Generalization of natural system parameters: examples, theory and rules.pdf Введение Одним из эффективных способов обобщения результатов наблюдений за природными объектами, широко используемыми, например, в технических науках, является их нормализация, т.е. приведение к относительному (безразмерному) виду: ф = (x - x.)/(x - x.), (1) т 4 mm7 4 max mm'7 4 7 ф = 1 - ф = (x - x )/(x . - X ), (2) т с T 4 max7 4 mm max77 4 7 где х, x их. - текущее, максимальное и минимальное размерные значения ' max min J ' г г наблюдаемого параметра, причем часто xmln « 0; ф и фс - его относительные величины. При переходе к размерным величинам обе формулы дают одинаковые результаты. С помощью (1) или (2) все множество переменных заключается в наглядно представимый интервал 0...1 или 1...0. Это сокращает объем фактических данных, необходимый для установления количественных связей между ними, позволяет корректно сравнивать разнородные величины и делает решение универсальным для большого класса задач. Цель исследования - разработать методику обобщения результатов наблюдений за биологическими и другими системами с использованием формул (1) или (2) и продемонстрировать ее возможности. «При изучении наук примеры полезнее правил» (И. Ньютон [3]). В соответствии с этой максимой доказательная база предлагаемой методики в основном опирается на примеры ее реализации и их анализ. Рассмотрен, главным образом, количественный аспект проблемы. Подбор примеров и расчеты выполнены автором, фактические данные (в размерном виде) взяты из литературы. Для единообразия все относительные параметры обозначены как j, а их специфика отражена нижним символом (jd, jm и т.п). Графический вид связей параметров систем, их аппроксимации и достоверность (коэффициент детерминации) R2 определены с помощью программы Excel. Дихотомическая природа систем Сумма ф + фс = 1, причем каждое слагаемое может увеличиваться (или уменьшаться) только за счет уменьшения (или увеличения) другого. Это типичная дихотомия, воплощающая в себе закон единства и борьбы противоположностей, которая может служить образом (моделью) любой двухкомпонентной системы. В большинстве случаев для установления закономерностей развития любой системы достаточно рассматривать взаимодействие только двух основных, наиболее влиятельных, входящих в нее групп. Например: древесной и травянистой растительности (а не отдельных растений из их состава), леса и степи, суши и моря, тепла и холода, порядка и хаоса, «левых» и «правых» партий и т.п. Геометрической интерпретацией двухкомпонентной системы может служить единичный отрезок, состоящий из двух частей: большей - доминанты ф и меньшей - субдоминанты фс = 1 - ф. Равновесие и максимальная устойчивость такой модели достигаются при делении отрезка в золотом сечении [4], при котором соблюдается пропорция между целым и его частями: 1/ф = ф / (1 - ф). (3) Откуда ф2 + ф - 1 = 0. (4) Положительный корень квадратного уравнения (4) ф = -0,5+(0,25+1)0,5 = = 0,61803... « 0,62, или его обратная величина 1,61803... « 1,62, называется золотым сечением (ЗС). Это наиболее распространенное соотношение компонентов во многих системах мира, обеспечивающее согласованность их взаимодействия (гармонию), устойчивость и длительное существование [4, 1, 2]. Единичный отрезок можно разделить на части и по множеству (q) других сечений. Найдем выражение пропорциональности его частей для общего случая, когда 0 < q < да: Откуда (1 / ф)< = ф / (1 - ф). (5) фЧ+1 + ф - 1 = фП + ф - 1 = 0, (6) а q = ln [ф / (1 - ф)] / ln (1 / ф). (7) При q = 1 выражения (5) и (6) превращаются в (4). Величине n = q +1 логично придать смысл общего количества частиц в системе, а q - количества частиц только в субдоминанте, которое равно числу делений (сечений) отрезка. Значения ф = фп, характеризующие соотношение доминанты и субдоминанты, при разных целых n > 1, - обобщенные золотые сечения, приведены в табл. 1 [1]. Таблица 1. Значения фп при разных целых n n фп n ф„ n ф„ n ф„ n ф„ n ф„ 1 0,5 4 0,7245 8 0,8117 11 0,8444 16 0,8773 20 0,8939 2 0,6180 5 0,7549 9 0,8243 12 0,8526 17 0,8819 23 0,9034 3 0,6823 6 0,7781 10 0,8351 14 0,8662 18 0,8862 27 0,9134 Любая система представляет собой иерархию меньших частиц, последовательно входящих в большие, по типу русских матрешек. Показатель степени n в (6) отражает также мерность системы. При n = 0 системы не существует; это состояние беспорядка, хаоса, когда частицы не связаны друг с другом, существуют сами по себе. При n = 1 формула (6) одномерна; при n = 2 - двухмерна; при n = 3 - трехмерна и т.д. В реальных природных системах взаимодействие частиц очень сложно и лишь приближенно следует теории. Поэтому отношение субдоминанты к доминанте хотя и близко к золотым сечениям, особенно к ф2 = 0,62, но все же отличается от него, соответствуя не целым, а дробным n. Целые n соответствуют правильным геометрическим формам (плоскости, кубу...). Дробные - фракталам с их сложными, ветвящимися формами, типом древесной кроны, системой кровеносных сосудов и т.п. Анализ показывает, что свойствами ОЗС, или фрактально-стью, подобием частиц и целого, обладают все числа от 0 до да, включая, конечно, и дроби. Любую дихотомию, т.е. систему, существующую по закону единства и противостояния ее компонентов, можно трактовать как ОЗС (или фрактал). Причем n = 1 является центром своеобразной симметрии этой последовательности: значения фп в области n < 1 равны (1 - фп) для 1 / n в области n > 1. Например, величины фп для n = 0,5; 0,33 и 0,25 равны соответственно 0,38 = 1 - ф2; 0,32 = 1 - ф3 и 0,28 =n1 - ф4. Пространство между (1 - фп ) и фп на куполообразном графике «жизненного» цикла системы, включающем «молодость» (подъем), «зрелость» и «старость» (спад), - это стадия зрелости, характеризующаяся постоянной и минимальной за весь цикл скоростью деформации, а значит, и большей устойчивостью. Живые системы на этой стадии обладают репродуктивной способностью [5]. С увеличением n растет и количество разделительных линий - границ, являющихся концентраторами напряжений. Эти места (экотоны, береговая и снеговая линии, межсезонья - весна и осень (утро и вечер), границы государств и этносов, фронтир и т.п.) наиболее чувствительны к изменениям внешней среды и в наибольшей степени подвержены деформациям, т.е. это участки системы с наименьшей устойчивостью и большей вероятностью разрушения. О природе устойчивости, прочности и деформации систем Чем меньше частиц (компонентов) в системе, тем меньше границ между ними и больше прочность и устойчивость. Поэтому обратная величина числа частиц в системе 1 / n = Z, изменяющаяся от 1 до 0, может служить мерой устойчивости системы. Устойчивости или упорядоченности противостоит неустойчивость, или неупорядоченность, хаос: Х = 1 - Z. Очевидно, что максимум устойчивости Z = 1 и отсутствие хаоса Х = 0 достигаются при n = 1, но в этом случае в субсистеме нет субъектов самоорганизации (гармонизации) - отдельных, свободных частиц. В результате этого утрачивается некая "квазиживая" сила, обеспечивающая способность системы к самоорганизации, под которой понимается согласованное (гармоническое) взаимодействие ее частиц, включающее самовосстановление параметров системы после неразрушительной деформации [6, 5]. В механике аналогом этой силы является упругость, характеризующаяся модулем Юнга, равным напряжению, при котором линейный размер тела увеличивается вдвое [7]. Т.е. для развития нужна определенная доля хаоса, оптимум достигается при Х = Z = 0,5. Обнаружена связь ОЗС с относительной долговечностью твердых тел, в частности мерзлых грунтов и льда [6, 5], а посредством нее с глобальными факторами: (t, / t)jlm = £ = (Р / Рм), (8) где Р - давление на мерзлое тело; Рм - максимальное давление, которое это тело может выдержать в течение элементарного времени; тэ - минимальный (элементарный) отрезок времени, принимаемый в данном опыте (в пределе тэ « 10-13 с -период тепловых колебаний атома); t - долговечность (время до разрушения); jm = 0,083 - предельная деформация, равная относительному уменьшению объема льда при плавлении, совпадающая с частотой месячных оборотов Земли в годовом цикле (1/12 = 0,083; 30°/360° = 0,083). Таблица 2. Значения фп, D = ln(t, / t) и £ = (t, / t)0 083 = (Р/Рм) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ф n 0,5 0,618 0,682 0,724 0,755 0,778 0,796 0,812 0,824 0,835 0,844 t,/t 4380 365 91 46 30 23 18 15 13 11 10 D 8,38 5,9 4,51 3,83 3,4 3,14 2,89 2,71 2,56 2,4 2,3 £ 0,497 0,613 0,687 0,728 0,753 0,771 0,79 0,800 0,810 0,820 0,846 В табл. 2 приведены: значения первых одиннадцати ОЗС, относительной долговечности t, / t и прочности (t, / t) 0,083 = £, рассчитанные по формуле (8). Величины t, / t представлены последовательностью, первый член которой равен 4380, второй в 12 раз меньше -365, а начиная с третьего: 365 / 4,1 = 91; 365 / 4,2 = = 46; 365 / 4,3 = 30; 365 / 4,4 = 23 и т.д. Ее инвариантом является четверть орбиты вращательных циклов Земли, примерно 90°, совпадающая с длительностью основных фаз вращения (весна, лето, осень, зима или утро, день, вечер, ночь). Эти числа совпадают с обыденными календарными отрезками года (полугодием, кварталом, месяцем и т.п.). Например, если принять t, = 1 час, то эти числа, до 6-го включительно, примерно соответствуют количеству часов в полугодии, в полумесяце, в полунеделе, в четверти недели и в сутках. При t, = 1 сутки эти же числа (4380, 365, 91...) соответствуют количеству суток: в 12 (11) годах (это примерно цикл солнечной активности Вольфа), в году, в квартале, в половине квартала, в месяце и в четверти квартала. Как видно из табл. 2, разница между величинами ОЗС и £ составляет сотые доли процента. Так как границы между частицами тела являются концентраторами напряжений и вакансиями разрушения, то увеличение их числа (увеличение n) сопровождается уменьшением прочности Р /Рм и долговечности t, /t, как это и следует из табл. 2. Таким образом, странное, на первый взгляд, совпадение ОЗС с относительной прочностью мерзлого тела £ = (Р / Рм) получает вполне материалистическое объяснение. Проявление ОЗС при оценке состояний Проблеме ОЗС посвящена обширная литература, сводка которой с многочисленными примерами соответствия параметров различных систем закономерностям «золотых» сечений имеется, например, в работах [1, 2, 8-11]. Причем везде речь идет о соотношении параметров, описываемых простыми полиномами (4) или, реже, (6). Рассматриваются только отдельные, обычно конечные (предельные), состояния, а не весь процесс развития. Приведем некоторые примеры такого рода, касающиеся биологических систем и климата. 1. Вода конденсируется из пара при его остывании ниже 100°С и переходит в лед при 0°С. «Путь» до достижения минимальной теплоемкости - плюс 37оС (эта температура близка к температуре тела всех высших животных), при которой активность метаболизма максимальна, составляет 100 - 37 = 63°. Соотношения 63 / 100 = 0,63 и 37 / 100 = 0,37 примерно равны константам ЗС. 2. При высоких давлениях (до 220 МПа) обычная вода не замерзает до минус 22°С [5]. Расстояние на температурной шкале между температурами максимальной (37°) и минимальной (-22°) активности равно 59. Температура 0° делит это расстояние на две части: 22 / 59 = 0,37 и 37 / 59 = 0,63. 3. На рис. 1 показана зависимость фитопродукции Pr от радиационного баланса В и индекса сухости J [5]. Величина J = B / UL (U - годовая сумма осадков; L = 0,6 ккал/см3 - скрытая теплота парообразования), выражает соотношение тепла и влаги, поступающих из атмосферы на поверхность Земли. При всех В максимум Pr приходится не на J = 1, при котором достигается равновесие между этими параметрами, а на J и 0,62. Дело в том, что для органической жизни значимо не количество осадков, а валовое увлажнение территории (w), равное сумме испарения g и подземного стока йп. Эта величина близка к сумме осадков за теплый период года ит, а не за весь год [12]. Например, в Западной Сибири от тундры до средней тайги включительно ит и 115 см, а w и 105 см; ит примерно в 1,4-1,6 раза меньше годовой суммы осадков U. Если в выражение J вместо U подставить ит, то и получится J = 1. Рис. 1. Зависимость фитопродукции Рг, т/(га • год) от радиационного баланса В (ккал/см2 • год) и индекса сухости J (доли единицы) Проявление ОЗС в природных процессах Этот вариант проявления ОЗС касается описания совокупностей состояний (процессов) с монотонно изменяющимися параметрами, когда константы ОЗС - ф и фс - принимают значения коэффициентов - множителей при А и В в уравнении (6): j = A ■ j 2 + B ■ J, ~ A ■ j 2 + (1-А) ■ j Jv ^х x' Jx 1 s jx где jji и jji - относительные значения размерных величин функции у и аргумента х, определяемые по формулам, аналогичным (1) или (2), в которых вместо ф фигурируют jji или j^ Для ускоряющихся процессов, развивающихся по вогнутой кривой, А « - фп; для затухающих, развивающихся по выпуклой кривой, - А « фп; в обоих случаях В « 1 - А. В предельном состоянии, когда jji = jji = 1, формула (9) превращается в формулу золотого сечения (4). Другими авторами этот вариант проявления ОЗС не рассматривался. Продемонстрируем его выполнение, правила использования и аналитические возможности. 1. Годовой цикл температуры воздуха в умеренном и холодном поясах включает в себя теплый и холодный полуциклы, разделенные весенним и осенним нулями (°С). Таблица 3. Значения t, t, j jt в Тобольске (слева) и Нумто (курсив, справа) на подъеме (верх таблицы) и спаде (низ) в теплое время года т 3,75 4 5 6 7 4,95 5 6 7 t 0 1,8 9,1 15,8 18 0 0,2 10,5 15,5 jT 0 0,08 0,38 0,69 1 0 0,02 0,51 1 jt 0 0,07 0,51 0,88 1 0 0,01 0,68 1 т 7 8 9 10 10,3 7 8 9 9,8 t 18 15,4 9,5 0,8 0 15,5 12,4 6,4 0 jT 0 0,30 0,61 0,91 1 0 0,36 0,71 1 0 0,14 0,47 0,91 1 0 0,20 0,59 1 В табл. 3 приведены значения размерных t и безразмерных jt среднемесячных температур воздуха в первой половине теплого полуцикла (на подъеме) и в его второй половине (спаде), а также времени, размерного т (месяцы от начала года) и безразмерного jT на юге (Тобольск) и севере (п. Нумто) Тюменской области по данным метеослужбы. Безразмерные параметры вычислены по формуле (1). Отметим, что теплый период (около 6 месяцев в Нумто и 7,5 месяцев в Тобольске) соотносится с длительностью года (6 / 12 = 0,5 и 7,5 / 12 « 0,62) как 1-й и 2-й члены ОЗС (отсюда и большая жизненная активность в Тобольске). По данным табл. 3 построены графики зависимости jt от jT и найдены их аппроксимации (рис. 2), подтверждающие близость коэффициентов А и В к константам ЗС. 2. На рис. 3 приведены примеры зависимости относительного диаметра jd от относительного возраста jT = т / ттах (т - текущее время, годы; ттах - возраст дерева) в двух возможных формах кривой этой зависимости: вогнутой и выпуклой. Первая представлена теневыносливой пихтой на Аляске, вторая - теплолюбивой сосной на севере (п. Нумто) и юге (п. Караганда) Тюменской области [14]. Величины (9) безразмерного диаметра отложены на оси ординат, безразмерного времени - на оси абсцисс, размерного времени - на верхней горизонтальной оси. Начало отсчета на графиках А, Б и В - 1578, 1579 и 1770 гг. соответственно. Кривыми показан многолетний ход jd по наблюдениям - толстые линии, и формулы его аппроксимации - тонкие линии, кружки - расчет по формуле (9) при А = 0,62 для вогнутой кривой и А = -0,62 для выпуклой. Хотя численные коэффициенты в формулах на рис. 4 несколько отличаются от констант ЗС, на величину jd это практически не влияет. Рис. 2. Зависимость jt от^, в Тобольске (1) и Нумто (2) на подъеме (а) и спаде (b) в теплое время года Jd 0,75 0,5 0,25 о 93 185 297 Т 0 105 210 315 т 0 35 70 105 T jd = 4-10б С 2+ 0,001Т У R2= 0,993 Jb jd=-4-10"6X2+0,004X R2= 0,993 jd=-10"sX2+ 0,0071 R2= 0,975 А jt Б y^ В У // jd= 0,64 jx2 +0,4j* ^/r^ R2= 0,996 У jd = -0,73jx2+1,72k / R2= 0,996 jf/ jd = -0,7ljx2+1.65jx Д R2 = 0,973 0 0^25 0^5 0,75 jx 0,25 0,5 0,75 jx Го 0,25 0,5 0,75 jx Рис. 3. Зависимость jd от jt для пихты на Аляске (А), сосны в Нумто (Б) и Караганде (В) Расчеты показали, что полиномиальную формулу (9) c приемлемой погрешностью можно заменить степенной: jy = J/ (10) с показателем степени г, равным фп для выпуклых кривых и 1 + фп - для вогнутых. Степенные формулы сводятся к линейным общего вида У' = г X', где У' = ln(y), X' = ln(x). Поэтому, несмотря на меньшую точность, по сравнению с полиномиальными, они удобней для расчетов и экономичней, поскольку для определения неизвестного г нужно знать всего одну любую пару соответственных размерных значений у и х, тогда г = ln(y) / ln(x). Кроме того, в биологических системах связи между компонентами чаще всего описываются именно степенными функциями. Особенно хорошо сходятся результаты счета по формулам (9) и (10) у вогнутых кривых. Это видно из табл. 4, в которой приведены результаты вычислений по этим формулам, представленным нормализованными функциями j (j ); макси- У x мальная погрешность степенного приближения < 10%. У выпуклых кривых разница между расчетами по полиномиальным и степенным формулам больше, при п = 7 (точка максимальной разницы) она равна 22%. Таблица 4. Зависимость j от jx в полиномиальных (п) и степенных (с) формулах при n, равных 0; 2; 7 и w для вогнутых кривых Jx Jy.n (0) Jy.c (0) Jy.n (2) Jyc (2) Jy.n (7) Jyc (7) Jy.n (w) Jy.c (w) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,2 0,2 0,2 0,1 0,07 0,07 0,06 0,04 0,04 0,4 0,4 0,4 0,25 0,23 0,21 0,19 0,16 0,16 0,6 0,6 0,6 0,45 0,44 0,41 0,4 0,36 0,36 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,67 0,67 0,64 0,64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 В то же время выражения выпуклых кривых - это обратные выражения вогнутых. И ничто не препятствует выпуклую кривую превратить в вогнутую, поменяв местами оси x и y (см. ниже пример 5). 3. В [15] установлен количественный вид зависимости массы (m) древесной зелени (хвои и неодеревеневших побегов) и отдельно хвои сосны (Pinus Sylvestris) от ее диаметра (d) в северной и средней тайге на территории Коми. Это весьма репрезентативное исследование, базирующееся на обобщении сотен определений характеристик деревьев. Для выражения результатов в размерном виде его авторам понадобилось более десятка формул. Предлагаемый здесь метод позволяет обобщить весь этот обширный материал одной формулой: (9) или (10). Максимальные и минимальные значения размерных параметров [15], необходимые для расчетов по формуле (1), сведены в табл. 5. ттш, т Таблица 5. Максимальные и минимальные величины диаметра ствола - d , d . (см), массы зелени (з) и хвои (х) сосны n (кг/дерево) Подзона d . min m . min d (з) max v ' m (з) maxv ' d (х) maxv ' m (х) maxv ' Северная тайга 0 0 40 91 40 63 Средняя тайга 0 0 40 76 40 46 На рис. 4 показаны построенные по этим данным графики зависимости безразмерной массы древесной зелени и хвои j = m / m сосны от безразмерного диа в северной и средней тайге и найдены их аппроксимации. метра стволаj Рис. 4. Графики и формулы зависимости j от j. Экспериментальные точки на рис. 4 при всех вариантах условий почти сливаются. Численные коэффициенты формул близки к константам ЗС. Графики на рис. 4 или его формулы можно использовать для приближенного определения обобщенной массы древесной зелени хвойных деревьев в пределах всей таежной зоны. Порода дерева и условия произрастания отражаются в величинах соответственных пар d и m r max max. 4. В [16] исследована зависимость продукции (Рг) сосняка от возраста (т) в Приангарье. Размерные максимумы этих параметров: Рг = 8,6 %, т = 115 лет, минимумы: Рг = 0,8 %, т = 15 лет. Безразмерные значения jT и jj)r на рис. 5, а рассчитаны по формуле (1), а на рис. 5, б - по формуле (2). Рис. 5. Графики и формулы зависимости jpr от j При этом выпуклая кривая на рис. 5, а превращается в вогнутую, при описании которой полиномиальная и степенная формулы дают близкие результаты. В приведенных примерах численные коэффициенты аппроксимаций близки к константам ЗС. Но в общем это не обязательно. Каждая система представляет собой сложную, многоуровневую иерархию взаимодействующих частиц и каждому уровню n соответствует своя идеальная пропорция, свое золотое сечение фп (см. примеры 5 и 6). 5. На рис. 6 дан график зависимости относительного объема ствола jv распространенных деревьев (сосны, ели, березы и осины) от относительного диаметра jd в Ленинградской области. Размерные величины этих показателей взяты из [10]. Предварительно установлено, что подобные графики для деревьев каждой из этих пород практически сливаются. Графики аппроксимированы формулами (9) и (10). Как видим, они совпадают. jfi j6=1.2lj;-0,226 jB R2 =0,996 -Ф □ 5 - 0 Рис. 6. Зависимость^ отjd Коэффициенты полиномиальной формулы в сумме равны 0,962 + 0,034 « 1, степенной - г = А + 1 = 1,962, т.е. являются константами ОЗС. 6. В [17] исследована зависимость заболеваний деменцией (болезнь Альцгей-мера) пожилых людей 67-92 лет от возраста. Количество заболевших менялось В этом и других примерах фигурируют безразмерные (абстрактные) числа, лишенные всякой индивидуальности, и ничто не запрещает их сравнивать и производить с ними математические действия. Тем не менее искать реальные связи между генетически разными системами следует только при условии, что таковые обнаружены на качественном (физическом) уровне, у их размерных аналогов. Иначе получается абсурд. Так, из формального сравнения графиков на рис. 3 и 7, ординаты которых в обоих случаях зависят от возраста, и вполне законного преобразования их формул можно получить выражение связи заболеваний деменцией с толщиной древесных колец, что маловероятно. Другое дело, например, сопоставление климатических и дендрохронологических характеристик, связь между размерными показателями которых доказана и лежит в основе реконструкции климатов прошлого [18]. При выявлении связей параметров одной системы подобных сложностей не возникает. Заключение Формулы взаимосвязей параметров природных систем, выраженных в относительных величинах, в большинстве случаев имеют полиномиальный или степенной вид, а их численные коэффициенты равны константам ОЗС. Таким образом, можно говорить об универсальности предлагаемых моделей и достаточно общих закономерностях устойчивых взаимосвязей параметров природных систем, проявляющихся через ОЗС. Приведенные примеры показывают, что предлагаемая методика является мощным мультидисциплинарным инструментом для обобщения и выявления общего в разных природных системах.

Скачать электронную версию публикации