Transition |nlm)->|p} form factors of hydrogen-like elementary atoms .pdf Проблема вычисления формфакторов перехода из связанных в несвязанные состояния водородоподобных атомов [1, 2] имеет долгую историю [3-13]. В настоящее время эта проблема приобрела большое значение для интерпретации данных эксперимента DIRAC, целью которого является наблюдение водородоподобных ЕА1, состоящих из тг и ят / Кт мезонов2 и измерение их времени жизни с высокой степенью точности [14, 15].Главным образом, в литературе [3-7] рассматривались формфакторы перехода между состояниями дискретного спектра, характеризуемые определенными значениями главного (и), орбитального (/) и магнитного (т) квантовых чисел, что соответствует выбору волновых функций \|/ f(i) (r) в видеV, () (r) = Vv(r) = rta (&*(.,) (r), (1)где }^,(9ф) - сферические гармоники; Я(Ы)(г) - радиальные волновые функции; |/\ - конечное, \i\ - начальное состояние атома.Формфакторы таких переходов всегда представимы в виде полиномов от переменной\|/ f (r) = \[/ ) (r) = c( ) exp(ipr) х х Ф(-iЈ,1, -i(pr + pr)),c (-) =(2Я) expИг(1 + ^),(iaS =Вычисление таких формфакторов, в отличие от формфакторов переходов между состояниями дискретного спектра, не удается свести к конечному числу алгебраических операций. За некоторыми редкими исключениями, когда эти формфакторы сводятся к известным случаям, вычисление подобных формфакто-ров содержит операцию однократного интегрирования, что, безусловно, усложняет задачу получения их численных значений.Традиционно [8-10] указанная задача решалась путем разложения волновой функции конечного состояния в ряд по сферическим гармоникам:ψp (>)=ZZXа2\12(ц,пк) + д2Vp(r) = Y-\-\Rpl(r)(6)гдеµ(ni,nk )µ(ni + nk )с последующим расчетом переходных формфакторов видаSp, l ml ,nlm (q) = Jψpl,m, (r)ψnlm (r)d3r, (7)щщ (2)(здесь a - постоянная тонкой структуры, ml 2 - массычастиц, составляющих ЕА), что позволяет производить их численный расчет практически с неограниченной точностью.Для интерпретации данных эксперимента DIRAC требуются также выражения для формфакторов перехода в непрерывный спектрS fi (q) = Sp,nlm(q) = \ψ p(r)ewψnlm(r)dr, (3)волновые функции конечного состояния \|/ f которых должны быть выбраны в виде [16]:∞ 1∑∑il1Yl1∗mЯсно, что в этом подходе может быть учтено лишь конечное число членов ряда (8). Возникающая при этом задача аппроксимации бесконечного ряда конечной суммой, как и оценка вклада бесконечного остатка ряда, являются непростыми задачами.В настоящей работе эти трудности обойдены путем получения точных аналитических выражений для формфакторов переходов \nlm ) - \p) в терминах полиномов Гегенбауэра, что сводит задачу расчета этих108формфакторов к конечному числу алгебраических операций. В разделе 1 мы реализуем нашу программу для простейшего случая, когда орбитальный момент исходного состояния равен нулю (^-состояния). Обобщение рассмотрения на случай произвольного связанного состояния водородоподобного атома будет дано в разделе 2. И, наконец, в разделе 3 мы проведем расчет спектра продуктов ионизации (диссоциации) ЕА в ку-лоновском поле ядер атомов мишени как иллюстрацию возможных приложений представленных в работе формфакторов.1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФОРМФАКТОРОВ ПЕРЕХОДОВ|n00)->|p)Начнем с рассмотрения формфакторов | nS} - | p)переходов. Волновые функции начального состояния в выражении (3) в этом случае имеют видПоследний интеграл легко вычисляется с использо ванием интегрального представления для гипергеомет рических функций [19]. Результат имеет видJ(q, p, z) = 4л[со2 (z) + А2 ]~1+'' х(18)[(co(z)-ip )2+q 2]~,где∆ = q-p. Учитывая определение (15) и очевидное соотношение∆

Скачать электронную версию публикации