Representations of joint probability densities for interest rate stochasticprocesses .pdf Начиная с Башелье [1], использовавшего в начале прошлого века процесс случайного блуждания для описания динамики стоимости акций, при решении стохастических задач экономики и финансового анализа для описания случайно изменяющихся финансовых и экономических показателей используются случайные процессы броуновского движения. Нобелевские лауреаты Самюэльсон [2] и Мер-тон [3, 4] впервые предложили динамическую модель эволюции цен в непрерывном времени, используя для описания динамики стохастические дифференциальные уравнения Ито. После публикации их пионерских статей за период продолжительностью около 30 лет непрерывно-временные методы стали неотъемлемой частью финансовой экономики. В некоторых основных областях финансов (например, таких как описание цены актива, определение стоимости финансовых производных, теория временной структуры, выбор оптимального портфеля) непрерывно-временные методы оказались самым удобным способом проведения исследований. Непрерывно-временной подход в этих областях стимулировал появление разнообразных моделей, допускающих получение аналитических решений. Чаще всего в стохастическом финансовом анализе используются диффузионные процессы, являющиеся важным классом марковских процессов. Дело в том, что для процессов этого типа можно выписать уравнение для переходной плотности вероятностей, знание которой в явном виде фактически решает многие проблемы, стоящие перед финансовым аналитиком. Так, пусть динамика рассматриваемого финансового показателя описывается стохастическим дифференциальным уравнениемdх(t) = |a(t, х(0) dt + a(t, х(0) dW(t),где (i(t, х) и a2(t, х) - так называемые функции дрейфа и диффузии, а W(t) - случайный винеровский процесс, являющийся непрерывно-временным аналогом броуновского движения. Тогда переходная плотность вероятностей f (х, t | у, s), у = х^), s < t, процесса х(0 удовлетворяет уравнению Фоккера - Планка (прямому уравнению Колмогорова) f = -dL [^(t, х) f ] +1 -|1 [a2 (t, x) f ]dt 3x2 их2с начальным условием f (х, s | у, s) = 5(х - у). Такое уравнение относится к классу уравнений с частными производными второго порядка параболического типа и имеет явное аналитическое решение в очень редких случаях. Чаще удается получить такие решения для однородных по времени случайных процессов, для которых функции дрейфа и диффузии явно не зависят от времени. В этом случае применение метода разделения переменных позволяет свести задачу решения уравнения Фоккера - Планка к решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений, к так называемой задаче Штурма - Лиувилля [5], когда решение краевой задачи представляется в виде разложения по собственным функциям, соответствующим требованиям выполнения условий на границах области изменения случайного процесса. Когда однородный процесс допускает стационарное решение, условиями на границах области являются равенства нулю потоков вероятности через эти границы. В этом случае, если множество собственных чисел является счетным, решение представляется в виде ряда по собственным функциям, которые обычно выбираются в виде подходящих ортогональных полиномов, не имеющих какой либо финансовой или вероятностной интерпретации [6].Вместе с тем можно решить задачу представления решения уравнения Фокке-ра - Планка в виде разложения в ряд по функциям, имеющим вид стационарных плотностей, в которых в качестве собственных чисел выступают параметры плотности (чаще всего параметры формы), а сами плотности играют роль линейно независимых функций разложения. Такое представление переходной (а также совместной) плотности, по сути, является смесью плотностей, в которой в качестве смешивающей случайной величины для переходной плотности выступает пуас-соновская случайная величина, а для совместной плотности - случайная величина с отрицательным биномиальным распределением. Ниже будет рассмотрена такая проблема представления решения уравнения Фоккера - Планка для некоторых случайных процессов, порождаемых известными из литературы моделями процессов процентных ставок.1. Модель Кокса - Ингерсолла - РоссаВ настоящее время наиболее популярной моделью процентной ставки является модель Кокса - Ингерсолла - Росса (CIR) [7], когда процентная ставка r(t) следует процессуdr(t) = к (Е - r(t)) dt + V2kVr(t)/E dW(t). (1)Процесс процентной ставки r(t), порождаемый уравнением (1), принимает только неотрицательные значения, причем нулевой уровень процесса r(t) с вероятностью 1 недостижим, если выполняется соответствующее условие Феллера [8]: > 1. Уравнение (1) допускает стационарный режим со средним значением Е и дисперсией V. При этом маргинальной плотностью является гамма-плотность.Введем обозначения:cqxq-1 -g^lq, с) = e cx - плотность вероятностей гамма-распределения с пара-r(q)метром формы q и параметром масштаба с, х > 0; если Х~g(х|q, с), тогда E[X] = q/с, Var[X] = q/с2;X jр(ЦХ) = -e - пуассоновское распределение вероятностей с параметром j!X > 0, j = 0, 1, 2, ...; если J ~ р(/|Х), тогда E[J] = Var[J = X;b(j | q, p) = r(q + j) pj (1 -p)q - отрицательное биномиальное распределение j! r(q)вероятностей с параметрами q > 0, p e (0,1), j = 0, 1, 2, если J~ b(/'|q, p), тогда E[J] = qp/(1 - p), Var[J] = qp/(1 - p)2;cq -c/ xA(х|q, с) = e~c x - плотность вероятностей для х > 0 с параметрамиr(q) xq, с; еслиХ~ h^q, с), тогда E[X] = d(q - 1), Var[X] = o1/(q -1)2(q -2).Ниже для краткости случайные величины и их значения обозначаются одинаковыми символами. Конец утверждения отмечается символом ■.Утверждение 1 [9]. Двухмерная плотность вероятностей fr, t; R, s) значений процентной ставки r(t), определяемой уравнением (1), r(t) = r, r(s) = R, s < t, имеет представление для r > 0, R > 0:f (r, t; R, s) = £ b(j | q, e~k(t-s))g(r | q + j, c)g(R ^ + j, c); (2)j=0условная (переходная) плотность вероятностей f (r, t|r(s) = R), s < t, представима в виде00 j q+j q+ j-1 адf(r, t | R, s) = £ -ye~U-- e-cr = £ p(j\i)g(r\q + j, c), r > 0, (3)ER E E2где обозначено u =--, c =--, q = -.V(ek(t-s) -1)V(1 - e~k(t-s)^ VПри тех же условиях маргинальная плотность вероятностей f (r, t) является плотностью распределения гамма с параметром формы q и параметром масштаба с 0 = lim c = E/V :(t-s ) ->cog(r|q, o) = cT^e-c0r, r > 0. (4) r(q)Начальные моменты стационарного распределения процесса (1) любого порядка i существуют и вычисляются по формулеEl ] J V Y T(i + 722/ V), l E J r(E 2/ V)откуда следует, что стационарное математическое ожидание и стационарная дисперсия процесса r(t) равны соответственно Е и V. Коэффициент корреляции p(t - s) значений процесса r(t) и r(s), s < t, вычисляется по формулеp(t - s) = ехр!-^ - s)]. ■ Как видно из (4), правый хвост гамма-плотности убывает экспоненциально, и в этом смысле такое распределение не подтверждается рыночными наблюдениями, так как реальные плотности имеют более тяжелый правый хвост.2. Модель Ана - ГаоАльтернативой модели CIR является модель Ана - Гао [10], которая определяет процесс процентной ставки R(t) стохастическим дифференциальным уравнениемdR(t) = k (Е + V/Е - R(t))R(t) dt + V 2kVR3(t)/EdW(t). (5)В этом случае стационарный режим также существует, а маргинальная стационарная плотность обладает более тяжелым хвостом, который убывает пропорционально величине R~(3+E lV), то есть относится к паретовскому типу, что уже ближе к свойствам реальных данных. Заметим, что процессы (1) и (5) связаны функциональным соотношением R(t) = 1/r(t), если выполняется условие Феллера Е2№ > 1.Утверждение 2 [11]. Для процесса R(t), порождаемого уравнением (5), имеем следующие результаты.Стационарная маргинальная плотность вероятностей процесса R(t) определяется функциейcq -cx V 1Ъ ' r(q)xq+1 ' 'причем параметры этой плотности задаются в виде с = E(1 + E2/V), q = 2 + E2/V. Начальные моменты стационарного распределения процесса (5) существуют только для порядков i < (2 + E2/V) и вычисляются по формулеE[ R ] = E1+-VГ(2 - i + /V) Г(2 + E2/ V) 'Отсюда следует, что стационарное математическое ожидание и стационарная дисперсия процесса R(t) равны соответственно ЕЩ] = Е и Var[R] =V.Условная плотность вероятностей f (r, t | R, s), где обозначено r = R(t), R = R(s), s < t, представима в виде смеси распределенийаэ jq+ j - q-j-1 адf (r, t | R, s) = £-e-u-- e~c / r =£ p( j\u)h(r\q + j, c), r > 0, (6)j=0 j! (q+j) j=0е pE (1 + E2/ V) E (1 + E2/ V) 2 + E2-k (e+ V / E)(t - s)где и =, c =, q = 2 +, p = e K A .R(1-p)(1-p) VСовместная плотность вероятностей f (r, t; R, s), для r = R(t), R = R(s), s < t, представима в виде смеси распределенийf (r, t; R, s) = £ b( j | q, p)h(r ^ + j, c)h(R ^ + j, c).(7)j=0Значения параметров q, с, p в (7) определены так же, как для формулы (6).Коэффициент корреляции случайных величин R(t) и R(s) определяется по формулеCorr[R(t), R(s)] = £b(j ^ -2, p)^^-. ■j=1q + j -1Отметим интересный факт, что при формальной подстановке q = 1/2 маргинальная плотность вероятностей h(x | q, с) процесса R(t) превращается в плотность вероятностей распределения Леви - Смирнова [12], относящегося к классу устойчивых:h(x | с) = -pß^jje-/x, х > 0. л/л xОднако в контексте рассматриваемого случайного процесса R(t) параметр q > 2, а при выполнении условия Феллера даже q > 3, так что связь процесса (5) с процессом Леви требует особого рассмотрения.3. Процесс БесселяУкажем также на еще один диффузионный процесс, который также обсуждается в литературе по финансовой математике - это процесс Бесселя X(t) порядка а > 1 [12], описываемый уравнениемdX(t) = (а - 1) [2X(t)]-1dt + dW(t), t > 0. (8)Этот процесс также порождает неотрицательные значения X(t) и мог бы использоваться в качестве модели процентной ставки. Однако такая модель отличается от предыдущих моделей тем, что процесс (8) не имеет стационарного режима. Поэтому ее применение ограничено. Нетрудно показать, что процесс X(t), определяемый уравнением (8), при а = 1 + 2Е2/У связан с процессом г(т), определяемым уравнением (1), следующим функциональным преобразованием:X(t) = V(1 + 2Et/V) r(ln(1 + 2Et/V) /к), t > 0.Это позволяет с использованием утверждения 1 получить следующие свойства процесса X(t).Утверждение 3. Для процесса X(t), порождаемого уравнением (8), справедливы следующие результаты.Маргинальная плотность вероятностей процесса X(t) определяется выражениемf (x|q, c(t)) = 2c(r)qx2q 1 e-c(t)x2, x > 0, t > 0, r(q)где параметры плотности задаются в виде c(t) = E/( V + 2Et), q = E2/V. Поэтому начальные моменты порядка i для процесса (8) вычисляются по формуле1 r(q + ij2) = ( V + 2Et УУ2 Г(E2/V + i/2)E[Xi It]:VC(t)7 r(q) ^ E ) Г( E2 jV)иE[X(t)] :V+2EtVar[X(t)] =E r(E2 V)VEГ( E 2 V)Условная плотность вероятностей f (х, t | X, s), где обозначено х = X(t), Х = X(s), 0 < s < t, представима в виде смеси распределенийШ 11j2c(t)g+j x2(g + j)-1 2f (х, t | X, s) = У -e-u 2c(t) Xe~c(t)x =СО= Уp(f(x|g + j,c(t)), х >0, (9)j=o, ч „2EE2V + 2Es nгде u = p c(s) X , c(t) =, g = -, p=, 0 < s < t.(1 -p)(V + 2Et)VV + 2EtСовместная плотность вероятностей f (х, t; X, s), для х = X(t), X = X(s), s < t, представима в виде смеси распределенийСf (х, t;X, s) = У b(j I g, p) f (xlg + j,c(t)) f (Xlg + j,c(s)). (10)j=0Значения параметров g, с, p в (10) определены так же, как для формулы (9). ■Заметим, что процесс Бесселя X(t) связан с другим нестационарным процессом, часто используемым в финансовом анализе, - процессом геометрического броуновского движения S(t) следующим функциональным преобразованием [13]:( t \ S(t) = X\ a2Jexp[2(^v + аW(v))]dvV 0 jИспользуя уравнение (8) и формулу Ито, получаем стохастическое дифференциальное уравнение для процесса S(t) в видеdS(t) = S(t)((ii + a2/2)dt + adW(t)). (11)Решением этого уравнения является процесс S(t) = S(0) ехр[ц/ + aW(t)], имеющий логарифмически нормальное распределение. Как следует из многочисленной литературы, такой процесс является подходящим для описания поведения цен акций с течением времени.Из утверждения 3 можно получить, что преобразование y(t) = X(t)/ j(1 + 2Et/V),t > 0, приводит к процессу, допускающему стационарный режим. Использование уравнения (8) и формулы Ито дает, что в этом случае процесс y(t) порождается уравнениемdy(t) = 2 ~ y(t) J dt + ^dW (t), (12)а плотности вероятностей процесса y(t) имеют тот же вид, как в утверждении 3, но с параметрами g, с, p в том виде, как они определены в утверждении 1. Таким образом, справедливо следующее утверждение.Утверждение 4. Для процесса y(t), порождаемого уравнением (12), справедливы следующие результаты.Маргинальная плотность вероятностей процесса y(t) определяется выражением2cg y 2g-1 2f(y I g, с) =e"" , у > 0,r(g)где параметры плотности задаются в виде с - E/V, q - E2/V. Начальные моменты порядка i для процесса (12) в стационарном режиме вычисляются по формулеE[y(tУ]- I VУ2 Г(ЕVV + il2)E ) Г( E 2/v )Условная плотность вероятностей f(y, t | Y, s), где обозначено y - y(t), Y - y(s), s < t, представима в виде смеси распределенийf(y, t | Y, s) - £-e-u Г/ .) e-cy - £ Х/|и) f (y | q + i, c), y > 0, (13)где u - pcY2, c --E-, q - -, p - e~k(t-s), s < t. (1 -p)V VСовместная плотность вероятностей f (y, t; Y, s) для y - y(t), Y - y(s), s < t, представима в виде смеси распределений0f (y, t; Y, s) - £ b(j | q, p) f (y | q + J,c) f (Y | q + J, c). (14)i-оЗначения параметров q, с, p в (14) определены так же, как для формулы (13). ■ЗаключениеТаким образом, совместные плотности вероятностей f (y, t; Y, s) для рассмотренных диффузионных процессов можно определить как смеси распределенийСОf(r, t; R, s) = X b(j | q, p)m(y\q + j,c)m(Y | q + j,c) ,(15)j=оздесь m(y \ q, c) - маргинальная плотность соответствующего процесса, в которойвместо с используется С = c/(1 -p). Особенностью плотностей (15) является то,что смешивающая случайная величина имеет отрицательное биномиальное распределение, причем при фиксированном значении смешивающей случайной величины совместная плотность превращается в произведение маргинальных, т.е. значения процесса в различные моменты времени как бы становятся «независимыми». Так что в некотором смысле смешивающая случайная величина «регулирует» зависимость между выборочными значениями процесса. Такая структура плотностей вероятностей является удобной при аналитических расчетах, касающихся вычисления математических ожиданий от различных функций случайных процессов.

Скачать электронную версию публикации