Synthesis of watching system of adaptive production rate control according to the local criterium.pdf Развитие рыночной экономики сделало актуальной задачуразработки систем управления для экономических процессов.Для решения этой задачи могут быть использованы методытеории управления, разработанные для технических систем.При этом на первый план выступает задача построения мате-матических моделей экономических процессов.Традиционные модели экономики, основанные на статическихсоотношениях баланса, не могут использоваться при анализе фак-тора времени для эффективности экономических решений. Пер-вые попытки построения динамических моделей экономическихсистем были связаны с описанием макроэкономических процес-сов. Модели микроэкономических систем оказываются болеесложными, так как требуют учета многих локальных факторов,влияние которых в макроэкономических явлениях усредняется.Кроме того, потенциальная область применения микроэкономиче-ских моделей значительно шире, чем макроэкономических.В настоящей работе рассматривается задача адаптивногоуправления темпом производства с целью получения желаемойприбыли. Для решения этой задачи строится математическаямодель экономической системы, описывающей процесс производ-ства, хранения и сбыта продукции, и формируется следящая сис-тема адаптивного управления по локальному критерию.ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА,ХРАНЕНИЯ И СБЫТА ПРОДУКЦИИПроцесс производства, сбыта и хранения продукцииможно описать системой обыкновенных дифференци-альных уравнений [1,2]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 0 ) 0 . x& t = A t x t + B t u t + F t q t x t = x (1)Здесь x(t) = (X(t), Z(t), V(t), W(t))T − вектор состояния, компо-ненты которого имеют следующий смысл: X(t) − объем про-дукции, выпущенной предприятием; Z(t) − объем продукциина рынке; V(t) − объем продукции у потребителя, еще непотребленной; W(t) − прибыль от реализации продукции; u(t)− вектор управления, определяющий темп выпуска продук-ции; q(t) − вектор, задающий действия случайных факторов,который будем считать гауссовским:M{q(t)} = q(t),M { [q(t) − q(t)] [q(ƒ) − q(ƒ)]T } = Q(t) ƒ(t − ƒ) , (2)где T − символ транспонирования; ƒ(t − ƒ) − дельта-функция Дирака.Матрица A(t) динамических свойств модели (1) ивектор B(t) , характеризующий влияние управляющихвоздействий, определяются следующим образом:( )( )( );0 ( ) ( ) ( ) 00 ( ) ( ) ( ) 00 ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0( )21 ⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝⎛ϕ − ϕ − ϕϕ − ϕ − ϕ −− ϕ − ϕ − ϕ=cn t t K cn tn t t n t Kn t t n tA tc Y V c zc Y V c Zc Y V c Z (3)( ) 1 1 0 1 .T⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛ −B t c (4)В (3), (4) K1, K2, c − коэффициенты, характеризующие темппотребления, плату за хранение, превышение цены над себе-стоимостью; ϕY(t), ϕZ(t), ϕV(t) − функции, описывающие ма-тематические модели потенциального спроса, ситуацию нарынке и поведение покупателя; nc = n0 e−c − скорость прода-жи продукции, где n0 − коэффициент покупательной спо-собности.ФОРМИРОВАНИЕ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫУПРАВЛЕНИЯ ТЕМПОМ ПРОИЗВОДСТВАБудем предполагать, что информация о векторе со-стояния (объеме производства, ситуации на рынке, по-ведении покупателя, прибыли) поступает в дискретныемоменты времени t1, t2,... , а управления являются кусоч-но-постоянными непрерывными слева функциями на каж-дом интервале выдачи управляющих воздействий:u(t) u(k), tk t tk 1, tk 1 tk t, = ≤ < − = ƒ + + (5)где k соответствует моменту времени tk = t0 + kƒt,k 0, N, N T / t, [t0 ,T ] = = ƒ − интервал моделирования.Модель информационной системы, доставляющейинформацию о векторе состояния, зададим в видеy(k) = Hx(k) + r(k), (6)где y(k) − вектор, содержащий информацию о векторе со-стояния; H − матрица, состоящая из нулей и единиц, нуле-вые столбцы которой соответствуют компонентам векторасостояния, о которых отсутствует информация; r(k) − векторошибок информационной системы, который будем считатьдискретной гауссовской последовательностью:M{r(k)} = 0, M{r(k)rT(j)} = Rƒk, j; (7)x(k) − состояние преобразованной в дискретную формунепрерывной системы (1); ƒk, j − символ Кронекера,k, j = 0, N .При формировании управления для реальной ситуациинеобходимо учитывать, что в модели (1) есть параметры,которые невозможно задать точно, например такие, кото-рые описывают модели рынка и покупателя, скорость про-даж, темп потребления и т.д. Исходя из экономическогосмысла этих параметров и их величин, введем два векторапараметров: ƒ1 = (ƒ1,1, ƒ1,2, ƒ1,3), ƒ2 = (ƒ2,1, ƒ2,2, ƒ2,3), где ƒ1содержит динамически изменяющиеся параметры модели,описывающие потенциальный спрос, ситуацию на рынке иповедение покупателя, а ƒ2 − коэффициенты, определяю-щие темп потребления, плату за хранение и скорость про-даж. Тогда при формировании управляющих воздействийбудем считать, что модель объекта имеет видx(k + 1) = A(k, ƒ1(k), ƒ2(k)) x(k) ++ B(k)u(k) + F(k) q(k), x(0) = x0, (8)где матрицы A(ƒ1, ƒ2) = A(k, ƒ1(k), ƒ2(k)), B(k), F(k) за-даны следующим образомA(9)B(k) = (ƒt ƒt 0 − ƒt/c); (10)F(k) = ƒtF(tk ) . (11)Кроме того, будем предполагать, что априорные распреде-ления векторов x0, ƒ1(0), ƒ2(0) являются гауссовскими:{ } , {( )( ) } , 0TM x0 = x0 M x0 − x0 x0 − x0 = Px{ (0)} , {( (0) ) ( (0) )} , 1 1,0 1,0T1 1,0 1 1,0 ƒ M ƒ = ƒ M ƒ − ƒ ƒ − ƒ = P{ (0)} , {( (0) ) ( (0) )} , 2 2,0 2,0T2 2,0 2 2,0 ƒ M ƒ = ƒ M ƒ − ƒ ƒ − ƒ = P{ ( ) ( )} 0, { ( ) T ( )} 0, , 0, .1 2 M ƒT k ƒ k = M r k q j = k j = NУчитывая, что информация об объекте поступает отинформационной системы с ошибками и может бытьнеполной, будем в каждый момент формирования уп-равляющих воздействий оценивать состояние модели объ-екта с помощью дискретного фильтра Калмана [3], ко-торый реализуется с помощью следующих рекуррент-ных соотношений:( )[ ( 1) ˆ( 1/ )], ˆ(0) ,ˆ( 1) ˆ( 1/ )K k y k Hx k k x x0x k x k k+ + − + =+ = + +( ) ( ) ( ) ( ),ˆ( 1/ ) ( , ˆ ( ), ˆ ( )) ˆ( ) 1 2B k u k F k q kx k k A k k k x k+ ++ = ƒ ƒ +K(k) = P (k +1/ k)H [HPx (k +1/ k)HT + R]−1,Tx( , ˆ ( ), ˆ ( )) ( ) ( ) ( ),( 1/ ) ( , ˆ ( ), ˆ ( )) ( 1/ )T1 21 2A k k k F k Q k F kP k k A k k k P k kTx x ƒ ƒ ++ = ƒ ƒ + P(k 1/ k 1) [I4 K(k)H]Px (k 1/ k), + + = − +(0 / 0) , Px = Px0 (12)где I4 − единичная матрица четвертого порядка.Оценивание векторов ˆ ( 1), ˆ ( 1)1 2 ƒ k + ƒ k + будем осу-ществлять с помощью последовательной идентифика-ции параметров в предположении, что при оцениванииодного вектора второй известен точно. Тогда для по-строения оценки вектора ˆ ( 1)1 ƒ k + будет использовать-ся следующий рекуррентный алгоритм:( ˆ( ), ˆ ( ), ( ))ˆ ( ) ( ) ( )], ˆ (0) ,( ˆ( ), ˆ ( ), ( ))ˆ ( 1) ˆ ( ) ( , ˆ ( ))[ ( 1)1 2 1 1 1,01 21 1 1 2− ƒ ƒ − ƒ = ƒ− ƒ −ƒ + = ƒ + ƒ + −HG x k k u k k HF k q kHg x k k u kk k L k k y k( )) ( , ˆ ( )),( , ˆ ( )) ( / ) ( ˆ( ), ˆ ( ),211T2T1 2 1 1u k H M k kL k k P k k G x k kƒƒ = ƒ−ƒˆ ( ), ( )) ( ) ( ) ,( , ˆ ( )) ( ˆ( ), ˆ ( ), ( )) ( / ) ( ˆ( ),T T2T1 2 1 2 1 1k u k HF k F k H RM k k HG x k k u k P k k G x kƒ + +ƒ = ƒ ƒ[ˆ ( ), ( ))] ( / ),( 1/ 1) ( , ˆ ( )) ( ˆ( ),1123 2 1k u k P k kP k k I L k k HG x kƒƒƒ+ + = − ƒ(0 / 0) . ƒ1 ƒ1,0 P = P (13)Оценка ˆ ( 1)2 ƒ k + получается с помощью следующихрекуррентных соотношений:ƒˆ ( +1) = ƒˆ ( ) + ( , ƒˆ ( +1))[ ( +1) −2 k 2 k L2 k 1 k y k− Hg2 (xˆ(k), ƒˆ1(k +1),u(k)) −2 ( ˆ( ), ˆ1( 1), − HG x k ƒ k +( ))ˆ 2 ( ) ( ) ( )], ˆ 2 (0) 2,0 , u k ƒ k − HF k q k ƒ = ƒ( )) ( , ˆ ( 1)),( , ˆ ( 1)) ( / ) ( ˆ( ), ˆ ( 1),1121T2 1 2 2ƒ +ƒ + = ƒ +−ƒu k H M k kL k k P k k G x k kTˆ ( 1), ( )) ( ) ( ) ,( )) ( / ) ( ˆ( ),( , ˆ ( 1)) ( ˆ( ), ˆ ( 1),T T1T22 1 2 11k u k HF k F k H Ru k P k k G x kM k k HG x k kƒ + + +ƒ + = ƒ +ƒˆ ( 1), ( ))] ( / ),( 1/ 1) [ ( , ˆ ( 1)) ( ˆ( ),2213 1 2k u k P k kP k k I L k k HG x kƒƒƒ ++ + = − ƒ +(0 / 0) . ƒ2 ƒ2,0 P = P (14)В (13), (14) матрицы G1(⋅), G2(⋅) и векторы g1(⋅), g2(⋅)получаются в результате представления модели (8) ввидеx(k +1) = G1(x(k), ƒ2 (k),u(k))ƒ1(k) + g1(x(k),ƒ2 (k),u(k)) + F(k)q(k) (15)иx(k +1) = G2 (x(k), ƒ1(k),u(k))ƒ2 (k) + g2 (x(k),ƒ1(k),u(k)) + F(k)q(k). (16)Управление экономическим процессом практическивсегда имеет целью получение максимально возможнойприбыли. Для реализации такого управления приходитсяучитывать достаточно много различных факторов произ-водства и рынка. В настоящей работе это достигается фор-мированием следящей системы управления, при этом сле-жение осуществляется за состоянием xz(t), которое соответ-ствует максимальной прибыли для рассматриваемогопредприятия на существующем рынке. Такое состояниеопределяется с помощью факторного анализа и решениязадачи нелинейного программирования с ограничениями,где критерием оптимизации является производственнаяфункция Кобба−Дугласа [4], характеризующая прибыль.Управление темпом производства будем формиро-вать при слежении за состоянием xz(t) на основе опти-мизации локального критерия [5]:= 2 { ( ( +1) − ( )) ( ( +1) −J (k) 1 M x k xz tk TC x kxz (tk )) uT (k)Du(k) }, − + (17)где C, D − неотрицательно определенная и положи-тельно определенная весовые матрицы. Формированиеуправляющих воздействий с учетом принципа разделе-ния осуществляется следующим образом:= − [ + ]  − ( ) ( ) ( ) 1 T ( ) u k BT k WB k D B kW[A(k, ƒˆ1(k), ƒˆ 2 (k)) xˆ(k) − xz (tk )] . (18)В (18) матрица W является решением итерационнымметодом уравнения Риккати в ускоренном времениƒƒ= ƒtƒ (ƒ > 0, целое):+ = [ − + −1 0T0 0TW(i 1) A0W(i)A0 A0W(i)B (B W(i)B D)0 ( ) 0 ( )] ( ), (0) ,  BTW i A + C −W i ƒƒ +W i W = C (19)где A0 = A(0, ƒˆ1(0), ƒˆ 2 (0)) , B0 = B(k) .ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕЧисленное моделирование осуществлялось по дан-ным балансовых счетов предприятия, производящегопродукты питания. В качестве основных данных, ха-рактеризующих деятельность предприятия, были взятыобъем выпускаемой продукции (в денежном выраже-нии) и доход за каждый месяц в течение одного года.Для того, чтобы не учитывать влияние инфляции, всеэти величины были приведены к концу рассматривае-мого периода. Математические модели, характеризую-щие потенциальный спрос, рынок и поведение покупа-телей, были построены, исходя из характера выпускае-мой продукции и с учетом того, какую часть рынказанимает продукция, выпускаемая предприятием.Для определения максимально возможной прибылии соответствующего объема производства была решеназадача нелинейного программирования с критериемоптимизации в виде производственной функции Коб-ба−Дугласа, связывающей прибыль с объемом и себе-стоимостью выпускаемой продукции. В качестве огра-ничений использовались производственные функцииКобба−Дугласа, определяющие зависимости междуобъемом продукции, численностью работающих, стои-мостью оборотных средств, стоимостью основных фон-дов, себестоимостью. Кроме того, ограничивалосьуменьшение себестоимости продукции не более чем наодин процент и указывались цены на ресурсы.Моделирование осуществлялось методом Эйлера с ша-гом, равным одному дню. Управление, задающее темппроизводства продукции, формировалось при слеже-нии за состоянием, определяющем максимально возмо-жную прибыль на существующем рынке, при отсутст-вии информации о ситуации на рынке и поведении по-купателей. При этом учитывались естественные ограни-чения, вытекающие из экономического смысла рассма-триваемых процессов, а именно, переменные состоянияи управление, характеризующие объем производства,рынок, покупателя и темп производства должны бытьнеотрицательными. Кроме того, учитывались ограни-чения, вытекающие из характера выпускаемой продук-ции: объем продукции на рынке не может превышатьобъема продукции, выпущенной в предыдущий день;объем продукции у потребителя не может превышатьобъема продукции на рынке.При моделировании, кроме приведенных ограничений,использовалось еще дополнительное ограничение на уп-равление: формируемый темп производства не можетпревышать тот темп, который обеспечивает максимальновозможную прибыль для данного предприятия. Послед-нее ограничение учитывает ограниченные возможностикаждого предприятия по увеличению прибыли.Сравнение результатов моделирования, характери-зующих прибыль, с данными балансовых счетов пока-зало удовлетворительное совпадение теоритических ра-счетов и практических данных. При этом за счет ис-пользования предлагаемого подхода к формированиютемпа производства прибыль за время моделированияувеличилась примерно на 3 %.Полученные результаты показали, что следящие сис-темы управления можно применять для формированиятемпа производства, если стратегию управления (полу-чение максимальной прибыли) определять с помощьюфакторного анализа при использовании производст-венных функций.

Скачать электронную версию публикации