The investigation of capital changingunder poisson flow of income arrival moments.pdf ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИДенежные средства любой компании можно разде-лить на две категории. К первой относятся средства,активно используемые компанией при проведении те-кущих операций. Ко второй - средства, выполняющиероль резервного фонда. Поскольку моменты измененияобъема денежных средств на активном счете и величи-на этих изменений носит случайный характер, то дляправильного планирования деятельности компанииважно знать вероятность того, что в течение некоторо-го определенного периода времени она не обратится крезервному фонду. В связи с этим, актуальной являетсяпроблема разработки математических моделей ста-бильного функционирования компании в течение фик-сированного интервала времени [1− 3].В данной работе рассмотрены две модели измененияобъемов денежных средств на активном счете компании.Первая модель характеризуется тем, что моменты по-ступлений денежных средств образуют пуассоновскийпоток, а размеры поступлений средств являются незави-симыми одинаково распределенными случайными вели-чинами с заданными первыми двумя начальными мо-ментами. Расход средств со счета происходит непрерыв-но с заданной интенсивностью. Отличие второй моделисостоит в том, что расход со счета происходит в случай-ные моменты времени. Моменты выплат образуют пуас-соновский поток. Размер выплат денежных средств - также независимые одинаково распределенные случайныевеличины с заданной функцией распределения.Для предложенных моделей найдена вероятностьтого, что в течение определенного интервала временина активном счете (в дальнейшем, счете) компанииостанется положительная сумма денежных средств. Вработе использованы три метода исследования прело-женных моделей: асимптотический анализ, имитаци-онное моделирование и численный метод сеток.ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙОбозначим через s(t) − случайный процесс измене-ния объема денежных средств на счете компании с те-чением времени. Пусть горизонтом планирования яв-ляется интервал времени продолжительностью T. Вначальный момент времени на счете находится капиталв размере s0 > 0. В течение горизонта планирования Tна счет в случайные моменты времени приходят посту-пления. Размер поступлений - случайная величина ƒ,функцию распределения которой обозначим A(x). Мо-менты увеличения капитала образуют простейший по-ток с интенсивностью ƒ.В первой модели предполагается, что средства рас-ходуются непрерывно с интенсивностью k. Во второймодели капитал уменьшается в случайные моментывремени на случайную величину ƒ, имеющую функ-цию распределения B(y). Эти моменты образуют про-стейший поток с интенсивностью ƒ.Очевидно, случайный процесс s(t) является марковским.Схематично динамика изменения денежных средствна счете для первой модели представлена на рис. 1, длявторой − на рис. 2.Рис.1s(t)ƒ ƒs0T tРис.2Ставится задача определения вероятности того, чтослучайный процесс s(t) в течение интервала времени про-должительностью T не достигает нижней границы s = 0.ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОЙ МОДЕЛИИЗМЕНЕНИЯ СРЕДСТВ НА СЧЕТЕОбозначим через P(s, t) плотность распределения ве-роятностей процесса s(t) в момент времени t. Составимпрямое уравнение Колмогорова для плотности P(s, t).Рассмотрим интервал времени [t, t+ƒt]. За этот проме-жуток времени длительности ƒt могут произойти сле-дующие события:− с вероятностью ƒƒtA(x)dx+o(ƒt) на счет поступа-ют денежные средства в размере x[x, x+dx), и капиталстанет равным s+x;− с вероятностью 1−ƒƒt + o(ƒt) не будет поступле-ния средств. В то же время происходит постоянныйрасход средств, поэтому капитал станет равным s − kƒt.Используя формулу полной вероятности, получим( ) ( ) P s, t + ƒt = 1− ƒƒt P(s + kƒt, t)+t P(s u t)dA(u) o( t)sƒ + − ƒ ƒ + 0, . (1)Разложим функции P(s, t + ƒt), P(s, + kƒt, t) в рядТейлора в окрестности точки (s, t), учитывая слагаемыепервого порядка малости относительно ƒt:(, ) (, ) ( , ) o( t) ,tP s t t P s t t P s t + ƒ+ ƒ = + ƒ (2)( , ) (, ) ( , ) o( t) .sP s k t t P s t k t P s t + ƒ+ ƒ = + ƒПодставим (2) в (1). Затем поделим обе части урав-нения на ƒt и, переходя к пределу при ƒt  0, получим( ) ( ) ( ) ++ƒ = −st k P s tP s,t P s,t ,( ) ( ), .0 + ƒ −sP s u t dA u (3)Уравнение (3) можно решить с использование пре-образования Лапласа. Трудность заключается в нахож-дении обратного преобразования. Поэтому решим по-следнее уравнение, используя асимптотический метод[4] в условии T  . В уравнении (3) обозначим 1/T = ƒ2и сделаем замену переменных( ) ( ) ( )tƒ2 = ƒ, ƒ2s = x ƒ + ƒy, P s, t = ƒ y, ƒ, ƒ , (4)где x(ƒ) определим ниже. Тогда( ) ( ) ( ) ( ), 2 , , , , ,yy x ytP s tƒ ƒ ƒ− ƒ  ƒƒƒ ƒ ƒ= ƒ( ) ( ), , , .yysP s tƒ ƒ ƒ= ƒВ новых переменных уравнение (3) примет вид( ) ( )+ ƒ( (ƒ)+ )ƒƒ ƒ ƒƒƒ y, ƒ, ƒ = − ƒ2 y, , x k( , , ) ( , , ) ( ) .0  + ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒƒ ƒ ƒ y y u dA uy (5)Решение ƒ(y, ƒ, ƒ) в (5) ищем в виде разложенияƒ(y, ƒ, ƒ) = ƒ(y, ƒ) + ƒh(y, ƒ) + o(ƒ). (6)Подынтегральную функцию в уравнении (5) разло-жим в ряд Тейлора до членов порядка o(ƒ2):( ) ( ) ( )+ƒ ƒ ƒƒ − ƒ ƒ ƒ == ƒ ƒ ƒ − ƒyy u, , y, , u y, ,( , , ) ( ) .2222 2 2+ ƒƒ  ƒ ƒ ƒ+ oyu y (7)Подставим в уравнение (5) разложения (6) и (7). Тогда, сучетом обозначения ( ) ,01 a = udA u ( ) ,022 a = u dA u от ура-внения (5) перейдем к уравнению( ( ) ) ( ) ( )+ ƒ− ƒ ƒƒ  ƒ +yy a h y( x k h y, 1 ,2( ) ( ) +ƒƒ ƒ−ƒ  ƒ ƒ+ , , )2 222 yya y( ( ) ) ( ) 1) , 0 . =ƒ ƒ+  + − ƒyε( x τ k a yНайдем функцию x(ƒ) из условия равенства нулюкоэффициента при ƒ. Тогда получаемx(ƒ) = ƒa1 − k, (8)где x(0) = x0 , 0.0 20 T sx = s = ƒОпределим смысл функции x(ƒ). Параметры уравнения(8) имеют следующий экономический смысл: k − количест-во расходуемых денежных средств в единицу времени; ƒ −среднее число поступлений денежных средств в единицувремени; a1 − средняя величина поступающих денежныхсредств, следовательно, ƒa1 − среднее количество денеж-ных средств, поступивших за единичный интервал време-ни. Таким образом, функция x(ƒ) − это асимптотическисреднее значение денежных средств в момент времени ƒ.С учетом (8) от (5) перейдем к уравнению( ) ( ), .2,222yy a yƒ  ƒ ƒ=ƒƒ ƒ(9)Уравнение (9) - прямое уравнение Колмогорова [5]для плотности распределения вероятностей ƒ(y, ƒ) зна-чений некоторого диффузионного процесса с нулевымкоэффициентом переноса и коэффициентом диффузииƒa2. Обозначим этот случайный процесс через y(ƒ).По виду прямого уравнения Колмогорова (9) стано-вится очевидным, что диффузионный процесс y(ƒ) оп-ределяется уравнением( ) 2 ( ) , dy ƒ = ƒa dw ƒ (10)где w(ƒ) − винеровский процесс. Введем случайныйпроцесс( ) ( ) ( )z ƒ = x ƒ + ƒy ƒ , (11)дифференциал которого с учетом (8) и (10) имеет вид( ) ( 1 ) 2 ( ) . dz ƒ = ƒa − k dƒ + ƒ ƒa dw ƒ (12)Следовательно, z(ƒ) − это диффузионный процесс скоэффициентами переноса ƒa1 − k и диффузии ƒ2ƒa2.Обозначим T(ƒ) − длина интервала от момента ƒ домомента достижения процессом z(ƒ) нулевого значе-ния. В предположении, что расходуется денежныхсредств больше, чем поступает, то есть k > ƒa1, найдемусловную характеристическую функцию для T(ƒ):g(u, z)= M{exp{iuT(ƒ)}| z(ƒ) = z} . (13)Рассмотрим бесконечно малый промежуток време-ни ƒƒ, тогда= { { { ƒƒ + g(u, z) Mƒz M exp iuT (+T( ƒ + ƒƒ) )}z(ƒ + ƒƒ) = z + ƒz}}. (14)Учитывая свойства математического ожидания, соот-ношение (14) перепишем в видеg(u, z) exp{iu }M z{g(u, z z)} . = ƒƒ + ƒ ƒРазложим функции g(u, z + ƒz) и exp { iuƒƒ} в рядыТейлора, тогдаg( u, z)= (1+ iuƒƒ + o(ƒƒ))(g( u, z)+( ) { } ( , ) {( ) } {( )}).2, 1 2 222M z M o zzz M z g u zg u z ƒ + ƒƒ ++ (15)В результате предельного перехода при ƒƒ0 урав-нение (15) перейдет в однородное дифференциальноеуравнение второго порядка( )−ƒ ƒ 2222 ,21za g u z( ) ( , ) ( , ) 0 ,1 + =− − ƒ z iug u zk a g u z (16)для решения которого составляем характеристическоеуравнение2 ( ) 0 ,1122ƒ2ƒa p − k − ƒa p + iu =и корни которого( ) , 3122211 k aa uk ap iu− ƒƒ ƒ−− ƒ=( )( )22131222122ak ak aa uk ap iuƒ ƒ− ƒ+− ƒƒ ƒ+− ƒ= −найдены при использовании разложения ( )2121 2 2k aa iu− ƒƒ ƒ−по малому параметру. Тогда общее решение уравнения(16) имеет вид ( ) { } { }g u, z = c1 exp p1z + c2 exp p2 z .Определим константы c1 и c2. Поскольку характери-стическая функция ограничена, ⎜g(u, z)⎜ ≤ 1, и выполня-ется условие k > ƒa1, то второй корень характеристиче-ского уравнения теряет смысл. Поэтому полагаем c2 = 0.Из условия g(u, 0) = 1 следует, что c1 = 1.Окончательно характеристическая функция прини-мает вид( )( ) , exp . 312221 ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧− ƒƒ ƒ−− ƒ=k aa u zk ag u z iuz (17)Функция (17) соответствует [5] характеристическойфункции нормально распределенной случайной вели-чины ƒ с математическим ожиданием { }1 k aM −zƒƒ = идисперсией { }( ) 2 .312T k aD a z− ƒƒƒ =Заметим, что величина z имеет смысл фиксированногозначения процесса z(ƒ)в момент времени ƒ, т.е. z(ƒ) = z.Стабильным функционированием компании назо-вем ситуацию, когда денежные средства на счете оста-ются положительными. Найдем вероятность того, чтопредприятие стабильно функционирует в течение вре-мени T. В силу выполненных замен( ) ( ) ,2exp21 1122 ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ−−ƒƒP ƒ > = x a dx (18)где( ),10T k aa s− ƒ= ( ) 2 .3122 0 2T k as a− ƒƒƒ = (19)ИССЛЕДОВАНИЕ ВТОРОЙ МОДЕЛИИЗМЕНЕНИЯ СРЕДСТВ НА СЧЕТЕВыпишем уравнение для нахождения плотностираспределения вероятностей процесса s(t) в условияхвторой моделиP(s,t + ƒt)=(1− ƒƒt − ƒƒt)P(s,t)+( ) ( )+ − ƒ ƒ + st P s u t dA u0,( ) ( ) ( ), .0t P s u t dB u o ts+ ƒƒ  + + ƒ (20)Проделав преобразования, получим уравнение( ) ( ) ( ) + ƒ ( − ) ( )+− = ƒ + ƒ st P s u t dA uP s t P s t0, , ,( ) ( ), .0 + ƒ +sP s u t dB u (21)Сделав замену переменных (4) в уравнении (21),ролучим уравнение( ) ( ) ( )+ƒƒ ƒ ƒƒ + ƒ ƒ y, ƒ,ƒ = −ƒ2 y, ,( ) ( ) + ƒ ƒ( − ƒ ƒ ƒ) ( )+ƒ ƒ ƒƒ  ƒ + 0y, , y u, , dA ux y( ) ( ) + ƒ ƒ + ƒ ƒ ƒ0y u, , dB u , (22)которое будем решать аналогично случаю первой модели.Результатом является уравнение для определенияфункции x(ƒ) − асимптотического среднего значения де-нежных средств в момент времени ƒ следующего вида:x(ƒ) = ƒa1 − ƒb1, (23)где обозначено ( ) ,01 a = udA u ( ) ,01 b = udB u и уравнениеФоккера-Планка для плотности распределения вероят-ностей случайного процесса y(ƒ) вида( ) ( )222 2 ,2, ( )yy a b yƒ + ƒ  ƒ ƒ=ƒƒ ƒ(24)с коэффициентом переноса, равным нулю, и коэффициентомдиффузии ƒa2 + ƒb2, где ( ) ,022 a = u dA u ( ) .022 b = u dB uСледовательно, диффузионный процесс y(ƒ) определяетсяуравнением( ) 2 2 ( ) , dy ƒ = ƒa + ƒb dw ƒ (25)где w(ƒ) − винеровский процесс. Введем случайныйпроцесс z(ƒ) = x(ƒ) + ƒy(ƒ). Это диффузионный процессс коэффициентом переноса ƒa1 − ƒb1 и коэффициентомдиффузии ƒ2(ƒa2 + ƒb2), поскольку( ) ( 1 1 ) 2 2 ( ) . dz ƒ = ƒa − ƒb dƒ + ƒ ƒa + ƒb dw ƒ (26)Найдем g(u, z)= M{exp{iuT(ƒ)}| z(ƒ)= z} − услов-ную характеристическую функцию T(ƒ) − длины ин-тервала от момента ƒ до момента достижения процес-сом z(ƒ) нулевого значения. Аналогично первой моделиуравнение для определения g(u, z) имеет вид( )−ƒ ƒ + ƒ 222 22 2 ( ) ,1za b g u z( ) ( , ) ( , ) 0 .1 1 + =− ƒ − ƒ z iug u zb a g u z (27)Решение уравнения (27)( ) ( )( ) ⎪⎭⎪⎬ ⎫⎪⎩⎪⎨ ⎧ƒ − ƒƒ ƒ + ƒ−ƒ − ƒ= 31 122 221 1, expb aa b u zb ag u z iuz (28)соответствует характеристической функции нормальнораспределенной случайной величины ƒ, имеющей ма-тематическое ожидание { }1 1 b aM ƒ −z ƒƒ = и дисперсию{ }( ) 2( ) .31 12 2T b aD a b zƒ − ƒƒ + ƒƒ = Тогда вероятность стабильногофункционирования предприятия в течение интервалавремени длительности T в условиях второй модели оп-ределяетссоотношениемa ƒ s− ƒ= ( ) 2 ( ) .31 122 0 2 2T b as a bƒ − ƒƒ + ƒƒ = (29)ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕВыше исследованы две модели изменения объемов де-нежных средств на активном счете. Для оценки границ при-менимости асимптотического подхода была построена ими-тационная модель изменения объемов денежных средств насчете компании для второй модели. Имитационное модели-рование проводилось для трех различных комбинаций фун-кций распределений величин приходов и расходов: экспо-ненциальное - экспоненциальное, равномерное - экспонен-циальное, экспоненциальное - детерминированное. Сравне-ние теоретических результатов и полученных эксперимен-тальных данных проводилось в пакете прикладных про-грамм Statistica 6.0. Полученные результаты подтвердилинормальное распределение времени стабильного функцио-нирования компании при интервалах времени T ≥ 10000 иразличных начальных суммах s0 ≥ 1000, средней величинепоступлений денежных средств a1 = 95 и средней величинерасхода b1 = 400 (ƒ = 1,25; ƒ = 4,35). По результатам модели-рования сравнили модели по вероятности стабильногофункционирования предприятия. При выбранных значенияхпараметров первая модель предпочтительнее второй.ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМДля двух рассматриваемых моделей численно найдемP(s,t)= P(s(u)> 0,t ≤ u ≤ T | s(t)= s) (30)− вероятность того, что, начиная с текущего моментавремени, до момента T предприятие будет функциони-ровать стабильно. В условиях первой модели уравне-ние для нахождения вероятности имеет видP(s,t − ƒt)=(1− ƒƒt)P(s − kƒt,t)+( ) ( ), .0 + ƒƒ −st P s u t dA u (31)Полученное уравнение является интегрально-разност-ным, и его можно использовать для нахождения иско-мой вероятности численным методом сеток. Проведястандартные преобразования уравнения (31), получаем( ) = −ƒ ( )−− t P s tP s,t ,( ) ( ) ( ), , .0 + ƒ −−ss P s u t dA uk P s t (32)Частную производную, стоящую в левой части урав-нения, по определению можно представить( ) ( ) ( )., , lim ,0 tP s t P s t ttP s tt ƒ− − ƒ=ƒ Тогда( ) ( ) ( ), , , . 0 tP s t t P s t t P s t t − ƒ ⎯⎯⎯ − ƒ ƒ  (33)Используя соотношение (33), преобразуем уравне-ние (32). Получаем [6] разностное уравнениеP(s,t − ƒt)= P(s,t)− ƒt(ƒP(s,t)−( ) ( ) ( ) ( ),, , ,0 sP s u t dA u k P s t P s s tsƒ− − ƒ− ƒ − + (34)позволяющее варьировать параметры модели.Для второй модели разностное уравнение для чис-ленного нахождения вероятностей имеет видP(s,t − ƒt) = (1− ƒƒt)(1− ƒƒt)P(s,t)+( ) ( ) ( )+ + ƒ ƒ − ƒ ƒ + 0t 1 t P s u,t dA u( ) ( ) ( )1 , .0 + ƒƒ − ƒƒ −st t P s u t dB u (35)Применение метода сеток [7] требует задание ограниче-ний. Область, в которой вычисляется вероятность, ограниче-на минимальным и максимальным возможным объемом де-нежных средств на счете и сроком его функционирования.Пусть объем денежных средств на счете изменяетсяот 0 до S, а длина интервала времени, на котором рас-сматривается функционирование счета, равна T. Моментоткрытия счета равна 0. Шаг, с которым двигаемся пооси s, равен ƒs. По оси времени идем с шагом ƒt. Такимобразом, рассматривается сетка следующего видаS S − ƒs S − 2ƒs ... ... 0 0 T − ƒTИз вида разностных уравнений видно, что вычисленияпроводятся справа налево по оси времени и снизу вверх пооси изменения объема денежных средств. Зная значениявероятности в момент времени T для всех значений s, мож-но найти вероятность в предыдущий момент времени T −ƒt, затем в момент T − 2ƒt и так далее, пока не найдетсязначение вероятности в нулевой момент времени.Граничное условие P(s, T) = 1. Это означает, что втечение всего периода времени длительности T компа-ния работает стабильно.Интеграл в уравнениях (35) и (36) вычисляется поформуле Симпсона [8]( ) ( ) ( ( )+ ( − ƒ )+ƒ − = b P s t P s s tP s u t dA u sb, 3 , 4 ,0( ) ( ))+ 2P s − 2ƒs,t + ... + P s − b,t ,( ) ( ) ( ( )+ ( − ƒ ) +ƒƒ− = −ƒƒ  sbb P s t P s s t eP s u,t dA u 3 s , 4 ,0+ 2P(s − 2ƒs, t)e−ƒƒs + .... + P(s − b, t)e−ƒƒs )для равномерного и экспоненциального с параметром ƒзаконов распределения соответственно.Проблема возникает при вычислении интеграла( ) ( ) +0P s u,t dA u в уравнении (35), когда требуетсязнать значение вероятности при s > S. Если нужно вы-числить значение вероятности в узле с координатами(S, T − ƒt), тогда при экспоненциальном распределенииразмеров поступлений интеграл находится по формуле( ) ( ) ( ( )+ ( + ƒ ) +ƒƒ+ = −ƒƒ  sbb P S T P S s T eP S u,T dA u 3 s , 4 ,0+ 2P(S + 2ƒs,T)e−ƒƒs + .... + P(S + b,T )e−ƒƒs )и выражается через известные вероятностиP(S,T)= P(S + ƒs,T)== P(S + 2ƒs,T) = ...P(s + b,T) = 1.Вычисление интеграла для нахождения вероятностив узле (S, T − 2ƒt), зависит от неизвестных вероятностей( ) ( )( 2 , ),..., ( , ) ., , , ,P S s T P S b T tP S T t P S s T t+ ƒ + − ƒ− ƒ + ƒ − ƒДля этого на предыдущем шаге должны быть вы-числены вероятностиP(ƒs,T − ƒt),P(2ƒs,T − ƒt), ...,( ) ( ),P S,T − ƒt ,P S + ƒs,T − ƒtP(S + 2ƒs,T), ...,P(S + b,T − ƒt) .Таким образом, количество узлов, в которых нужновычислить вероятность, увеличилось на n узлов - чис-ло отрезков разбиения интервала интегрирования вметоде Симпсона.Для нахождения вероятности в узле с координатами(S, T − 3ƒt) при вычислении интеграла необходимо вы-числить неизвестные вероятности в предыдущие мо-менты времени T − 2ƒt, T − ƒt. Следовательно, количе-ство узлов еще возрастет на n.В итоге рассматривается схема узлов видаS + nM ... ....... ........ ........ .......S +(2n + 1)ƒs S + 2nƒs ... ....... ........ ........ .......S +(n + 1)ƒs S + nƒs ... ....... ........ ........ .......S + ƒs S ... ....... ........ ........ .......0 0 T − ƒTкогда для вычисления вероятностей в предыдущий мо-мент времени в k узлах, необходимо знать вероятностив текущий момент времени в k + n узлах.Если обозначить через M − количество узлов по осивремени, N − количество узлов по оси s, тогда N + nM −число узлов, в которых задаются граничные значениявероятности в момент времени T. Количество узлов скоординатами (S, T − kƒt), в которых вычисляется веро-ятность, равно N + n(M − k), k = 1,M.Непосредственное вычисление вероятности по вы-шеизложенному методу осуществлялось с помощью про-граммы, задавая граничные условия и параметры рас-пределений. Результатом работы программы являетсяфайл, содержащий значения вероятности в узлах задан-ной сетки. На основе полученных данных были по-строены графики зависимости вероятности от различ-ных параметров. Очевидно, что вероятность стабиль-ного функционирования компании в течение времени Tзависит от начальной суммы на счете. Зная интервалвремени T и способ пополнения и расходования де-нежных средств, можно численно найти необходимыйразмер начального капитала s0 для стабильного функ-ционирования компании.Численный метод решения поставленной задачи по-зволил уточнить сравнение моделей. Сравнение воз-можно при одинаковых распределениях поступлений вобеих моделях, и если среднее значение размера вы-плат в единицу времени во второй модели будет равноинтенсивности расходования денежных средств первоймодели. Получено, что при одинаковом интервале вре-мени T вероятности для разных моделей отличаютсядруг от друга. При небольшом интервале времени T ве-роятность стабильного функционирования компаниибольше при использовании первой модели, а при длин-ном интервале времени T будет выгоднее использова-ние второй модели. Исследована зависимость вероят-ности стабильного функционирования компании отраспределения размера выплат и поступлений. В усло-виях обеих моделях выгоднее использовать равномер-ное распределение поступлений. При равномерном рас-пределении поступлений на короткий срок T лучше ис-пользовать экспоненциальное распределение размеравыплат, а на более длинный выгоднее расходовать де-нежные средства одинаковыми суммами.Но при применении численного метода возникаюттрудности при больших значениях интервала времени T.Тогда целесообразно применять асимптотический метод.Проведено сравнение вероятностей, найденных асим-птотическим и численным методами для обеих моделей.Рассмотрим ситуацию, что обязательно наступит моментвремени, когда на счете компании сумма денежных средствстанет равной нулю. Обозначим этот момент времени че-рез T0. Вероятность того, что момент времени T0 наступитпосле момента T, совпадает с вероятностью стабильногофункционирования компании от начального момента домомента времени T. Асимптотическая формула для вычис-ления P(T0 > T) найдена в виде (19) с параметрами (20) дляпервой модели и (30) для второй. Сравнение было ослож-нено заданием граничного условия P(s, T) = 1 при числен-ном методе сеток нахождения вероятностей. При выводеформулы (19) такого условия не было. Поэтому, чтобысравнения стало воз-можным, был подобран момент ƒ, прикотором P(s, T) = P(ƒ > 1) = 1, и от момента ƒ был отложенинтервал функционирования компании. Небольшие разли-чия при сравнении вероятностей объясняются тем, что вобоих случаях использовались приближенные методы.

Скачать электронную версию публикации