Сalculation of ruin probability in discrete risk model with dependent insurance and financial risks.pdf В последнее десятилетие среди ведущих специалистов по теории риска, финансовой математике и теории массового обслуживания (С. Асмуссен [1], В. Уитт [2], В.В. Калашников [3], А.А. Новиков [4]) ведутся дискуссии о точности асимптотических формул для моделей с тяжелыми хвостами распределений. Многочисленные вычислительные эксперименты показывают, что асимптотические формулы достигают высокой точности при больших значениях аргумента. В свою очередь, известные численные методы (например, метод Монте-Карло) хорошо работают при сравнительно небольших значениях аргумента. В результате возникают области аргументов, в которых известные численные методы уже не работают из-за трудоемкости, а асимптотические формулы еще не работают. Для вычисления в этих областях А.А. Новиков предложил аппроксимировать законы распределений с тяжелыми хвостами смесью экспоненциальных распределений. При реализации этого предложения возникла необходимость вычисления вероятности выхода авторегрессионной последовательности из некоторой области за конечное число шагов. А.А. Новиков решал данную задачу с помощью теории мартингалов, но этот метод работает в достаточно узких предположениях. В настоящей работе удалось снять эти ограничения за счет проведения прямых вычислений с помощью рекуррентных соотношений. В статье исследована дискретная модель риска с тяжелым хвостом распределения ущербов и зависимыми финансовым и страховым рисками. Предполагалось, что инфляционный фактор представим цепью Маркова общего вида с конечным числом значений, а распределение страхового ущерба определяется этими значениями. Такое усложнение модели риска было инициировано А.А. Новиковым и ранее не попадало в поле зрение специалистов по теории риска. Однако сейчас такая зависимость становится существенной в связи с различными антропогенными и природными катастрофами, на размеры которых влияют финансовые факторы. Продолжая идею работ [5-7], мы строим рекуррентный алгоритм вычисления вероятности разорения рассмотренной модели риска за конечное число шагов на основе аппроксимации распределения ущербов суммой показательных распределений и доказательства теорем непрерывности, обосновывающих такой подход. Для этого разработаны специальные методы преобразования интегральных выражений, решена задача о малых знаменателях и построена экономичная процедура перечисления векторов с фиксированной суммой неотрицательных целочисленных компонент. На основе построенного алгоритма проведен вычислительный эксперимент, который показал его преимущества перед методом Монте-Карло при близости результатов вычислений. Наряду с точными формулами вычисления вероятности разорения получены асимптотические формулы в случае субэкспоненциально распределенного страхового риска, которые сравнивались с результатами прямых вычислений. 1. Точные формулы Рассмотрим дискретную модель риска (с шагом в один год) с начальным капиталом x > 0 : Un = Un_lBn _Xn, n = 1,2,..., Uо = x . (1) В работе [8] Xn = Zn _ a называется страховым риском, а B,-1 - финансовым риском. Здесь a > 0 -доход, а Zn > 0 - страховой ущерб на шаге n. Введем в рассмотрение цепь Маркова qn , n > 0 , с матрицей переходных вероятностей II р II и начальным состоянием q0 = s, Q = {1,...,m). Предполо- \rsq\\s,qeQ 1 ' жим, что инфляционный фактор Bn определяется цепью Маркова qn с помощью равенства B- = rq , n = 1,2,..., в котором детерминированные rq > 1, q e Q . Определим время разорения т(х,s) = inf {n = 1,2,...: Un < L| U0 = x, qo = s) (2) и вероятность разорения на конечном числе шагов у (х, s) = P (т(х, s) < n). Пусть независимые одинаково распределенные случайные величины wn , n > 0, не зависят от цепи Маркова qn , n > 0, и имеют равномерное распределение на отрезке [0,1]. Обозначим Gq , Gq (_a) = 0 , q е Q , функцию распределения страхового риска Xn и определим зависимость qn и Xn соотношением Xn = G- (wn ). По аналогии с [9, лемма 2.1] было доказано утверждение. Теорема 1. При х > L справедливы формулы: _ Xrq_ L У1 (x s)=£ PsqGq (Xrq L) , Vn+1 (x, s) = у (x, s)+£ рщ J Уп (_Z, q)dGq (z) n > (3) qeQ qeQ _x Введем в рассмотрение m-мерные векторы 1q = (61^,...,6mq) , где 5j - символ Кронекера и R = (П - rm ), K = (km ), ki e{0,1,"J , i = l - m. Обозначим RK = П rk, K = £ kq. qeQ qeQ Пусть для вещественных aiq, 1 < i < l, q e Q, £ aiq = 1, qeQ Gq (t )= £ aq exp(- X,(t + a)), t > _a. (4) 1 £ i=1 Теорема 2. Предположим, что rqL _ L + a > 0, q e Q, (5) RK X;, i > 1, j < l, |K| > 1. (6) Тогда существуют вещественные числа B^^j n, 1 < i < l, s e Q , 1 < |k| < n , такие, что для x > L У n (x, s)= £ £ B^n exp (-RK X i (x _ L)), (7) 1 0, 0 0 p (*n (t, ' ) , *n (t, ' )) < n max p (Fq (t) , Gq (t)) . qeQ Теорема 2 и теорема Бернштейна позволяют построить приближенный алгоритм вычисления вероятности разорения. Но линейная по n верхняя оценка в (12) неудобна для этой цели. Поэтому мы переформулируем теорему 4 в метрике L1. C1, s = 1 ^ Рщ 1 1 - = 2 - < 1> - = max- < 1- J " r q Теорема 5. Для n > 0 max Ц (Gq (t), Fq (t)) L(n((,q),Wn((,q)) 0 , d - вещественные числа и S (x), S (x), R (x) ф. р. на действительной оси. Тогда нетрудно получить («*» означает свертку функций распределения): L (( * R) (x ), (S * R )(x ))< L1 (( (x ), S (x )), Lx (( (rx + f), S (rx + f )) = L (S( ^'S ( X)). (12) Следовательно, из теоремы 1 имеем L (Wn+1 (x, s) , w„+1 (x, s)) < L + S и индукция по n приводит к формуле (11). Теорема доказана. Легко получить, что при выполнении условия да_ max j Gq (t)dt = C < да (13) qaQ 0 существует невозрастающая функция y(t, q) : w(t, q) - 0, t - да, y(L, q) = 1 и lim Wn (t,q) = w(t,q), t - да, q a Q. n-да Теорема 6. Если выполняется условие (13), то L (W n (t, q), w(t, q)) 0. (14) (с 1) с Доказательство. Для n = 1 формула (14) верна. Докажем формулу (14), используя индукцию по n. Предположим, что (16) имеет место для некоторого n > 0. Используя теорему 1 и соотношение (12), нетрудно получить L1 ((, s Ж W n+1 (t, S ))< Z PsqL1 (w(rq t, q ), W n (rq t, q )) = 1 Z PsqL1 (w(t, q ), W n (^ q )). qaQ C qaQ Теорема доказана. Замечание. Обозначим n (s) = inf (n : L1 (W1, w) < s). Тогда из теоремы 6 получим неравенство ( )< 2 , lnL1 (VbW)-lns ( ) n (s) < 2 +------= n1 (s), V ' ln R U ' из которого устанавливаем, что если L1 (уn(s), w) < s, то достаточно вычислить функции yn, 1 < n < n1 (s) . Следующее утверждение является следствием результатов работ [9, 10]. d qaQ rq c qaQ rq Обозначим Теорема 7. Пусть ф. р. F(t) сосредоточена на [0, да) и имеет конечное среднее и непрерывную положительную плотность. Тогда для любого s > 0 можно построить ф. р. R(), сосредоточенную на _r [0, да) с хвостом R (t) = j at exp (-btt), t > 0, ~^>

Скачать электронную версию публикации