The redused module on the surface .pdf 1. Конформное отображение поверхностиПонятие конформного отображения поверхности подробно рассмотрено в монографии [2]. Ниже мы будем использовать определения и результаты четвертой главы монографии. Пусть Del2 - односвязная область и пусть Q а К'", m > 2 - поверхность, определяемая локально билипшицевой вектор-функциейy = f (x) = ( f1(x1, x2), f2(x1, x2),..., fm(x1, x2)) : DВ общем случае поверхность Q. может иметь самопересечения. Говорят, что поверхность Q вложена в К"', если вектор-функция / реализует гомеоморфное отображение области D на множество f(D) с метрикой(и, тем самым, топологией!), индуцированной из Rm. Поверхность Ω погружена в Rm, если вектор-функция f обладает описанным свойством локально в D. Ясно, что Ω является вложенной, если она билипшицева, и погруженной, если она локально билипшицева. Так как вектор-функция f локально липшицева, то по теореме Радемахера почти всюду в D существует полный дифференциал df(x). Пусть (x 1, x2) е D - точка, где / имеет дифференциал. Символомf1'x f2' x ... f3' xf'KJ1x2J2x2 V3x2 Jмы обозначаем производную f в точке х = (х1, х2), где такая производная существует. Пользуясь стандартны-обозначениямиg11 =∂f ∂x12 > g 12= g21 =\ ∂x 1 ∂x 2 Ig 22∂f ∂x2определяем первую квадратичную форму поверхности Ω в области D:dsn = g11dx12 + 2g12dx1dx2 + g22dx2.Элемент площади поверхности Ω имеет видdΩ = ,J g(x)dx]dx1,гдеg(x) = g11(x)g22 (x) - g122 (x).Пусть Γ - семейство локально спрямляемых дуг или кривых на поверхности Ω. Будем говорить, что неотрицательная, локально ограниченная, измеримая по Лебегу функция ρ≥0 допустима для семейства Γ дуг γ , если ρ измерима вдоль каждой из дуг γ∈Ги∫ρ(x)dsΩ ≥1 для всех γ ∈ Г .Величинаmoda(Г) = inf [р2dЮ,p где точная нижняя грань берется по всем допустимым для Γ функциям р, называется модулем семейства Γ.В случае, когда метрика dsQ =\dx\ - евклидова и элемент площади dΩ = dx 1 dx 2, используется упрощенное обозначение mod(Г). Предположим, что имеются две локально билипшицевых поверхности Q' и Q" вида (1). Гомеоморфное отображение Т : Q' -^ Q'' называется конформным, если для любого семейства Г локально спрямляемых дуг ycQ' выполненоmodΩ' Г = modΩ '' T(Г) .Говорят, что отображение Т : Q' - Q'' является изометрическим, если оно сохраняет длины дуг, т.е.length(y) = lengthT(y)для любой локально спрямляемой дуги усй'. Нетрудновидеть, что всякое изометрическое отображение Т локально билипшицевой поверхности Q' на локально би-липшицеву поверхность Q" является конформным.Пусть Q - поверхность, образованная парой полуплоскостей, склеенных вдоль общего края под углом0Ј1 сохраняет углы между кривыми и является конформным в традиционном смысле. Выполнение условия g = g11g22 - g12 > 0 в точке равносильно предположению, что в этой точке выполненоrank(df ) = 287Пусть D - односвязная область в М2 и Q - поверхность, заданная над D посредством вектор-функции (1), удовлетворяющей условию (6). Пусть x = (x 1, x2) ∈ D - точка, где вектор-функция f имеет полный дифференциал и выполняется (6). Предположение (6) влечет, что df ^0 в этой точке, метрика dsQневырождена и бесконечно малый круг в метрике dsQс центром в х является бесконечно малым эллипсом в евклидовой метрике. Обозначим через p(x) > 1 и 0 < 8(х) < л характеристики этого эллипса, т.е. отношение р большей оси эллипса к меньшей и угол 8 между большей осью и направлением Ox . Легко видеть, что(g11(x) + g22 (x))2 4(g11 (x)g22 (x) - g122 (x))Характеристика 8 определена в каждой точке, где р > 1.Гомеоморфное отображение u:D -R2 классаW lo'c в области Del2 называется квазиконформным с характеристиками М.А. Лаврентьева (р(х), Э(х)), если почти всюду в D оно переводит бесконечно малые эллипсы с характеристиками (р(х), Э(х)) в бесконечномалые круги [3]. Отображение u:D->R2 называется q-квазиконформным, если ess sup p(x) < q. Вопрос о существовании и единственности отображения u с заданными характеристиками p и θ решен при весьма общих предположениях [2. Гл. 3]. В частности, это имеет место, если величина(7)P(х) / глокально ограничена в области D.средством вектор-функции (1). Пусть Gcfl - одно-связная область с непустой границей. Область G с присоединенными к ней простыми концами будем обозначать через G. Предположим, что у каждого простогоконца e е 8G найдется главная точка у0, в которой поверхность Ω удовлетворяет предположению (4.4.18) [4]. Согласно теореме 4.4.1 [4] это означает, что надкаждым простым концом e edG расположен единственный простой конец поверхности Ω. Естественным образом определяются понятия простой жордановой дуги (открытой либо замкнутой) и простой жордановойкривой в G и Q . В частности, множество простых концов 8G есть простая жорданова кривая в G. Пусть E„E, cG - произвольные множества и ycG - простая замкнута жорданова кривая в Е. Будем говорить, что у разделяет множества Е1,Е2в G, если для любого связного, замкнутого в G множества К такого, что K f}Ei*0(i = 1,2), выполнено ^ПУ *0. Пусть G' -подобласть области G и e' е 8G - простой конец. Говорим, что подобласть G' примыкает к простому концу е' если для любой последовательности {^я} точек G, сходящейся к е' существует номер N такой, что при всех п > N точки ^п принадлежат подобласти G' .Пусть А и В - произвольные односвязные подобласти D, содержащие точку (0,0). Пусть Кь Къ… -последовательность континуумов, содержащих точку (0,0) и содержащихся как в области, так и в области В. Предположим, что все континуумы Кп таковы, что Ап = =А\Кп , Вп = В\Кп суть двусвязные области.Лемма 1. Если диаметры континуумов Кп стремятся к 0, то существует пределlim(moda (An) - moda (Bn)). (8)Этот предел не зависит от выбора последовательности континуумов {Кп}, diamKn - 0. В частности, еслиОтображение Т = U° f однолистно, принадле- Ω=, тожит классу W lo'c и переводит поверхность Ω в некото-рую область плоскости конформно.2. Приведенный модуль односвязной области относительно граничной точки на поверхностиПонятие приведенного модуля плоской односвязной области относительно внутренней точки, введенное О. Тейхмюллером [4], использовалось многими авторами для изучения свойств конформных отображений и получило разнообразные обобщения и применения [5-8]. Понятие приведенного модуля плоской области относительно граничного элемента, введенное в [1], можно распространить на случай областей на поверхности, используя развитую для этого случая в [2] теорию простых концов Каратеодори.В дальнейшем Ω el'" - локально билипшицева поверхность, заданная над некоторой односвязной областью Del2 с непустой границей, (0,0) е D, по-lim(mod(An) -mod(Bn )) = -log( RA ), (9)n^™ 2π Rгде RA,RB- внутренние конформные радиусы областей А, В относительно точки (0,0).Доказательство. Начнем с утверждения (9). Пустьx = Fn (x) - однолистные конформные отображения двусвязных областей Aп= A\Kп на двусвязные области A„ = | x ∈ A :| x |> ря |, где числа р п > 0 опреде-ляются из соотношенийmod(An) = mod(An), n = 1,2,... . При этом мы будем предполагать, что все Fn (x) оставляют неподвижным некоторый фиксированный простой конец е, входящий в область А. Поскольку диаметры континуумов Кп стремятся к 0, модули двусвязных областей mod(An) и mod(A n) стремятся к со, а числа рп - к 0. Отсюда заключаем, что последова-тельность отображений Fj (x), F2 (x), … сходится ктождественному отображению области А на себя и притом равномерно на всяком компактном подмножестве области A\ {0}. Действительно, пусть со = ф(х) -однолистное конформное отображение области А на единичный круг |ω| < 1 такое, что ϕ(0) = 0, ϕ(е) = 1.Положим ϕn = ϕ о Fn о ϕ~' и обозначим через \|/n (со)отображение, полученное продолжением по симметрии относительно единичной окружности отображения фn (со). Поскольку однолистные отображения \|/n (со) оставляют неподвижной точку ω = 1 и не принимают значений 0,, то последовательность \|/1(со), i|/2(co),... представляет собой нормальное семейство. Пусть \\ik (со), v|/k (со),... - произвольная ее подпоследовательность, равномерно сходящаяся внутри К2\{0} к отображению ф0(со). Так как К|/И(е'е)=1, 0 < 8 < 2п, а сходимость равномерна на окружности |ω| = 1, то \|/0 (со) Ф const. Поэтому отображение \|/0(со) однолистно в Ш2 \{0} и в силу нормировкиҐ0(1) = 1, Ч>0(0) = 0, V0(GO) = GO совпадает с тождественным. Отсюда заключаем, что отображения Фn(ю) сходятся равномерно ктождественному внутри кольца 0■ п RPгде R A - внутренний конформный радиус относительно точки w = 0 плоскости C w с разрезом по лучу L; R P - внутренний конформный радиус области P = U∞=1 P„ U {О}. Теорема доказана.Анализ установленных соотношений приводит к мысли о существовании определенной аналогии между пределом (19) и приведенным модулем односвязной области относительно внутренней точки. В соответствии с этим мы назовем предел (19) приведенным модулем подобласти G' относительно простого конца е' и области G с отмеченными простыми концами е0, е". В дальнейшем будем обозначать этот предел символом kn(G',e'/e0,e") или, в тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, символом kQ(G'). Для Q. = W индекс Ω в обозначениях kn(G',e'/e0,e") и kn(G') будем опускать.Равенство (28) содержит в себе существенно больше информации, нежели это было необходимо при доказательстве теоремы. Приведем два полезных для дальнейшего следствия теоремы 1.G ⊂G Пусть x - односвязная область с непустойграницей и фиксированными простыми концами е', е0 иG′ e′′ . Пусть - односвязная подобласть G, примы-кающая к е' и не примыкающая к е′ ′ . Пусть ω = f (x) -однолистное конформное отображение области G наH верхнюю полуплоскость ω+ с нормировкой (20). Обозначим через Р наибольшую из односвязных областей вC ω , содержащих точку ω = 0, симметричных относи-H тельно вещественной прямой и совпадающих в ω+ собластью f (G′) , через RP - ее внутренний радиусотносительно точки ω = 0 .Следствие 1. Справедливо равенство4αk(G′,e′ / e0 ,e′′) = π-1 logRДоказательство следует из (28), если заметить, что RA=Aa.Нетрудно проверить, что введенная величина является конформным инвариантом. Предположим теперь, что G и G - произвольные односвязные подобласти односвязной области G cf!, примыкающие к простым концам е и е" соответственно. Предположим, что подобласти G' и G" не налегают, т.е. G' П G" - 0, и имеют связные границы dG G' и dG G". Если зафиксирован некоторый простой конец е0, входящий в G, то имеет смысл говорить о приведенных модулях kD(G',e'/e0,e") и kQ(G",e'/e0,e"). Применяя известноенеравенство для конформных радиусов неналегающих областей, получаемСледствие 1. Справедливо неравенствоkQ(G') + kn(G")>-log16.Введенная величина позволяет решить некоторые граничные задачи теории конформных отображений поверхностей, используя методы, хорошо разработанные для внутренних задач теории конформных отображений плоских областей [1, 9-11].

Скачать электронную версию публикации