The processes of complex loading structural steel for a five-link piecewise broken strain path.pdf Проведение экспериментальных исследований по непропорциональному упругопластическому деформированию материалов при сложном напряженно-деформированном состоянии (НДС) является важной частью создания новых и верификации существующих математических моделей теории пластичности. Адекватность математической модели определяется её способностью описывать эффекты и закономерности поведения конструкционных материалов, наблюдаемые в физических экспериментах. Результаты большого количества экспериментальных исследований при сложном нагружении материалов и варианты математических теории пластичности частично представлены в работах [1-14]. Основные соотношения предлагаемой в работе математической модели, а также методика проведения экспериментальных исследований базируются на векторном представлении деформаций и напряжений А. А. Ильюшина в рамках теории упругопластических процессов [3, 4], где девиаторам напряжений и деформаций ставятся в соответствие векторы напряжений и деформаций формоизменения. При таком подходе история изменения напряжений и деформаций с течением времени представляется соответствующими траекториями в пятимерных векторных (девиаторных) пространствах. В качестве материалов в теории рассматриваются поликристаллические металлы и сплавы, которые перед нагружением (в начальном состоянии) с достаточной точностью подчиняются постулату изотропии Процессы сложного нагружения конструкционной стали 33 А.А. Ильюшина [3], что подтверждается многочисленными экспериментами [1, 2, 15-17]. В соответствии с постулатом изотропии связь между напряжениями и деформациями определяется скалярными и векторными свойствами материалов. Скалярные свойства характеризуют связь между инвариантами девиаторов напряжений и деформаций, а векторные свойства - несоосность девиаторов напряжений, деформаций и их приращений. В настоящей работе представлены данные эксперимента при совместном растяжении и кручении (PA/-опыт) тонкостенного трубчатого образца при его деформировании по сложной плоской траектории, состоящей из пяти прямолинейных участков (звеньев) с различными углами излома. Данная траектория относится к классу многозвенных кусочно-ломаных траекторий и демонстрирует весьма нетривиальную связь между напряжениями и деформациями. Для верификации предлагаемой математической модели теоретические расчёты сравниваются с результатами эксперимента, проведенного авторами на автоматизированном испытательном комплексе на сложное нагружение СН-ЭВМ. Ранее математическая модель была использована для описания процессов деформирования по двузвенной [18] и многозвенной (4 звена) ломаной траектории с одинаковыми углами излома в 135° [14] . 1. Основные положения Тензоры напряжений и деформаций, являющиеся симметричными тензорами второго ранга и характеризующие НДС точки тела, можно разделить на шаровые тензоры и девиаторы [1-4] (1) Tσ = (σj) = σ0(δ,j.) +σ(S;;), Tε = (εj) = ε0(δ^j) + Э(Э), где δ.j - символ Кронекера, (., j = 1, 2, 3); ’0 = →s⅛, ε0 = Аε⅛, σ = Э = ,^:-Э-- (2) - модули шаровых тензоров и девиаторов. Компоненты девиаторов напряжений и деформаций имеют вид (3) Sij = σij ~δijσ0, 'Эij = εij ~δij ε0, а компоненты направляющих тензоров S Э *.j *.j (4) ■' σ ■' Э При простом (пропорциональном) нагружении (S*) = (Э*), и определяющие соотношения с учетом упругости объемной деформации имеют вид [1-4] σ0 = 3^ε0, Sj = Э э^ = 2Gp,Э^, σ = Ф(Э), где K - модуль объемной упругости, Gp - пластический модуль сдвига, Ф(Э) -универсальная единая диаграмма деформирования материалов при простом нагружении. Она определяет только скалярные свойства материалов для произвольного НДС. При сложном нагружении направляющие тензоры (S*) ≠ (Э*) и учет в (5) 34 В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев, В.И. Гультяев, Е.Г. Алексеева определяющих соотношениях только скалярных свойств материалов недостаточен. Тензорное изложение теории пластичности не позволяет отобразить геометрически наглядно векторные свойства материалов в физическом пространстве, поэтому в работах А. А. Ильюшина [3, 4] тензоры Tσ и Tε представляются в виде векторов в линейном совмещенном евклидовом пространстве E6 с ортонормиро-ванным неподвижным базисом {^k} в виде S = S0 + σ, σ = SkIk, ε = ε0 + Э, Э = эк1к (к = 1,2,...,5). (6) Правомерность такого представления подробно рассмотрена в [6]. Здесь S0 = Soi0, ε0 = Э0!0 - векторы напряжений и деформаций в одномерном подпространстве объемного растяжения и сжатия с гидростатической осью, характеризуемой единичным вектором i0; σ, Э - векторы напряжений и деформаций формоизменения в пятимерном девиаторном подпространстве E5. Координаты векторов связаны с компонентами тензоров и девиаторов взаимно-однозначными формулами [1-4] So ^∕3σ0, S1 ^^S11, S2 S22 ^s33, S3 =42s1^, S4 = 42s23, S5 =42S13 , Э3 ^/2Э12, Э4 =42Э23, Э5 =42Э13. Эо ^j3εo, Э1 ^12Э11, Э2 Модули векторов в пятимерном подпространстве E5 равны модулям девиаторов напряжений и деформаций соответственно (8) σ^fsksk ^fsijsi^, Э ^[Экэк ^∣3ij3i;. , Общие определяющие соотношения теории процессов получены в работах [1, 2]. Они отражают связь между векторами напряжений σ и деформаций Э формоизменения с учетом скалярных и векторных свойств материалов. Для случая плоских траекторий определяющие соотношения в скалярной форме имеют вид f dS. d3k Г d σ Sk -- = M1-- + 1--M1cos θ1 (к = 1,3), ds ds V ds / σ (9) ' d θ1 M^ θ -1 + κ1 =--1 sin θ1, , ds σ где M1, dσ - функционалы процесса деформирования, зависящие от параметров ds внутренней геометрии траектории деформации: s - длины дуги траектории деформирования, ее кривизны κ1 и углов излома; θ1 - угол между векторами напряжения и скорости деформации, называемый углом сближения (запаздывания). Этот угол характеризует отклонение σ от касательной к траектории деформирования в каждой ее точке и отражает влияние векторных свойств материала на процесс деформирования. Процессы сложного нагружения конструкционной стали 35 2. Математическая модель В дополнение к определяющим соотношениям (9) в математической модели теории процессов предлагается использовать аппроксимации функционалов [1, 2] σ(s) = Ф(s) + AfP Ω(∆s)-∆σκ; (10) M1 = 2G +(2G - 2G 0 ) fq, (11) где Φ(s) - универсальная функция нагружения Одквиста - Ильюшина для процессов, близких к простым, без учета их истории; ∆s = s - л’к' - приращение длины дуги траектории после ее излома в некоторой точке K; ∆σк = Φ(sζ) - σrn - разница в точках излома между значениями универсальной функции Одквиста - Ильюшина и реальным значением модуля вектора напряжений σк; G - модуль сдвига (модуль упругости второго рода); 2Gp = Φ(s) / s - удвоенный пластический модуль при простом нагружении; индекс «нолик» у пластического модуля сдвига соответствует значению Gp в точке излома траектории; Ω(∆s) = - [γ∆s e-γ∆s + b (1 - e-γ∆s)] (12) - функция, описывающая скалярный нырок напряжений, то есть явление уменьшения модуля вектора напряжений, возникающее после излома траектории при сложной разгрузке и последующем вторичном пластическом деформировании материала; f 1-cosS1; f (^о) 1-cosθ10 (13) J = 2 ; fO = f (^1) = 2 - функция, учитывающая ориентацию вектора напряжений в процессе деформирования и ее значение в точке излома при значении угла сближения θ10 каждого из участков неаналитической траектории; A, b, γ, p, q - параметры аппроксимаций, определяемые по существующей методике [14]. Для аппроксимации универсальной функции упрочнения Одквиста - Ильюшина Φ(s) при простом нагружении использовались выражения [1] σ = Φ(s) = < (1 -e αs), при 0 ≤ s ≤ s’, α ' ’ (14) σm + 2G*(s - s’) + σ* (1 - e β""s s )), при s > s’, где στ = 42∕3στ ; στ - предел текучести при растяжении; s^ - граница участков диаграммы деформирования, разделяющая упругую часть диаграммы и площадку текучести (0 ≤ s ≤ 5т) от участка самоупрочнения материала (s > s’); σ*, G*, α, β -материальные параметры, экспериментально определяемые из опытов на простое нагружение. При заданных начальных условиях для координат Эк (к = 1, 3) вектора деформаций и начальных значениях угла θ0 определяющие соотношения (9) с конкретизированными функционалами (10), (11), приводятся к задаче Коши, где заданными являются траектории вектора деформаций, а траектории вектора напряжений можно получить в результате интегрирования определяющих соотношений. 36 В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев, В.И. Гультяев, Е.Г. Алексеева Для численного решения и определения координат Sk (k = 1, 3) вектора напряжений и угла сближения θ1 использовался метод Рунге - Кутты четвертого порядка точности в программе компьютерной алгебры MathWorks MATLAB. 3. Материалы и методика эксперимента Экспериментальное исследование было выполнено на автоматизированном расчетно-экспериментальном комплексе СН-ЭВМ имени А.А. Ильюшина, реализующем трехпараметрическое воздействие на образец (осевое растяжение-сжатие, кручение и внутреннее давление) в лаборатории кафедры «Сопротивление материалов, теории упругости и пластичности» Тверского государственного технического университета. Процесс нагружения предполагался изотермическим, а деформации - малыми. В качестве образцов для серии экспериментальных исследований были использованы тонкостенные цилиндрические оболочки из стали 45 в состоянии поставки, имеющие в рабочей части: длину l = 110 мм, толщину h = 1 мм и радиус срединной поверхности r = 15.5 мм. Материал образцов считался однородным и начально изотропным. Начальная изотропия материала образцов с достаточной степенью точности была подтверждена в опытах на простое нагружение (растяжение, сжатие и кручение), где после обработке этих диаграмм были приняты следующие значения материальных параметров для стали 45 в аппроксимации (14): σт = 285 МПа, = 0.9∙10-2, 2G = 1.57∙105 МПа, β = 70, α = 900, σ* = 78.8 МПа, 2G* = 1618.9 МПа. Для определения компонент тензоров деформаций εij и напряжений σij в автоматизированном комплексе СН-ЭВМ используются формулы [1, 2] ∆l ε11=l, ∆rrψ ε22 = , ε12 =\\7, ε13 =ε23 = 0, r2l ε33 =-(ε11 + ε22 ) + K ’ ε0 = 3 ^ε11 + ε22 +ε33 t; (15) rM σ11 7, σ22 = ^7, σ12 Y7, σ33 2πrh h 2πr2h (16) σ0 ^(σ11 +σ22 +σ33 t, k ^/1 T ч’ 33(1-2μ) где ∆l и ∆r - приращения l и r; ψ - угол закручивания поперечного сечения; P -осевая сила; q - внутреннее давление; M - крутящий момент; E - модуль продольной упругости; μ - коэффициент Пуассона. При обработке экспериментальных данных принималось условие несжимаемости (ε0 = 0), достаточно точное вне упругой области, так как значение μ с появлением пластических деформаций быстро стремилось к 0.5. Компоненты векторов деформаций и напряжений формоизменения определялись через компоненты тензоров по формулам (7). Для определения угла сближения θ1 использовалось выражение [1] cos^1 =σ∆;[S1(31 -Э10) + ^3(Э3 -Э30)], (17) где 310, 3° - значения Э1, Э3 в начале каждого участка траектории. Процессы сложного нагружения конструкционной стали 37 Программа эксперимента (рис. 1) реализована в девиаторном пространстве деформаций Э1 - Э3 (жесткое нагружение, в котором координаты вектора деформаций изменялись по заданным зависимостям), и представляет плоскую кусочноломаную траекторию, состоящую из пяти прямолинейных участков (звеньев). Рис. 1. Траектория деформирования на плоскости Э1 - Э3: 1 - экспериментальные данные; 2 - модельные данные Fig. 1. Strain path on the plane Э1 - Э3: 1, experimental data and 2, calculated results На первом участке реализовывалось пропорциональное растяжение по компоненте Э1 до значения Э1* = 2%; на втором участке при изломе траектории на угол 56.3° реализовывалось комбинированное растяжение и кручение до значений Э* = 3%, Э* = 1,5%; на третьем участке с изломом на угол 33.7° при Э1* = 3 % = const осуществлялось кручение до значения Э3* = 3%; на четвертом участке при ортогональном изломе траектории и Э3* =3%=const осуществлялось сжатие до значения Э1* =1,3%; на последнем пятом участке с углом излома 121° реализовывалось комбинированное растяжение с кручением до значения компонент Э* ≈ 2,84 и Э* = 0,43%. 4. Результаты физического и численного экспериментов На рис. 2 приведен отклик на реализованную траекторию деформирования в виде траектории нагружения в плоскости S1 - S3 совмещенного девиаторного подпространства E5. На рис. 3 и 4 приведены результаты расчета и экспериментальные данные для диаграмм σ - s и σ - Э, характеризующих скалярные свойства материалов, на рис. 5 - диаграмма θ1 - s, характеризующая векторные свойства материалов. На рис. 6 и 7 приведены локальные диаграммы деформирования растяжения-сжатия по компонентам S1 - Э1 и чистого сдвига по компонентам S3 - Э3. Экспериментальные данные на рис. 1-7 отмечены точками (кружочки); модельные расчетные данные - сплошными кривыми. Рис. 2. Отклик по напряжениям на плоскости S1 - S3: 1 - экспериментальные данные; 2 - модельные данные Fig. 2. Stress response on the plane S1 - S3: 1, experimental data and 2, calculated results Рис. 3. Диаграмма деформирования σ - s: 1 - экспериментальные данные; 2 - σ = Ф (s); 3 - модельные данные Fig. 3. Stress-strain curve σ - s: 1, experimental data, 2, σ = Φ(s), and 3, calculated results Рис. 4. Диаграмма деформирования σ - Э: 1 - экспериментальные данные; 2 - модельные данные Fig. 4. Stress-strain curve σ - Э: 1, experimental data and 2, calculated results Рис. 5. Диаграмма характеристики векторных свойств материала ⅛∣ - s: 1 - экспериментальные данные; 2 - модельные данные Fig. 5. Diagram for characteristics of the vector material properties θ1 - s: 1, experimental data and 2, calculated results В расчете использовались параметры аппроксимаций в формулах (10) - (12), значения которых были определены по методике, предложенной в [14]. Эти значения представлены в таблице. 40 В.Г. Зубчанинов, А.А. Алексеев, В.И. Гультяев, Е.Г. Алексеева № участка Ь Л, МПа γ P q 1 0.28 504.63 250.6 1 0.5 Ъ 1.45 139.53 468.15 1 0.5 4 1.05 305.11 255.88 1.8 0.7 5 0.05 580.84 261.35 1.5 0.5 S1, МПа 300 200 100 0 -100 -200 -300 Э1, % ° 1 - 2 1 -400 Рис. 6. Локальная диаграмма деформирования S1 - Э1: 1 - экспериментальные данные; 2 - модельные данные Fig. 6. Local stress-strain curve S1 - Э1: 1, experimental data and 2, calculated results 1 - экспериментальные данные; 2 - модельные данные Fig. 7. Local stress-strain curve S3 - Э3: 1, experimental data and 2, calculated results Процессы сложного нагружения конструкционной стали 41 В работе [14] отмечается, что начальное отклонение 310 вектора напряжений не всегда равно углу излома траектории θ. Например, для двузвенных ломаных, при реализации на первом звене простого (пропорционального) нагружения, перед точкой излома направление вектора напряжений совпадает с касательной к траектории деформирования с достаточной точностью, и в этом случае θ10 = θ . В случае изломов, реализуемых после предварительного сложного нагружения при численном моделировании это обстоятельство учитывалось в виде начального условия для участка траектории 310 = θ ± 3 к, где - расчетное значение угла сближения в конце предшествующего участка перед изломом траектории. Знак плюс или минус определяется направлением излома по отношению к имеющемуся отклонению вектора напряжений. В реализованной траектории все изломы производились в сторону, противоположную отклонению вектора напряжений, то есть угол 310 увеличивается. В начале третьего участка (второй излом) принималось 30 = 33.7° + 8.9° = 42.6°; в начале четвертого участка (третий излом) принималось 30 = 90° +11.2° = 101.2°; а в начале пятого участка (четвертый излом) -30 = 121° +17.5° = 138.5°. Как видно, принятые для модели данные качественно, и с приемлемой точностью для практических расчетов количественно, соответствуют данным эксперимента по скалярным свойствам и смогли достаточно адекватно описать нырки напряжений (рис. 3 и 4), наблюдаемые после изломов траектории деформирования на различные по величине углы. Также наблюдается (рис. 5) хорошее соответствие расчетной и экспериментальных кривых векторных свойств материала, что говорит о правильности моделирования процесса сложного упругопластического деформирования материала. Заключение Проведенная верификация математической модели теории процессов путём сопоставления результата численного моделирования с данными физического эксперимента при упругопластическом деформировании материала сталь 45 по плоской пятизвенной кусочно-ломаной траектории подтверждает правильность моделирования процесса сложного нагружения материала для данного класса траекторий деформирования. Это показывает достаточную для практических задач точность построенных аппроксимаций функционалов процессов используемой математической модели теории процессов.

Скачать электронную версию публикации