Philosophical foundations of set theories of Georg Cantor and Petr Vop?nka.pdf Понятие «бесконечное» в истории философии имеетчество элементов которых превосходит количестводлительную традицию рассмотрения. В Античностинатуральных чисел, не может быть выполнено.оно впервые упоминается в связи с учением Анакси-Г. Кантор отказывается от посредничества натураль-мандра (απειρον, беспредельное); значительное местоных чисел и предлагает оригинальный метод, основан-его анализу отводится в трудах Аристотеля. В XIX в.ный на установлении взаимно-однозначного соответст-предложенная Г. Кантором принципиально новая ин-вия между элементами двух множеств с помощью не-терпретация бесконечного привела к созданию теориикоторого закона.множеств и перестройке здания математической науки.В статье «Об одном свойстве алгебраических чи-Значительное развитие это понятие получило в трудахсел» [1. С. 18-22] (1874 г.), пока неявно применяя этотчешского математика П. Вопенка. Очевидно, что раз-метод, Г. Кантор показывает, что существует как ми-личие в определении бесконечного основано на разли-нимум два различных рода бесконечности - бесконеч-чиях в философских предпосылках авторов, однако доность множества действительных алгебраических чи-сих пор в отечественной философской традиции этомусел, имеющая то же количество элементов, что и мно-вопросу не было уделено должного внимания. Цельжество натуральных чисел, и бесконечность континуу-данной статьи - выявить влияние философских взгля-ма - множества точек интервала (0, 1), количество эле-дов Г. Кантора и П. Вопенка на определение понятияментов которого несоизмеримо больше. В последую-«бесконечность» и на созданные ими научные теории.щих работах новый метод широко применяетсяДля этого мы рассмотрим различия во взглядах на бес-Г. Кантором в явном виде, в том числе при заданииконечное в работах указанных авторов и затем произ-отношений эквивалентности множеств, равенства кар-ведем реконструкцию философских предпосылок, оп-динальных и ординальных чисел и т.д. Метод сравне-ределяющих это различие.ния бесконечных множеств Г. Кантора сделал беско-Причиной обращения Г. Кантора к проблематикенечное законным объектом математической науки.множеств и бесконечности стали его исследования поГлавными характеристиками множества Г. Кантортеории тригонометрических рядов. В 1870-1872 гг.полагает его ординальное и кардинальное числа. Орди-Г. Кантор публикует доказательство теоремы о том,нальное число (ординал) - результат акта абстракции вчто представления функции в форме тригонометриче-отношении свойств элементов множества, сохраняю-ского ряда является однозначным, в том числе и в слу-щий их взаимный порядок; кардинальное число (кар-чае отсутствия сходимости в конечном числе значенийдинал) - результат абстракции в отношении и свойствна интервале (0, 2π), а затем обобщает его до случаяэлементов, и их взаимного порядка. Исследуя свойстваотсутствия сходимости в бесконечном числе точек дан-кардинальных и ординальных чисел конечных мно-ного интервала. Именно необходимость различенияжеств, он приходит к выводу, что они полностью сов-'отсутствия сходимости ряда вообще' и 'отсутствияпадают со свойствами чисел натурального ряда и пред-сходимости ряда в бесконечном числе точек' явилосьлагает использовать одни и те же обозначения как дляпричиной, побудившей Г. Кантора заняться анализомконечных кардиналов, так и для соответствующих на-бесконечности.туральных чисел.Очевидно, что методы сравнения множеств по ко-В канторовской теории множеств наравне с конеч-личеству элементов, успешно применяемые для конеч-ными множествами рассматриваются и множества бес-ных множеств, не работают в случае бесконечных: на-конечные, которые также имеют свои кардиналы и ор-пример, последовательный пересчет элементов дажединалы, но для их обозначения не существует соответ-одного бесконечного множества будет продолжатьсяствующих натуральных чисел: существование такихбесконечно. Сверх того, метод простого пересчета ог-чисел противоречило бы аксиоме о несуществованиираничен количеством натуральных чисел, посколькунаибольшего натурального числа. Г. Кантор называетпри пересчете они выступают посредниками в сопос-кардинальные и ординальные числа бесконечных мно-тавлении, и, следовательно, сравнение множеств, коли-жеств трансфинитными. Ординал множества натураль-32ных чисел он обозначает через ω, а кардинал - через ℵ0 и утверждает, что это наименьшие из трансфинитных чисел. Для трансфинитных ординалов и кардиналов задаются те же отношения и операции, что и для ко-нечных чисел. Однако свойства трансфинитных чисел имеют принципиальные отличия от свойств конеч-ных - так, например, на бесконечности в большинстве случаев не выполняется принцип «часть меньше цело-го», и при прибавлении конечного числа к трансфи-нитному трансфинитное остается неизменным. Сложе-ние трансфинитных ординалов, к тому же, не обладает свойством коммутативности вследствие принятия во внимание порядка элементов.Вводя трансфинитные числа как особые объекты математики, Г. Кантор фиксирует бесконечное в каче-стве собственного понятия математической науки. Бо-лее того, разрешая операции над трансфинитными чис-лами, Г. Кантор тем самым позволяет обращаться с бесконечным как вполне определенным объектом -ставшим и совершенным - актуально бесконечным. Имея дело с актуальной бесконечность, мы рассматри-ваем бесконечное множество с точки зрения бога, од-новременно обозревая все элементы, которые принад-лежат, или принадлежали, или будут принадлежать данному множеству когда-либо. До Г. Кантора такое же понимание бесконечности можно встретить у Г.В. Лейбница и его учеников, активно использовав-ших идею о существовании бесконечно малых вели-чин, отличных от нуля, - актуально бесконечно малых. Изучением актуально бесконечного как особого и вполне законного математического объекта занимался также чешский математик и философ Б. Больцано, ко-торый был, вероятно, единственным предшественни-ком Кантора, оперировавшим бесконечными числами, не разделяя их на кардинальные и ординальные.Большинство математиков XIX в., в числе которых П.Г. Лежен-Дирихле, К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд, стремились свести математику к ясному и отчетливому конечному, принимая бесконечное как «простое вспо-могательное понятие нашего мышления, понятие от-ношения, которое < … > заключает в себе идею измен-чивости и о котором, таким образом, никогда нельзя сказать datur в собственном смысле слова» [1. С. 78]. Бесконечное понималось как значение переменной, неограниченно убывающей или растущей, но всегда конечной величины - становящееся и несовершенное потенциально бесконечное.Такой же позиции придерживались некоторые наи-более влиятельные философы Античности, в том числе Аристотель. В гл. 10 кн. 11 Метафизики [2. С. 306-310] Аристотель проводит доказательство несуществования беспредельного - исток столь любимой формулы схо-ластов Infinitum actu non datur. Однако тезис Аристоте-ля еще более сильный - он отказывает бесконечному в каком-либо реальном существовании, приводя много-численные аргументы в свою пользу. Большая их часть сводится к нарушению законов логики при рассмотре-нии бесконечных объектов и опровергается Г. Кантором в [1. С. 63-104] путем запрета на приме-нение к бесконечному свойств конечного.Необходимо особо рассмотреть еще один аргумент Аристотеля о том, что «быть беспредельным каждомутелу невозможно, так как тело имеет протяжение во всех направлениях» [2. С. 308]. Мы не можем утвер-ждать ложности этого аргумента, равно как и принять его. Дело в том, что в нем Аристотель использует по-нятие 'беспредельное', на греческом - 'απειρον'. Значение данного понятия - то, что не имеет границ, что не может быть ограничено, и для такой интерпре-тации тезис Аристотеля аналитически истинен. В то же время канторовское бесконечное, как правило, ограни-чено (например, точки интервала (0, 1) ограничены концами интервала, в то время как их количество кон-тинуально), и для него указанный тезис не будет яв-ляться истинным a priori.К несчастью, Г. Кантор не обратил внимания на данное смешение понятий и привел весьма простран-ное и не слишком убедительное возражение, что дало почву для последующих нападок на канторовское ак-туально-бесконечное и, к сожалению, именно на осно-вании указанной ignoratio elenchi строится основная часть аргументация против теории множеств, способ-ная убедить неподготовленного слушателя в ее алогич-ности и ложности математики в целом.По нашему мнению, актуальная бесконечность, как она вводится Кантором, никоим образом не противоре-чит потенциальной. Аналогично и трансфинитные числа не противоречат даже древним постулатам, согласно которым наибольшего среди них нет. Числа ω и ℵ0 не являются наибольшими числами класса натуральных чисел, но представляют собой единицы нового класса чисел, объектами которого выступают бесконечные множества, причем ограничение быть уже ставшими, или совершенными, не является необходимым для того, чтобы рассматривать такие множества. Актуальная бес-конечность представляется нам методом рассмотрения бесконечного множества как объекта. В математике, хотим мы того или нет, мы постоянно сталкиваемся с ней, поскольку для измерения мы используем единич-ный отрезок координатной прямой, но интервал (0,1) содержит бесконечно много (причем здесь даже неваж-но - счетно или нет) действительных чисел.У Кантора актуально бесконечное - как характери-стика множества - противопоставлено конечному. Бес-конечный кардинал ℵ0 - не просто очень большое чис-ло: он больше любого натурального числа, больше сум-мы и произведения всех натуральных чисел. Числа ℵ0 и ω являются вполне законными объектами теоретиче-ской математики, поскольку для них строго опреде-ленным образом заданы определенные операции и от-ношения - правила, которым они строго подчинены. Тем не менее хотя для подавляющего большинства ма-тематических объектов существует определенная при-кладная интерпретация в других науках, но ни для числа ℵ0, ни для ω такой интерпретации не существует.С другой стороны, даже в обыденной жизни мы сталкиваемся с достаточно большими конечными сово-купностями (песчинки пляжа, видимые звезды и т.п.), проявляющими свойства, характерные для канторов-ских бесконечных множеств - при условии, что рас-сматриваемая совокупность достаточно большая и мы прибавляем или отнимаем от нее гораздо меньшее ко-личество элементов. Парадоксальные свойства подоб-ных совокупностей интересовали мыслителей с древ-33нейших времен - парадоксальность их поведения фик-сируется в античных парадоксах «Куча» и «Лысый».Подобного рода совокупности до середины XX в. ма-тематикой в качестве объекта не рассматривались. В 50-х гг. прошлого века Л. Заде [3] для описания подоб-ных объектов ввел специальный термин «нечеткое мно-жество» и предложил методы их исследования. Нечеткое множество в рамках этой теории аппроксимируется по-средством последовательности четких множеств, давая в результате вместо пары нечетких сколь угодно точную градацию четких множеств, причем ограничение на не-пересечение этих множеств не накладывается. То есть операции над нечеткими множествами Заде представляют собой операции над совокупностями четких множеств, что позволяет применять к ним инструментарий, накоп-ленный классической математикой, но одновременно уничтожает саму специфику таких множеств.Принципиально иной подход к нечетким совокуп-ностям демонстрирует чехословацкий математик П. Вопенка, рассматривающий подобные совокупности как объект, принципиально отличающийся от других математических объектов, требующий особых методов исследования. Для их описания он вводит новый тер-мин «класс», под которым понимает не обязательно четко выделенную совокупность объектов, обладаю-щую индивидуальностью, целостностью и самостоя-тельностью, но однозначно определен совокупностью своих элементов (т.е. любой элемент универсума либо принадлежит классу, либо не принадлежит, хотя в не-которых случаях решить, которое из них верно, не представляется возможным).Понятие «множество» в этой теории имеет принципи-ально иное значение, нежели во всех предшествующих теориях множеств, причем как «канторовских», так и «неканторовских», и является частным случаем класса, для которого нечеткость полностью устранена. Классы, по своей сути, подобны уже упомянутым нечетким мно-жествам Л. Заде, но если у последнего нечеткость являет-ся досадной помехой стандартным методам, которую не-обходимо устранить, то Вопенка возводит нечеткость во главу угла, делая ее сущностной характеристикой класса. П. Вопенка утверждает, что мы можем из четкой сово-купности выделить нечеткую - класс, являющийся под-классом множества, который он называет полумножест-вом. Примеры полумножеств легко найти в парадоксах «Лысый», «Куча», «Брадобрей» и парадоксе Бери.В основе введенных понятий лежит категория не-четкости: и «полумножество», и «класс» выделяются путем нечеткого задания, хотя вполне определены. Не-четкость объявляется вполне легитимной и требует осо-бых методов исследования, принципиально отличных от классических, применяемых к четким множествам. Чет-кость, с другой стороны, является частным случаем не-четкости и не представляет особого интереса - весь ин-струментарий классов вполне применим и к множествам без доработок или определенных оговорок.Нечеткость объявляется в первую очередь неотъем-лемым свойством нашего восприятия: так например, на определенном удалении мы не можем различить тра-винки на лужайке - они сливаются в единое зеленое пятно с нечеткими границами и оттенками. Но, с дру-гой стороны, даже если бы мы не обладали таким несо-34вершенством и могли бы различать отдельные стебли, то тогда мы не могли бы видеть единство лужайки. Так что, как говорит Вопенка, «'видеть совершенно' не означает 'видеть все', а только лишь 'видеть четко'» [4. С. 128]. Отсюда делается вывод, что не несовершенст-во является причиной нечеткости, а мы интерпретируем нечеткость как несовершенство. «Однако нечеткость -это скорее незавершенность, потому что нечеткость ука-зывает за пределы себя самой. То, что нечетко, перехо-дит в нечто другое. Напротив, четкость указывает толь-ко на себя. Эта самодостаточность четкости является первопричиной того, почему мы склонны приписывать самость только четким явлениям, вернее, мы стараемся представлять объекты как четкие явления, потому что лишь в таком случае чувствуем себя вправе восприни-мать их как нечто самостоятельное» [4. С. 128].На основании идеи нечеткости вводится новое по-нятие «естественная бесконечность» - основное по-нятие альтернативной теории множеств. Естественная бесконечность является видом актуальной бесконечно-сти и противопоставляется «абсолютной бесконечно-сти» - именно тому ее виду, с которым имели дело Больцано и Кантор. Естественная бесконечность являет собой взгляд человека на достаточно большую сово-купность предметов, в то время как абсолютная пред-ставляет взгляд бога. Отсюда главной целью альтерна-тивной теории множеств декларируется именно пред-ставление бесконечности посредством нечеткости.Понятие нечеткости у Вопенка тесно связано с поня-тиями «горизонт» и «неразличимость». Нечеткость воз-растает по мере удаления объекта от нас и приближения его к горизонту. Горизонт - то, что ограничивает наш взгляд, направленный вдаль или вглубь, если на его пути не встречается четкого препятствия. Взгляд здесь пони-мается более широко, нежели обыденно - как «высматри-вание того, что возможно усмотреть, и рассматривание того, что мы усмотрели» [4. С. 172]. Горизонт может пе-ремещаться, его можно отдалить, и мы полагаем, что за горизонтом что-то есть. Сама нечеткость, растущая к го-ризонту, указывает на то, что за ним что-то должно быть, и, следовательно, горизонт является границей нашего взгляда на мир. Поэтому зайти за горизонт мы не можем -в результате горизонт сместится, возможно значительно, но, тем не менее, останется. «Поскольку горизонт всегда соотносился с нашим взглядом на мир, а не с самим ми-ром, он не стал прямым предметом европейской науки. Но для альтернативной теории множеств понятие гори-зонта является ключевым. Наша цель - изучать феномен нечеткости на собраниях, классах и множествах, а как раз именно горизонт является той четкой и определенной границей, в которой заключена одна из самых вырази-тельных форм нечеткости» [4. С. 173].Второе понятие, тесно связанное с понятиями «го-ризонт» и «нечеткость», - понятие «неразличимость». Под неразличимостью понимается такое отношение R, в котором находятся два объекта x и y, которые невоз-можно различить ни по одному критерию. Предельным случаем отношения неразличимости является отноше-ние тождества. Очевидно, что по мере приближения к горизонту все большее количество объектов находятся в этом отношении; и наоборот, по мере отдаления от горизонта это отношение встречается все реже и реже.Неразличимость более всего интересна в контекстеВо введениях к обеим публикациям Вопенка упо-проблемы непрерывности. Многие столетия представ-минает о феноменологической перестройке теорииление прямой в виде множества точек рассматривалосьмножеств и математики в целом на феноменологиче-как недопустимое - такое представление уничтожаетской основе: «Для этого необходимо сначала подверг-целостность, непрерывность прямой. Это происходитнуть канторовскую теорию множеств феноменологиче-потому, что множество не может быть непрерывным.ской критике и затем, на этой основе, разработать аль-Математика нашла способ обойти это ограничение,тернативную теорию множеств» [4. С. 32] и «Один изсклеив точки в единую прямую, постулируя возмож-возможных путей выхода из кризиса современной ма-ность помещения точки между двумя любыми данны-тематики может состоять в попытке перестроить мате-ми (очевидно различными). Альтернативная теорияматику на феноменологической основе» [5. С. 14].множеств позволяет дать другое представление конти-В текстах обеих рассмотренных работ ни имянуума - как феномена класса, скрывшегося за горизон-Э. Гуссерля, ни феноменология не упоминаются; темтом, элементы которого вступают в отношение нераз-не менее в обеих библиографиях присутствует ссылкаличимости. Это представление является более естест-на его «Die Krisis der europдischen Wissenschaften undвенным для континуума и вместе с тем позволяет мо-die transzendentale Phдnomenologie». Основным мето-делировать его классическое представление. Такимдическим приемом П. Вопенка является смещение точ-образом, классический континуум становится как быки зрения исследователя на точку зрения конечноговторичным по отношению к этому представлению.наблюдателя - субъекта, в противоположность точкеМы установили, что в классической теории множествзрения бога в канторовской теории множеств. Также вГ. Кантора актуальная бесконечность рассматривается сисследованных текстах значительна частота употреб-точки зрения бога - как уже ставшая, совершенная и пол-ления терминов 'феномен' и 'горизонт' в контекстах иностью данная. С другой стороны, в альтернативной тео-смыслах, характерных для феноменологии. Вышеска-рии множеств П. Вопенка естественная бесконечностьзанное позволяет нам заключить, что философская по-представлена с позиции конечного наблюдателя - такжезиция Вопенка близка феноменологии.уже ставшая, но данная не полностью, а лишь в границахРазвитие этой теории в рамках другой философскойподвижного горизонта. Далее мы произведем реконст-концепции, значительно отличной от феноменологиче-рукцию философских предпосылок, на которых, по на-ской, например платонизма (в рамках которого былашему мнению, основано столь значительное различие всоздана канторовская теория множеств), мы считаемпонимании бесконечного у рассматриваемых авторов.невозможным, поскольку многие моменты альтерна-Онтологические установки Г. Кантора возможнотивной теории множеств П. Вопенка - в первую оче-реконструировать по работе [1. С. 63-104], где онредь ее проблематика и методология - выразимы толь-предлагает свой взгляд на проблему природы матема-ко и исключительно в рамках языка феноменологии и втических объектов. Он утверждает, что числа (и поня-иных концепциях являются бессмысленными. Вопрос отия вообще) обладают двумя типами реальности: ин-точном соотношении философской концепции Вопенкатрасубъективной (имманентной) и транссубъективнойи гуссерлевской феноменологии пока остается не про-(транзиентной). Связь двух типов реальности имеетясненным и станет темой отдельного исследования.необходимый характер и имеет «свой собственныйВ настоящей статье мы установили, что в основе кан-корень в единстве всего, к которому мы сами принад-торовской теории множеств и понятия актуальной беско-лежим» [1. С. 79]. Таким образом, из обладания первойнечности лежат платонистические установки. Множествареальностью с необходимостью следует обладание ии бесконечность рассматриваются с точки зрения бога.второй. Отсюда следует, что математика «должна счи-Актуальная бесконечность представлена в виде абсолют-таться единственно лишь с имманентной реально-ной бесконечности. Альтернативная теория множествстью своих понятий и поэтому не обязана вовсе прове-строится на базе гуссерлевской феноменологии. В нейрять также их транзиентную реальность» [1. С. 79],множества и бесконечность рассматриваются с позициичто и является источником ее свободы, ограниченнойконечного наблюдателя. Актуальная бесконечность пред-лишь внутренней непротиворечивостью понятий и со-ставлена в виде естественной бесконечности, ограничен-гласованностью вновь вводимых понятий с ранее вве-ной горизонтом. Хотя в каждой из рассматриваемых тео-денными. Процесс образования новых понятий Г. Кан-рий возможно построение модели другой теории, но нитор описывает как «пробуждение дремлющего в насодна из позиций не выразима полностью языком другойпонятия» [1. С. 104], что полностью совпадает с теори-по причине отсутствия необходимых языковыхей познания - анамнезисом Платона. В результате мы ссредств (предложения, описывающие основные положе-уверенностью можем определить философскую пози-ния объектной теории, не имеют смысла в теории, на язы-цию Кантора как позицию классического платонизма.ке которой происходит построение).ЛИТЕРАТУРА

Скачать электронную версию публикации