( ) 1 2 .2 2 2ƒ w = C e− z w + D e− z wТеперь можно найти и недостающие константы ƒ01и ƒ02 из условия нормировки( )1 ( ) 1 .1 1 ,2212002 22111001 1z Dz Cw dwz Dz Cw dwƒ = − ƒ = − +ƒ = − ƒ = − +Финальные вероятности значений интенсивности потока{ ( ) } ,1 1 2 22 21 ƒ ƒ + ƒ ƒƒ ƒP ƒ t = ƒ ={ }1 1 2 21 1( ) 2 ƒ ƒ + ƒ ƒƒ ƒP ƒ t = ƒ =для безусловной плотности вероятностей ƒ(w) незавершен-ной работы w можно записать( ) ( ) ( ).1 1 2 22 2 1 1 1 2ƒ ƒ + ƒ ƒƒ ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒƒ w = w wВыведенные выше формулы могут быть реализова-ны программно, что позволит численно найти все по-лученные выше характеристики СМО.

Скачать электронную версию публикации