Optimal states estimation of the modulated semisyncronous integrated flow of events in the condition of constant dead time.pdf Настоящая статья является продолжением работ [1-5]. В последнее время в связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных технологий появилась важная сфера приложений теории массового обслуживания - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, телекоммуникационных сетей и т.п., объединенных термином «цифровые сети интегрального обслуживания» (ЦСИО) [6]. Математические методы теории массового обслуживания обеспечивают возможность решения многочисленных задач расчета характеристик качества функционирования различных компонент ЦСИО, включая оценку вероятностно-временных характеристик узлов коммутации и маршрутизации; анализ буферной памяти узлов и методов локального и глобального управления потоками и т.д. Стоит отметить, что условия функционирования реальных объектов и систем таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств можно сказать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков обычно меняются со временем, часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий. По-видимому, статья [7] является одной из первых работ в этом направлении, где дважды стохастический поток определяется как поток, интенсивность которого есть непрерывный случайный процесс. С другой стороны, функционирование систем массового обслуживания зависит от параметров и состояний входящих потоков. В подобных ситуациях наиболее рациональным является применение адаптивных систем массового обслуживания, которые в процессе функционирования оценивают неизвестные параметры либо состояния входящих потоков и изменяют дисциплину обслуживания в соответствии с полученными оценками [8]. Дважды стохастические потоки событий можно разделить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс; ко второму классу относятся потоки, интенсивность которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Потоки второго класса впервые и независимо введены в работах [9-11]. В [9, 10] введенные потоки названы MC (Markov сИат)-потоками; в [11] - MVP (Markov Versatile Processes)-потоками. С начала 1990-х гг. отечественные и зарубежные авторы называют в своих работах введенные потоки событий либо дважды стохастическими потоками, либо MAP-потоками, либо MC-потоками [12-18]. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит переход из состояния в состояние, MC-потоки событий можно разделить на три типа: 1) синхронные потоки [19, 20]; 2) асинхронные потоки [21, 22]; 3) полусинхронные потоки [23]. Здесь указаны ссылки на статьи, в которых авторы впервые рассматривали MC-потоки событий в соответствии с приведенной классификацией. Наиболее полно литература по изучаемым типам MC-потоков событий приведена в [24]. Подчеркнем, что синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки возможно представить в виде моделей MAP-потоков событий первого либо второго порядков [25]. В [25] показывается, что синхронный MC-поток является частным случаем MAP-потока первого порядка, асинхронный и полусинхронный MC-потоки являются частными случаями MAP-потока второго порядка. Как было отмечено выше, в реальных ситуациях интенсивность входящего потока событий изменяется со временем случайным образом, поэтому при реализации адаптивного управления системой массового обслуживания возникают, в частности, следующие задачи: 1) оценка состояний потока по наблюдениям за моментами наступления событий [26]; 2) оценка параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [27]. Отдельно стоит отметить, что в большинстве случаев рассматриваются математические модели потоков событий, когда события потока доступны наблюдению. Однако на практике любое регистрирующее устройство затрачивает на измерение и регистрацию события некоторое конечное время, в течение которого оно не способно правильно обработать следующее событие, т.е. событие, поступившее на обслуживающий прибор, порождает период так называемого мертвого времени [28], в течение которого другие наступившие события потока недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). В частности, подобные ситуации встречаются в компьютерных сетях, например при использовании протокола случайного множественного доступа с обнаружением конфликта (протокол CSMA/CD). В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки» («пробки»); в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети. В работах [1-5] введен в рассмотрение модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся обобщением полусинхронного потока и обобщенного полусинхронного потока и относящийся к классу MAP-потоков второго порядка. Полусинхронный и обобщенный полусинхронный потоки событий систематически исследовались в работах [23, 24, 29]. В настоящей статье решается задача об оптимальной оценке состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий, функционирующего в условиях мертвого времени. Предлагается алгоритм оптимальной оценки состояний, когда решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно получить, располагая только выборкой наблюдений. Сам критерий минимизирует полную вероятность ошибки вынесения решения [30]. 1. Постановка задачи Рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий (далее поток), интенсивность которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс A,(t) с двумя состояниями , X 2 (^1 > X2). Длительность пребывания процесса X(t) (потока) в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром р, во втором - с параметром а . Если процесс X(t) в момент времени t находится в первом (втором) состоянии, то на полуинтервале [t, t + At) , где At (здесь и далее) - достаточно малая величина, с вероятностью pAt + o(At) (с вероятностью aAt + o(At)) пребывание процесса X(t) в первом (втором) состоянии закончится и процесс X(t) с вероятностью единица перейдет из первого (второго) состояния во второе (первое). В течение временного интервала случайной длительности, когда X(t) = Xi, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Xi, i = 1,2. Кроме того, переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X1; переход осуществляется с вероятностью р (0 < p < 1); с вероятностью 1 - р процесс X(t) остается в первом состоянии (т.е. сначала наступает событие потока, затем происходит либо не происходит переход процесса X(t) из первого состояния во второе). Переход из второго состояния процесса X(t) в первое в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности X2 невозможен. В момент окончания второго состояния процесса X(t) при его переходе с вероятностью единица из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5< 1) дополнительное событие в первом состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется либо не инициируется дополнительное событие). В сделанных предпосылках X(t) - марковский процесс. Блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид "(X +Р) Р (1 "5)а "(X2 +а) (1" Р )X1 PX1 5а X2 = Pol A . (1) D = В (1) элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. Отметим, что если Р = 0, то имеет место обобщенный полусинхронный поток событий [24]. Подчеркнем, что если процесс X(t) находится в первом состоянии, то принимается первичность наступления события пуассоновского потока интенсивности X1 , затем переход из состояния в состояние; если же процесс X(t) находится во втором состоянии, то принимается первичность перехода из второго состояния в первое, затем наступает либо не наступает дополнительное событие в первом состоянии. Данное обстоятельство при получении аналитических результатов является несущественным, так как наступление события и переход процесса X(t) из состояния в состояние происходят мгновенно. При получении же численных результатов путем имитационного моделирования необходима определенность, что первично наступление события, затем смена состояния либо наоборот. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает период мертвого времени фиксированной длительности Т, в течение которого другие события потока недоступны наблюдению. По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д. (непродлевающееся мертвое время). Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где X1, X2 - состояния процесса X(t); дополнительные события, которые могут наступать в первом состоянии при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое, обозначены буквами 5; периоды мертвого времени длительности Т помечены штриховкой; ненаблюдаемые события отображены черными кружками, наблюдаемые t1, t2,... - белыми. 1-Р 1-Р .t 1 ' а а т Р 2 Реализация процесса X(f) t 5 5 -О- -о- Модулированный обобщенный полусинхронный поток событий t -,-' 1----■ t T T Схема создания мертвого времени T T ■о t1 ■о t 0 t4 ... Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Так как процесс X(t) и типы событий (события пуассоновских потоков с интенсивностями X1 либо X 2 и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий наблюдаемого потока t1, t2,..., то необходимо по этим наблюдениям оценить состояние процесса X(t) (потока) в момент окончания наблюдений. Рассматривается стационарный режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0, t), где t0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить t0 = 0. Для вынесения решения о состоянии процесса X(t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w(X. 11) = w(Xt 111,...,tm,t) , i = 1,2, того, что в момент времени t значение процесса X(t) = X. (m - количество наблюденных событий за время t), при этом w (X1 11) + w(X211) = 1. Решение о состоянии процесса X(t) выносится путем сравнения апостериорных вероятностей: если w(Xj 11)> w(11), i, j = 1,2, i ф j, то оценка состояния процесса есть X(t) = Xj . рительно осуществить оценку величины мертвого времени. В противном случае отсутствие такой информации делает попытку строгого нахождения вероятности w (X111) невозможной. Здесь предполагается, что значение Т известно точно. В статье [4] сформулирован алгоритм расчета апостериорной вероятности w (X111) для случая отсутствия мертвого времени (Т = 0). При этом поведение апостериорной вероятности w(Xj 11) на временном полуинтервале [tk,tk+1) , k = 1,2,..., между соседними событиями модулированного обобщенного полусинхронного потока определяется формулой (X . ) w1 [w2 -w(XJtk + 0)]-w2[w1 -w(XJtk + 0)yb{t-tk) w (X, |1) =------г-, (2) w2 - w(X1 | tk + 0)-[w - w(X1 | tk + 0)]e-b(-tk) X1 -X2 +a + p-2a5 + b П~ 7 ~~2 . T7 = 1 * X-^-^-, b = V(X-X2-a + P) + 4ap(1 -5), X. - X2 + a + P - 2a5 - b -1-2--, w2 2 (X1 -X2 -a5) 2(X1 -X2 -a5) где tk < t < tk+1, k = 0,1,...; w(X1110 + 0), w(X1 | tk + 0) определены ниже. Апостериорная вероятность w(X1 11) в момент наступления события потока tk, k = 1,2,..., претерпевает разрыв первого рода, поэтому в момент времени tk имеет место формула пересчета w(X lt + 0) a5 + [X1 (1 -P)-a5]w(ХК -0) , 12 (3) w(X1|tk + 0) = + 5+X-X-5 /X 11-0:, k =1,1,-. (3) X2 +a5 + (X1 -X2 -a5)w (X1 | tk -0) В свою очередь, w (X11 tk + 0) зависит от значения w (X1 | tk - 0) - значения вероятности w (X111) в момент времени tk, когда w (X111), определяемая в (2), изменяется на полуинтервале [tk-1,tk) , соседнем с полуинтервалом [tk,tk+1),k = 1,2,... . Таким образом, в значении w(X11 tk + 0) «сосредоточена» вся предыстория наблюдений за потоком, начиная от момента времени t0 = 0 до момента tk. В качестве начального условия w(X1 110 + 0) = w (X1110 = 0) на полуинтервале [t0, t1) в (2) выбирается априорная финальная вероятность первого состояния процесса X(t): л1 = a / (a + p + pX1), (4) которая находится из уравнений л1 + л2 = 1, л1 (P + pX1) = л2 a [1]. Возвратимся к ситуации, когда длительность мертвого времени T ф 0 (рис. 1). Тогда вычисление апостериорной вероятности w (X1 11) по формуле (2) справедливо на интервале (tk + T, tk+1) . При этом начальное условие для w(X111) привязывается к моменту времени tk + T , т.е. в формуле (2) необходимо заменить w(X11 tk + 0) на w(X11 tk + T) и tk + T < t < tk+1, k = 1,2,... . Формула (3) остается без изменения, так как предназначена для вычисления w (X111) в момент tk наступления события, которое порождает период мертвого времени. Рассмотрим полуинтервал (tk,tk + T], k = 1,2,... . На этом полуинтервале событие имеет место в граничной точке tk, на самом полуинтервале события отсутствуют. Теорема. Поведение апостериорной вероятности w (X1 11) на временных полуинтервалах (tk, tk + T ], k = 1,2,..., определяется явной формулой w(X111) = -[^1 - w(X11 tk + 0)]e-(a+рЯ^+p)(t-tk), (5) где tk < t < tk + T, k = 1,2,...; w(X11 tk + 0) определена формулой (3); л1 определена в (4). Доказательство. Определим апостериорную вероятность w(X1 11 + At) того, что в момент времени t + At (tk < t + At < tk + T ), где At - достаточно малая величина, процесс X(t) находится в первом состоянии. Пусть в момент времени t процесс X(t) находится в первом состоянии и на полуинтервале [t,t + At) процесс X(t) не перешел во второе состояние. Вероятность этого события есть w(X1 11)(1 -pAt-pX1At) + o(At) . Пусть в момент времени t процесс X(t) находится во втором состоянии и на полуинтервале [t, t + At) процесс X(t) перешел в первое состояние. Вероятность этого события есть w (X2 11)aAt + o (At) . Другие возможные варианты имеют вероятность o (At) . Тогда w(X1 11 + At) = w(X111)(1 -pAt-pX1At) + w(X2| t) aAt + o(At) . Аналогично находится вероятность w(X2 11 + At) : w(X2 11 + At) = w(X2 11)(1 -aAt) + w(X111) (pAt + pX1At) + o(At) . Производя здесь необходимые преобразования и перейдя к пределу при At ^ 0 , получаем систему дифференциальных уравнений для апостериорных вероятностей w (X1 11) и w (X2 11) : dw ) = -(X1 p + p)w (XJt ) + aw (X2|t), dt (6) dw ) = (1 p + p) w (1 11) - aw (( 11) dt с начальными условиями w(X1 11 = tk ) = w(X1 | tk + 0) , w(X2| t = tk ) = w (X2| tk + 0) = 1 - w(X1 | tk + 0), k = 1,2,... . Последнее вытекает из того, что на интервале (tk-1 + T,tk) , граничащем с полуинтервалом (tk,tk + T], k = 2,3,..., вероятность w(X111) рассчитывается по формуле (2), где вместо w(X11 tk + 0) стоит w ( | tk + T) . При этом в точке t = tk сначала вычисляется вероятность w ( | tk - 0), после чего происходит пересчет апостериорной вероятности в этой точке по формуле (3), так что значение w (X1 | tk + 0) становится граничным условием в системе уравнений (6). Для начального полуинтервала [t0 , t1 ) вероятность w (X1 | t) вычисляется по формуле (2) с последующим пересчетом по формуле (3) в точке t = t1. Решая систему уравнений (6), находим (5). Отметим, что lim w (X1 11) при t ^. Теорема доказана. Из (5) следует, что вероятность в точке tk + T рассчитывается по формуле w (X1 |tk + T) = ^1 -[^1 -w(X1 | tk + 0)]e-(a+ pX+p)T. (7) Полученные формулы позволяют сформулировать алгоритм расчета апостериорной вероятности w (X1 11) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса X(t) в любой момент времени t (алгоритм оптимальной оценки состояний потока): 1) в момент времени начала наблюдений за потоком t0 = 0 задается w ( |10 + 0) = = w (X1110 = 0 ) = ^; 2) по формуле (2) для k = 0 рассчитывается вероятность w (X111) в любой момент времени t (0 < t < t1), где t1 - момент наступления первого события наблюдаемого потока; 3) по формуле (2) для k = 0 вычисляется вероятность w (X1 111) = w (X1111 - 0) ; 4) k увеличивается на единицу, и по формуле пересчета (3) для k = 1 рассчитывается вероятность w(X1 | tk + 0) , являющаяся начальным значением для w (X111) в формуле (5); 5) по формуле (5) для k = 1 вычисляется w(Xj 11) в любой момент времени t (tk < t < tk + T); 6) по формуле (7) для k = 1 рассчитывается w(xj | tk + T), являющаяся начальным значением для w(Xj 11) на следующем шаге алгоритма; 7) для k = 1 по формуле (X|t) = w [w2 - w (X1 | tk + T)]-w2 [w1 - w (X1 | tk + T)] e-bit-tk-T) (8) w ( h w2 - w (|tk + T)-[w1 - w (|tk + T)] e-b(k-T) ( ) (w1, w2 и b определены в (2)) вычисляется w (X111) в любой момент времени t (tk + T < t < tk+1), где tk+1 - момент наблюдения следующего события в наблюдаемом потоке; 8) по формуле (8) для k = 1 рассчитывается вероятность w(X1 | tk+1) = w (X11 tk+1 - 0) ; 9) алгоритм переходит на шаг 4, после чего шаги 4-8 повторяются для k = 2 и т.д. По ходу вычисления w (X111) в любой момент времени t выносится решение о состоянии процесса X(t) согласно критерию максимума апостериорной вероятности: если w (X111)> w (X211), то оценка X (t) = X1, в противном случае X (t) = X2. Для частных и особых случаев, приведенных в [4], алгоритм оптимальной оценки состояний идентичен предложенному выше алгоритму для общего случая. 3. Результаты численных расчетов Приведенный выше алгоритм оптимальной оценки состояний потока был положен в основу работы программы для получения численных результатов. Программа расчета реализована на языке программирования С#, Microsoft Visual Studio 2013. Первый этап расчета предполагает имитационное моделирование потока в условиях непродлевающегося мертвого времени и как результат - получение истинной траектории интенсивности процесса X(t) и временных моментов t1, t2,... наступления наблюдаемых событий потока. Описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей алгоритм не содержит. Второй этап расчета -непосредственное вычисление вероятностей w(X111) , t0 < t < t1; w(X1 | tk + 0) , k = 1,2,...; w(X111) , tk < t < tk+1, k = 1,2,..., по формулам (2), (3), (5), (7), (8) и построение оценки X(t) . Расчеты произведены для следующих значений параметров: X1 = 5, X2 = 1, p = 0,025, р = 0,2, а = 0,2, 5 = 0,2, T = 0,5 ед. времени, и времени моделирования Tm = 100 ед. времени. В качестве иллюстрации на рис. 2 приведена траектория (верхняя часть рис. 2) процесса X(t) (истинная траектория), полученная путем имитационного моделирования, и траектория (нижняя часть рис. 2) оценки X(t) . Вынесение решения о состоянии процесса X(t) производилось с шагом At = 0,001. На рис. 2 на оси времени жирными линиями обозначены промежутки, на которых оценка состояния не совпадает с истинным значением процесса X(t) (область ошибочных решений). На рис. 3 приведена траектория поведения апостериорной вероятности w (X111), соответствующей полученной при имитационном моделировании последовательности наступления событий t1, t2,... наблюдаемого потока. Для установления частоты ошибочных решений о состояниях процесса X(t) по наблюдениям за потоком проведен статистический эксперимент, состоящий из следующих этапов: 1) для определенного набора параметров X1, X2, p, в, а, 5, Т ед. времени осуществляется моделирование потока событий на отрезке времени моделирования [0,Tm ] (отдельный j-й эксперимент); 2) рассчитывается вероятность w(Xj 11) на отрезке [0,Tm ] по формулам (2), (3), (5), (7), (8); 3) оценивается траектория процесса X(t) на отрезке [0,Tm ]; 4) осуществляется определение (для j-го эксперимента) dj - суммарной протяженности интервалов, на которых истинная траектория процесса X(t) не совпадает с траекторией его оценки X(t) ; 5) вычисляется доля ошибочных решений p. = dj /Tm ; 6) производится повторение N раз (j = 1, N) шагов 1-5 для расчета оценки безусловной (полной) вероятности ошибки принятия решения о состояниях процесса X(t). Реализация процесса X(t) Реализация оценки /. I! i i 2 3 4 5 6 7 8 9 t Рис. 2. Траектория процесса X(t) и оценки X(t) i 2 3 4 5 6 7 8 9 t Рис. 3. Траектория апостериорной вероятности w((j 11) Результатом выполнения описанного алгоритма является выборка (,p2,...pN) долей ошибочных решений в N экспериментах. По этому набору вычисляются выборочное среднее безусловной вероятно, N Л N Л ч 2 сти ошибочного решения P0 = (1/ N) X pj и выборочная дисперсия D = (1/ (N -1)) X (pj - P) . j=1 j=1 Результаты статистического эксперимента приведены в табл. 1-5. В первой строке таблиц указана длительность мертвого времени Т (Т = 0, 1, ..., 7) ед. времени. Во второй и третьей строках для каждого опыта приведены численные значения P0 и D . Результаты получены при следующих значениях параметров, общих для всех таблиц: X 2 = 1, p = 0,025, p = 0,2 , a = 0,2, 5 = 0,2 , Tm = 100 ед. времени, N = 100 . При этом результаты в табл. 1 получены для X1 = 5 , в табл. 2 - для X1 = 6 , в табл. 3 - для X1 = 7 , в табл. 4 - для X1 = 8 , в табл. 5 - для X1 = 9 . Ai Л2 Ai Л2 0 Т а б л и ц а 1 Т 0 1 2 3 4 5 6 7 P0 0,1702 0,2819 0,3248 0,3597 0,3678 0,3685 0,3666 0,3750 D 0,0009 0,0029 0,0035 0,0043 0,0046 0,0044 0,0071 0,0070 Т а б л и ц а 2 Т 0 1 2 3 4 5 6 7 P0 0,1423 0,2715 0,3112 0,3423 0,3526 0,3615 0,3645 0,3676 D 0,0009 0,0019 0,0035 0,0033 0,0054 0,0050 0,0061 0,0078 Т а б л и ц а 3 Т 0 1 2 3 4 5 6 7 P) 0,1255 0,2474 0,2889 0,3122 0,3345 0,3398 0,3417 0,3420 D 0,0005 0,0022 0,0038 0,0035 0,0054 0,0052 0,0064 0,0075 Т а б л и ц а 4 Т 0 1 2 3 4 5 6 7 P) 0,1163 0,2383 0,2942 0,3038 0,3122 0,3187 0,3214 0,3230 D 0,0006 0,0018 0,0027 0,0041 0,0047 0,0056 0,0064 0,0046 Т а б л и ц а 5 Т 0 1 2 3 4 5 6 7 P) 0,1074 0,2287 0,2761 0,2944 0,3016 0,3122 0,3181 0,3237 D 0,0004 0,0015 0,0032 0,0044 0,0050 0,0041 0,0038 0,0061 Отметим, что анализ проведенных многочисленных вариантов расчетов по нахождению оценки P0 показывает, что P0 является достаточно стабильной для Tm = 100 ед. времени. Вследствие этого величина времени моделирования Tm для всех экспериментов выбрана равной 100 ед. времени. Анализ результатов, приведённых в табл. 1-5, показывает, что тренд значений оценки P0, в зависимости от Х1, убывающий при фиксированной длительности мертвого времени Т, так как при увеличении разности - X2 условия различимости состояний потока улучшаются. При этом оценка D для всех вариантов расчета достаточно мала. Значение оценки P0 увеличивается при увеличении длительности мертвого времени Т (Т = 0, 1, ..., 7) ед. времени. Последнее является вполне естественным, так как при увеличении длительности мертвого времени происходит увеличение потерь полезной информации о потоке событий, что отрицательно сказывается на качестве оценивания. Заключение Результаты, полученные в таблицах, показывают возможность оценивания состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока в условиях непродлевающегося мертвого времени по результатам текущих наблюдений за потоком. Это позволяет изменять режимы работы системы обслуживания в зависимости от того или иного состояния потока. Выражения апостериорных вероятностей получены в явном виде, что позволяет производить вычисления без привлечения численных методов. Сам же алгоритм оценки состояний потока обеспечивает минимум безусловной (полной) вероятности ошибки вынесения решения.

Скачать электронную версию публикации