Construction trend of models of economic system.pdf Задачами экономико-статистического прогнозиро-вания являются выявление перспектив ближайшегоили более отдалённого будущего в исследуемой обла-сти на основе реальных процессов деятельности; вы-работка оптимальных тенденций и преспективныхпланов с учётом составленного прогноза и оценкипринятого решения с позиций его последствий в про-гнозируемом периоде.Временной ряд, динамический ряд (РД) - это пос-ледовательность упорядоченных по времени показа-телей, характеризующих уровень развития изучаемо-го явления. В составе динамического ряда можно вы-делить четыре компоненты: 1) общую тенденцию раз-вития, или тренд; 2) регулярные колебания относитель-но тренда (типа циклов); 3) сезонные колебания;4) остаток, или случайную компоненту, отражающуювлияние разнообразных факторов стохастическогохарактера.Одной из важнейших задач исследования динами-ческих рядов является установление общих законо-мерностей, или тенденций, развития. Для решенияэтой задачи используются разнообразные приемыуменьшения колеблемости динамического ряда (сгла-живающие фильтры), среди которых можно выделитьдва основных метода: сглаживание ряда с помощьюскользящей средней и аналитическое выравнивание.Аналитическое выравнивание динамического ряда -это метод выражения тенденций развития в виде фун-кции изучаемого показателя от времени, называемоймоделью тренда.Рассмотрим задачу сглаживания ряда динамики, т.е.построение трендовой модели, на реальном примере сцелью применения модели для решения задач анализаи прогнозирования социально-экономических показа-телей. Данные о продаже авиабилетов за 3 года(N= 36 - длина РД) представлены графически на рис. 1.Для этого РД характерны внутригодичные, повто-ряющиеся устойчиво из месяца в месяц изменения вуровнях. Это стационарный периодический РД, т.е. об-щей тенденции развития нет, но явно выделяется сезон-ная составляющая временного ряда и, естественно, слу-чайная компонента. Поэтому для сглаживания данно-го РД будем использовать в качестве моделей прогнозамультипликативную модель и модель тригонометричес-кого тренда - ряд Фурье [1]. Если в РД отсутствует тен-денция, то уровень временного ряда рассматриваетсякак функция сезонности и случайности:Рис. 1. Периодический ряд динамики продаж авиабилетовРис. 2. Коэффициент сезонностиледующей корректировкой его на сезонную компонен-ту - умножение на Ks:Для решения задачи идентификации параметровданного уравнения применим классический метод наи-меньших квадратов (МНК) и дискретный фильтр Кал-мана. Параметры уравнения (4), оцениваемые МНК,определяются формулами [1]:что в применении к оцениванию по методу фильтра-ции Калмана-Бьюси можно записать для каждогомомента времени к следующим образом:мени. В качестве наблюдаемого процесса будем рас-сматриватьОценочные значения для модели (1) представим ввидеПрогнозирование РД с помощью модели (1) сво-дится к прогнозированию среднего уровня с пос-Теоретически любой стационарный временной рядможет быть представлен как сумма среднего значениягде а0 , аi...bi- неизвестные параметры, и - число гармо-ник,Применим дискретный фильтр Калмана [2] дляидентификации параметров ряда Фурье. Так как для(4) параметры должны быть постоян-ными, то модель динамической системы имеет видгде z(k) - известный выход (исходные значения уk),случайные погрешности измерения, шум на выходе сковаоиаиией R (моделируется белым гауссовскимшумом), х(k) - вектор состояния, - момент вре-где р - число оцениваемых параметров.Рассмотрим построение ряда Фурье (4) для исходныхданных в обоих случаях с разным числом гармоник. Вы-бор ряда Фурье, который наилучшим образом отражаетисходный временной ряд, основывался на расчёте коэф-фициентов детерминации R2 (см. таблицу), являющихсякритерием адекватности построенной модели, характери-зующих так называемую долю «объяснённой» дисперсии,чем ближе R2 к 1, тем лучше выбрана модель. Коэффици-ент детерминации определяется какесли Г(k) - ковариация ошибки, Kф(k) - коэффициентфильтрации. В качестве начальных значений возьмёмОценка состояния системы, описываемой уравне-ниями (4), в момент времени k+1 по наблюдениям z( 1),z(2), ..., z(k), которая минимизирует ковариациюошибки оценки удовлетворяетрекуррентному уравнениюгде матрица измеренийзаменяется часто параметром а0) и ряда синусоиди косинусоид, что и называется рядом Фурье:(Коэффициент детерминации для уравненийс разным числом гармоникЧисло гармоник R2 при применении фильтра Калмана 3 0,65893 0,658784 0,74412 0,743885 0,74493 0,745236 0,80935 0,812597 0,80775 0,81028Рис. 3. График исходных и сглаженных значений по формулам (2) и (8)Рассмотрим гипотезу о согласии распределенияостатков с нормальным распределением. На рис. 4изображены гистограммы (оценка плотности распре-деления) остатков моделей (2) и (8) с наложенной наних плотностью нормального распределения.Значение статистики с2= 1,76335 и вероятностиp=0,62294 для остатков модели (2), с2= 1,8707 и веро-ятности р=0,599966 для остатков модели (8); крити-ческое значение распределения хи-квадрат с пара-метрами ( - заданный уровень значимости,) и числом степеней свободы f=3 равноТак как , то нет оснований отвергать гипоте-зу о нормальном распределении остатков модели науровне значимости Аналогичный вывод мож-но сделать по значениям вероятностей. Так как веро-ятность р неправильного отвержения гипотезы, ког-да она верна, довольно большая, то гипотеза о нор-мальности остатков моделей (2) и (8) принимается науровне значимостиЕсли предположить, что структура наблюдаемогопроцесса существенно не изменится в ближайшее буду-щее, то, используя одну из построенных моделей (либомультипликативную, либо ряд Фурье), можно постро-ить прогноз количества продаж авиабилетов на следу-ющий год. На основе полученного уравнения трендадаётся точечная оценка прогноза. Однако более надёж-=428,5408 соответственно для моделей (2) и (8). ный прогноз предполагает оценку его в интервале пред-квадратического отклонения =633,5933 и(2) и (8). Выборочное среднее ; оценка средне-Полученные оценки коэффициентов ряда Фурье (4)методами МНК и дискретным фильтром Калманамало отличаются друг от друга, поэтому для дальней-ших исследований выбрана модель (8) с параметра-ми, значения которых были получены с помощьюфильтра Калмана.Графики выровненных динамических рядов по мо-делям (2) и (8) приведены на рис. 3: точками изображе-ны наблюдаемые величины, сплошной и пунктирнойлиниями - значения, полученные моделированием.Исследуем полученные остатки (разность междунаблюдаемыми и модельными значениями) моделейТаблица показывает, что уже уравнение с четырь-мя гармоникамихорошо описывает исходный РД, нов качестве модели прогноза возьмём ряд Фурье с шес-тью гармониками (что характерно для сезонных ко-лебаний), который объясняет 81% вариации уровней.Для мультипликативной модели (2) коэффициент де-терминации равен 0,732618.Оценочные значения для модели тригонометричес-кого тренда (4) имеют видРис. 4. Гистограммы остатков построенных моделей (2) и (8) соответственноРис. 5. Графики продаж авиабилетов с построенным прогнозом по моделям (3) и (8) соответственно

Скачать электронную версию публикации