Tracking systems with random jump parametersand state-and-control-dependent multiplicative noises.pdf Методы и алгоритмы синтеза систем управления объек-тами со случайными скачкообразно изменяющимися пара-метрами рассмотрены в [1−8]. В них изучался синтез регуля-торов для решения задачи стабилизации, либо задачи слеже-ния при использовании обратной связи по состоянию иливыходу. В настоящей работе развит подход, предложенный в[5, 7, 8] к задачам синтеза следящих регуляторов по инте-гральным квадратичным критериям для объектов со случай-ными скачкообразными параметрами в системах с неполнойинформацией о векторе состояния и при наличии мультипли-кативных шумов, зависящих от состояния системы и управ-ления. Оптимизация критерия осуществлена по матрице ко-эффициентов передачи и по входному вектору.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИПоведение непрерывного объекта со случайнымискачкообразными параметрами описывается следую-щими уравнениями:+ ƒ ƒ + ƒ + ƒ = ƒ=( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11x t A x t B u t A x t s tms& s( ) ( ) ( ) ( ), (0) 0 ,12 B u t s t q t x xmss = + ϕ ƒ +ƒ=(1)где x(t)Rn − вектор состояния; u(t)Rl − управление; x0 −начальные условия (M{x0}=m0, M{x0x0T}=Nxo); q(t)Rn;ƒ(t) Rm1 ; ϕ(t) Rm2 − белые гауссовские шумы с ха-рактеристиками:M{q(t)}=0, M{q(t)qT(ƒ)}=Qƒ(t−ƒ), M{ƒ(t)}=0,M{ƒ(t)ƒT(ƒ)}=Iƒ(t−ƒ), M{q(t)ƒT(t)}=0, M{ϕ(t)}=0,M{ϕ(t)ϕT(ƒ)}=Iƒ(t−ƒ), M{q(t)ϕT(t)}=0,M{ƒ(t)ϕT(ƒ)}=0;ƒ(t)Rl − марковская цепь с дискретным множествомсостояний ƒ1, ƒ2,, ƒr (вероятность перехода из i-го со-стояния в j-е (ij) за время ƒt равна pijƒt+o(ƒt)); A(ƒ);B(ƒ); Ap(ƒ); Bq(ƒ) (p=1, 2,…, m1, q=1, 2,…, m2) − заданныематрицы (M − оператор математического ожидания, ин-декс T обозначает транспонирование, ƒ(t−ƒ) − дельта-функция Дирака, Q=QT≥0 − неотрицательно определен-ная матрица, I − единичная матрица). Процесс ƒ(t) пред-полагается наблюдаемым и задается уравнениемdƒ(t) =  vƒ(dt, dv) , ƒ(0) = ƒ0, (2)где ƒ0 − начальное состояние, пуассоновская случайнаямера ƒ(dt, A) характеризуется функциейƒ =ƒ = + −ni jjt dv pij v i j dv1, ( ) ƒ ( ƒ ƒ ) ƒ при ƒ =ƒi. (3)Будем считать, что наблюдению доступен векторy(t) = S(ƒ )x(t) + v(t), (4)где y(t) Rn2 (n20, E(ƒ)=E(ƒ)T≥0 − весовыематрицы. Задача состоит в выборе такого управленияu(t), при котором достигается минимум критерия (5).СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ РЕГУЛЯТОРОВС ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВЗададим структуру следящей системы управления в видеu(t) = K(ƒ,t) y(t) + ƒ(ƒ,t) , (6)где K(ƒ,t) и ƒ(ƒ,t) подлежат определению из условияминимума критерия (5). Так как ƒ(t) принимает конеч-ное число значений, введем следующие обозначения:A(ƒi)=Ai, B(ƒi)=Bi, As(ƒi)=As(i), Bs(ƒi)= Bs(i), C(ƒi)=Ci,D(ƒi)=Di, E(ƒi)=Ei, S(ƒi)=Si (i=1, 2,…, r).Теорема 1. Матрица оптимальных коэффициентовпередачи K( ƒi,t)=Ki(t) и вектор ƒ(ƒi,t)=ƒi(t) имеют вид= − [( ⊗ ƒ − ⊗ ƒ )]  −1 ctKi (t) Di i Di i [ ƒ ( − ( ) ( )ƒ ) ƒ ] ; ii ict Bi Li Ni x x S (7)( ) ( ( ) 1 ( ( ) (i))) ;iiiiƒi t = − KiSix + D− Bƒ g + L x (8)( iismsiis i D B L B D + =ƒ=ƒ ( )1( ) 2, i Si Ni Si V ƒ = ƒ + ,ƒ = ƒ ƒ ii ii Si x ( ) x ( ) S ),если существуют матрицы Ni(t)>0, Li(t)>0 и векторы x(i) , g(i),удовлетворяющие следующей двухточечной краевой задаче:( ),~ ~ ~1 21( ) ( )1( ) ( )1ƒ ƒƒ=ƒ ƒ ƒ=ƒ =ƒ+ += + + − + +msi iii sii i smsii sisri jji i i i i ij j i iA N A S K B N B K SN& A N N A p N N QNi (0) = ƒ {x0x0ƒ / ƒ(0) = ƒi } , (9)~ ( )x i = ƒ x ƒ = ƒ (10)− L&i = Li A~ + C~i ƒ ƒ=ƒ =+ − + +11( ) ( )1( )msii sisri jjpij Lj Li A L A~ ( ) ,1( ) 2i iismsiis i i i i i i i i i S K B L B K S L A S K D K S ƒ=+ ƒ ƒ + ƒ + ƒ ƒ ƒLi (Tf ) R ER;= ƒ (11)− = ƒ − ƒ + ƒ + ƒ ƒ ƒƒ +i i i i i i i iiig(i) A~ g( ) R C z L B S K D &( ) , ( ) ( ) .1i f fri jjpij g j gi g T RƒEz T =+ ƒ − = − (12)Здесь приняты следующие обозначения:A~i = Ai + BiKi Si , = + ƒ ƒ + ƒ ƒ +i ii iQ~i Qi Bi i x( ) x( ) BBiKiViKi Bi Ci R CR+ ƒ ƒ , ~ = ƒ , (i = 1, 2,..., r), (13)в (7) ⊗ − кронекеровское произведение; ct(⋅) − вектор-столбец, составленный из элементов строк матрицы.Доказательство. Вычислим значение критерия приуправлении (6):[+ ƒ ƒ ] ƒ +(ƒ( )− ( )) (ƒ( ))−⎪⎩⎪⎨ ⎧= ƒ ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ − ƒ +ƒƒ i f f i fTti f iu D u d T z T E TJ t T z C zf( ) ( ) T2 ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))[ , ] 1( ))( ) .⎭ ⎬ ⎫ƒ = ƒ−iftz T(14)В результате получим[ ] [ ( )+ ƒ ƒ ] ƒ + ( ) − ( )− + + ƒ += + −ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ i i i i f i fii i i i iiiTti f i i i i i i iD d tr N T R E R z Tz C Rx z C z D K S xJ t T N C S K D K Sf212 22 tr ~, 1( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) ,( ) 1f f i fi EiRx T + zƒ T E z T (15)где Ni=M{x(t)x(t)T/ƒ(t)=ƒi}, x(i) =M{x(t)/ƒ(t)=ƒi}, tr − обо-значает след матрицы. Выберем в качестве функцииЛяпунова выражение( )= ƒ + ƒ + +i ii ii iV t x i N i g x 2 trL N, ( ) , , ( ) ( ) 12 tr ,1 +  ƒTftLiQid (16)где Qi ≥0 − некоторые матрицы, такие, чтоQi Qi Q ≥ ~ + . (17)Входящие в (16) ƒi, g(i) и Li удовлетворяют уравнениям− ƒ = ƒ + ƒƒ ƒ + ƒ ƒ +i iii z Ci z i Di i g( ) B2121 &2 ( ) ,11ƒ =+ + ƒ − ƒri jjtrQiLi pij j i( ) 2 ( ) ( ) ,ƒ Tf = 1 zƒ Tf Eiz Tf (18)( )( ) ,1{ ) ( )( ) ( )ƒ =ƒ ƒ ƒƒ ƒ+ ƒ + ƒ + −− = + − +ri jjj ii i i i i i i ijiii i i iiS K D L B p g gg& A B K S g R C z( ) ( ) ( ) ,f i fg i T = −RƒE z T (19)− = ( + )+ ( + ) + + L&i Li Ai BiKiSi Ai BiKiSi T Li Ci( ) , ( ) .1p L L Li Tf R EiRri jjij j iƒ =+ ƒ − = (20)В (20) Ci − некоторые неотрицательно определенныематрицы. Первые три слагаемые в представлении функцииЛяпунова (16) являются значением критерия (15) приуправлении (6), в котором ƒi, g(i) и Li определяются из(18)−(20), последнее слагаемое в (16) также неотрицательнопри Li>0, Qi ≥0, поэтому функция Ляпунова (16) неотрица-тельна. Найдем полную производную функции Ляпунова:( , ( ) , , )= ƒ + (i)T (i) +i idt V t x i N i g xd & & g (i)ƒ x& (i) +2 tr( ) .1+ L&iNi + LiN& i − LiQi (21)Проинтегрируем по времени полную производнуюфункции (21), учитывая уравнения для Ni (9) и x(i) (10):[( )( )( ) ( )[( ) ( )+ + + + + + + ++ − + + − += + + ƒ + ƒ += ƒ ⎥⎦+ + + − ⎤ƒ ƒ = ƒ + +ƒƒ ƒƒ =ƒ ƒ=ƒƒ =1 21 1( ) ( )( ) ( )1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )~2 tr12 tr1{21( , , , )msi imsii sii si i i i i i i i i i ii i i ii T iri jjj iiji Ti i ii TTtii i i ii Ti i i i i ii T iTtTti T ii iiQ A N A S KL A B K S N N A B K Sg p x x g x L N LQg A B K S x g Bg x tr L N L N LQ dd V x N i d g xdff f& &&& & && &( ) .1( ) ( ) ƒ⎪⎭⎪⎬⎫⎥ ⎥ ⎥⎦⎤ + ƒ − =B ƒN B K S p N N dri jji i ij j iii sis (22)Также интеграл полной производной функции Ля-пунова (21) имеет следующий вид:( ) ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )− ƒ − ƒ ƒ = ƒ +  ƒ2 ( ) ( )1, , ,( ) ( )( ) ( )x T trL T N T t g td V x N i d T g Tdi Tf i f i f iifi Ti i fiTtf2 tr ( ) ( ) ) .( ) ( ) 1⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜⎝⎛ƒ − −  f Tti i i ix i t L t N t L Q d (23)Учитывая (22) и (23), критерий (15) представим в форме:[ ]  ( )+ +⎩ ⎨ ⎧= + ƒ ƒTfti T iJi t Tf Ni C~i Si Ki DiKiSi g( ) x( )2, tr 1+ + ƒ − ƒ  + + +i ii i T iL&iNi & i z Ci Rx g x 2 trL& N2 tr 11 ( ) ( ) ( )+ ƒ − ƒ  + ( ƒ + ƒƒ ƒ)+i i i iii z Ci Rx 2 z C z D& ( ) 1+ (ƒƒ + ) + ƒ +i ii i Ti i ii Ti Di g ( ) B K S x ( ) g ( ) B+ ƒ ( − )+ [( + ) + =i i i i i ij iri jjijg i T p x x trL A B K S N2( ) ( ) 11( )+ + + + ƒ +  ƒ +ƒƒ ƒ=ƒ ƒ ƒ=ƒ =ƒ ƒ ƒS K B N B K S dp N N A N AN A B K S Q B x x Bi iismsiii i smsii sisri jjij j ii ii ii i i i i i i( )1( )1( ) ( )1Т ( ) ( )212 ( ) .2 tr ( ) ( ) 1( ) ( )T ( ) ( ) ( ) 1i i i fi i+ ƒi t + g t x t + L t N t − ƒ T (24)Применяя правила дифференцирования скалярной фун-кции по матричному аргументу [9] к формуле (24) из усло-вия [ , ] / = 0 dJi t Tf dKi получим следующее уравнение:ƒ + ƒ ƒ + ƒ ( )ƒ ƒ + ƒ ( ) ( )ƒ ƒ = 0.ii ii iiDiKi i Bi LiNiSi Di i x S B g x S (25)Из [ , ] / ƒ = 0 dJi t Tf d i получим уравнение для ƒi:ƒ + ( ) + ƒ ( ) + ƒ (i) = 0 .i iiiiDi i DiKiSi x B g B L x (26)Из уравнения (26) по формуле (8) определяются опти-мальные ƒi, подставляя которые в уравнение (25), получимуравнение для вычисления оптимальной матрицы Ki:Di ƒ − ƒ + ƒ −Ki i DiKi i Bi Li (Ni ( ) ( )ƒ ) ƒ = 0ix i x i S . (27)Тогда, применяя метод решения матричных уравне-ний [10], в силу (27) Ki определится по формуле (7).Найдем в уравнении для Li. (20) выражение для матрицыCi такое, чтобы критерий (24) был минимальным. Для этогоправую часть (20) подставим вместо L&i в (24):( )( )( ) ( )( )( )( )ƒ + ƒ +⎭ ⎬ ⎫⎥⎦⎤+⎢ ⎢ ⎢⎣⎡ + − + ++ ⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛− + −+ ƒ + − −+ + ƒ ƒ + ƒ +  ++ ƒ + − + + ƒ ƒ ++ +⎩ ⎨ ⎧= +ƒƒ ƒƒƒ=ƒ ƒ ƒƒ= = = =ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒƒ ƒ( )~2 tr2 tr 112121~2[ , ] 1( )1( )( )1( )111( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )21S K B N B K S d tQ p N N A N AC p L L N Lg B g p x xz C z D D g B K S xg x z C Rx z C z DJ t T tr N C S K D K S g A xi i iismsiii i sii smsisri jji ij j ii iri jji ij j iri jjj iiji Ti ii Tii i ii Ti i i i i ii i i iiii T iiTtiii Ti f i i i i i i if& &2 ( ).2 tr ( ) ( ) 1( )T ( ) ( ) ( ) 1i i i f+ g i t x i t + L t N t − ƒ T (28)Выполнив преобразования, получим+  + ⎟⎟⎠⎞+ −⎜ ⎜⎝⎛+ +  +⎩ ⎨ ⎧=ƒ ƒ=ƒ ƒ ƒƒ=ƒ ƒ( ) ( ) ( )1( )( )1( )2~ 12[ , ] tr 1iii Ti i iismsiii i sTtii smsii f i i i i i i i sS K B L B K S C g A xJ t T N C S K D K S A L Af+ ƒ + − ƒ + ( ƒ + ƒƒ ƒ)+i i i iiii T ii g x z C Rx z C z D2& & ( ) ( ) ( ) 1+(ƒƒ + ) +  ƒ +i ii i Ti i ii Ti Di g ( ) B K S x ( ) g ( ) B+ ƒ ( − )− ƒ ( − ) + = =iri jjij j iri jjj iijg i T p x x tr p L L N1 1( ) ( ) ( )21( ) ƒ + ƒ +⎟ ⎟ ⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜⎝⎛+ + ƒ − =tr ~ ( )211L Q p N N d i tri jji i ij j i2 (tr ( ) ( ) ( )).( )T ( ) ( ) ( ) 1i i i f+ g i t x i t + L t N t − ƒ T (29)Так как значение критерия (29) должно быть всегданеотрицательным, то его минимум достигается приƒ== + ƒ ƒ + ƒ +11~ m ( ) ( )sii siCi Ci Si Ki DiKiSi As L A( ).1( ) 2i iismsiis i i S K B L B K S ƒ=+ ƒ ƒ ƒ (30)Покажем, что полная производная функции Ляпуно-ва (16) при матрице Ki, равной (7), отрицательна. Это не-обходимо для обеспечения устойчивости в среднеквад-ратическом [11]. Учитывая (18)−(20) и (30), получим( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )− − −− − + − −− + −  − + −+ − ƒ + ƒ −= − + ƒ ƒ +ƒ = = =ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒƒƒ ƒ( ) ( )1( )1 1( ) T ( )( )( )2 tr2 tr 112 tr ~2 tr 112, , , 1iijiri jjjri jjj i i i ij j iri jjiji i i i i i i i i iii i i i i i iiii i i i iig g p xp L L N L p N NS K D K S R C R N L Q Q Qz C Rx S K D L B xdt V t x N i z C z Dd( ) ( ( ) ( ) ).1 1j iri jji ijri jj− ƒ pij j − i + g ƒ p x − x =ƒ =ƒ ƒ (31)Приведя подобные и в силу равенстваtr ƒ = ƒ{ ( ( ) − ( ) )T ƒ ((i) − (i)) }+ii iR CiRNi x x R C R x x( ) (i) ,i+ x i ƒRƒC Rx (32)преобразуем формулу (31)( ) ( ) ( )( )− ƒ{( − ) ( − )}−− ƒ ƒ − ƒ + ƒ −= − − − −ƒƒ ƒ ƒ ƒ( ) ( ) T ( ) ( )T ( )( ) ( ) T ( )21212, , , 1i iii iii i i i i i i i i iiiiiix x R C R x xD S K D L B xdt V t x N i z Rx C z Rxd2 tr ,1− SiƒKiƒDiKiSiNi − ƒi (33)гдеƒ = ( − + )+ ƒ  [ ( − )+ =j i i jri jji Li Qi Qi Q 2 pij tr L N L N2 tr ~ 111(g( ) x( ) g( ) x( ) ) ( j i ) ] , i 1, 2,..., r.+ j ƒ i − i ƒ  j + ƒ − ƒ = (34)Полная производная (33) будет отрицательной, так какзначения ƒi (34) всегда можно сделать положительными всилу (17), задавая матрицы Qi ≥0. Теорема доказана.СИНТЕЗ СЛЕДЯЩИХ РЕГУЛЯТОРОВС ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДУДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВВ стационарном случае при постоянном отслежи-ваемом сигнале вместо критерия (5) необходимо ми-нимизировать критерийlim sup 1 [0, f ] .T fT J T f (35)Предполагается, что пары матриц Ai, Bi (i=1, 2,…, r)стабилизируемы и в критерии (5) Ei=0. Задача синтезапри этом упрощается, так как уравнения (9)−(12) ста-новятся алгебраическими:+ + ( − )+ +  ƒ += =ƒ ƒ ƒ ( )1( )1~ ~ ~ 1 ii smiisri jjAiNi Ni Ai pij N j Ni Qi A N A( ) 0,1( ) 2 = +ƒ=ƒ ƒ ƒi iismsiiSi Ki Bs N B K S (36)~ ( ) 0 ;1( ) + ƒ + ƒ ( ) − ( ) = =ri jjj ii i ijiAi x B p x x (37)~ + ~ƒ + ~ + ƒ ƒ + = 0 ;Li Ai Ai Li Ci Si Ki DiKi Si Mi (38)ƒ − ƒ + ƒ + ƒ ƒ ƒƒ +i i i i i i i iiA~i g( ) R C z L B S K D( ) 0,1+ ƒ ( ) − ( ) = =ri jjj ipij g g (39)где= ƒ +ƒ ( − )+= =ƒj iri ijijmsii siMi As L A p L L1 1( ) ( ) 1( ) .1( ) 2i iismsiis i i S K B L B K S ƒ=+ ƒ ƒ ƒ (40)Постоянные оптимальные коэффициенты передачиKi и векторы ƒi определятся по формулам= −[( ⊗ ƒ − ⊗ ƒ)]  −1 ctKi Di i Di i [ ƒ ( − ( ) ( )ƒ) ƒ] ; ii ict Bi Li Ni x x S (41)( ( ) 1 ( ( ) (i)) ) .iiiiƒi = − KiSi x + D− Bƒ g + L x (42)Теорема 2. Если существует решение уравнений(36)−(39) и существуют числа ƒi (00, ≥ 0 Mi и приме-няя теорему 3.6 [12], получим, что из условия детекти-руемости пары матриц С~i , Ai следует детектируе-мость пары матриц(1− ƒ i )C~i + SiƒKiƒDiKiSi + Mi , и Ai + BiKiSi. (43)В силу того, что (38) эквивалентно уравнению( + ) + ƒ ( + )+Ai BiKiSi T Li Li Ai BiKiSi+ (1− ƒ )~ + ƒ ƒ + = 0,i Ci Si Ki DiKiSi Mi (44)по лемме 12.2 [12] при Li>0 и условии детектируемостипары матриц (43) следует, что матрицы Ai+BiKiSi (i=1,2,…, r) устойчивы. Теорема доказана.ПРИМЕРРассмотрим линейную систему второго порядка ви-да (1) с тремя состояниями ƒ ={1, 2, 3}. Матрицы, опи-сывающие систему, имеют вид⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= − 0,75 0,41 , 0 04 , 0 ) 1 ( A , ⎟⎠⎞⎜⎝⎛= − 0,2 0,9A(2) 0 0,3 ,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= − 0,1 0,34 , 0 2 , 0 ) 3 ( A ; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 10 ) 1 ( B , ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛1,5B(2) 0,1 ,⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ −0,5B(3) 0,1 ; 1,2 0,05, p = 1,3 0,2, p =2,1 0,25, p = 2,3 0,2, p = 3,1 0,2, p = 3,2 0,05, p =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 0 10 1 R ; ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ 0 0,05Q(1) 0,03 0 ,⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ 0 0,050 02 , 0 ) 2 ( Q , ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ 0 0,05Q(3) 0,04 0 ;( ) 1 0 ) ( = i S ; ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 0 1C(i) 1 0 ; D(i) = 0,1;⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛0,003 0,0107 , 0 006 , 0 ) ( 1 i A , ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛0,0035 0,05A2 (i) 0,004 0,07 ,⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛0,008001 , 0 ) ( 1 i B , ⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛0,009B2 (i) 0,002 (i=1,2,…,r).В результате решения уравнений (35)−(38) былисинтезированы следящие регуляторы со следующимипараметрами: K(1)= −1,997; K(2)= −1,008; K(3)= −3,210;ƒ(1)=28,436; ƒ(2)=5,929; ƒ(3)=26,978.Отметим, что для исходной системы все матрицыA(i) неустойчивы. В то же время для замкнутой систе-мы выполнены условия теоремы 2 и матрицы динами-ки замкнутой системы A(i)+B(i)K(i)S(i) устойчивые, приэтом собственные значения матриц равныƒ1= −0,091, ƒ2= −1,516 при i=1;ƒ1= −0,058, ƒ2= −0,657 при i=2;ƒ1= −0,270, ƒ2= −1,235 при i=3.ЗАКЛЮЧЕНИЕПредложен алгоритм синтеза следящих регуляторовдля линейных непрерывных объектов со случайнымискачкообразными параметрами и мультипликативнымивозмущениями. Оптимизация критерия осуществлена поматрице коэффициентов передачи и входному вектору,зависящих от наблюдаемого скачкообразного процесса.

Скачать электронную версию публикации