A Weighted Least Squares Method for Guaranteed Estimation of Parameters of ARCH(1) Process..pdf Некоторым типам данных, в частности финансовым индексам, бывает присущэффект кластерности, т.е. чередования групп значений с большой и малой дисперсией. Для описания случайных процессов такого типа Р. Энглом была предложенамодель авторегрессии с условной гетероскедастичностью (ARCH), в которой дисперсия наблюдений представляет собой случайный процесс авторегрессионного типа. В данной работе рассматривается задача оценивания параметров такого процесса и предлагается последовательный метод, гарантирующий ограниченность среднеквадратического отклонения оценки от истинного значения параметров.1. Постановка задачиРассматривается случайный процесс ARCH(1): 2 21l l l l l x x −= Ґт Ґе ; Ґт = Ґм - Ґл .(1)Здесь {Ґеl}lЎГ1 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Параметры Ґм и Ґл неизвестны. Ставится задача по наблюдениям за процессом {xl} оценить векторнеизвестных параметров ҐЛ = [Ґм,Ґл] с гарантированной точностью.2. Последовательная оценка параметровДля оценки параметров процесса (1) применим подход, предложенный в [1]для классификации процессов авторегрессии с неизвестной дисперсией. Чтобыиметь возможность использовать эти результаты, представим процесс (1) в виде2 2 2 ( 2 1) xl = Ґтl - Ґтl Ґеl − .Введем обозначения B2 = M(Ґеl2 −1)2 , Ґзl = (Ґеl2 −1)/B и, учитывая (1), получим2 2xl = Ґм - Ґлxl−1 - (Ґм - Ґлxl−1)BҐзl . (2)1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 09-01-00172а.28 Ю.Б. Буркатовская, С.Э. ВоробейчиковЗдесь {Ґзl}lЎГ1 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с MҐзl = 0 , MҐзl2 = 1. Процесс (2) является процессом авторегрессии первого порядка, дисперсия шумов которого 2(Ґм - Ґлxl−1)B неизвестна и, более того, не ограничена сверху. Преобразуем далее процесс (2). Введем обозначения2 22 2 11 1 2 1 2 21 1 1max{1 } 1Tl l l l l l l l l x x y x z a y y y −− − −− − −⎡ ⎤= , , = , = ⎢ , ⎥ .⎣ ⎦(3)Перейдем теперь к случайному процессу {zl} видаzl = ҐЛal−1 - ҐЛal−1BҐзl . (4)Так как ҐЛal−1 ЎВ Ґм - Ґл , данный процесс обладает ограниченной дисперсиейшумов.Поставим задачу оценки вектора параметров ҐЛ процесса (4). Используем для построения оценки модифицированный метод наименьших квадратов. Оценка параметров строится в два этапа.На первом этапе на интервале [1,n] вычисляется статистика ҐГn , затем она используется для компенсации неизвестной дисперсии помех. Для определения видаҐГn преобразуем процесс (2). Введем обозначения22 2 11 1 2 1 2 21 1 1min{1 } 1Tl l l l l l l l l x x y x x a y y y −− − −− − −⎡ ⎤= , , = , = ⎢ , ⎥ .⎢⎣ ⎥⎦

Скачать электронную версию публикации