Dynamic locally-optimal control systems for objects with interval parameters with state delay.pdf Локально-оптимальные дискретные системы управления являются частным случаем дискретного прогнозирующего управления (Model predictive control) с прогнозом на один такт. Основным достоинством метода локально-оптимального управления является существенное упрощение процедуры синтеза. Область применения метода MPC и, соответственно, метода локально-оптимального управления охватывает задачи управления техническими системами, производственными системами, управление запасами и финансовую математику [1-14]. В целях улучшения качества управления объектами применяется практика введения в закон управления наблюдателей Люенбергера [15] или динамической обратной связи пониженной размерности [16-18]. В настоящей работе предлагается осуществлять синтез следящих динамических систем управления по выходу на основе оптимизации локального критерия, при косвенных измерениях для дискретных объектов с интервальными параметрами на основе вероятностного метода с учетом запаздываний по состоянию. Управление определяется как функция измеряемых переменных, динамического звена и отслеживаемого сигнала. Исследуется асимптотическое поведение системы, строятся оценки для асимптотической точности слежения. Результаты работы являются развитием [9] на случай синтеза динамической системы управления по выходу для модели объекта с интервальными параметрами. 1. Постановка задачи Пусть управляемый объект с запаздыванием по состоянию и канал наблюдений описываются уравнениями r r r x(k +1) = (A + £ Ate, )x(k) + (A + £ Ae, )x(k - h) + (B + £ Bte, )u(k) + q(k); i=1 i=1 i=1 х(т) = ф(т), x = -h,1 - h,2 - h,... ,0; k = 0,1,2,...; (1) y(k) = Sx(k) + v(k). (2) В (1), (2) x(k)eRn - вектор состояний; h > 0 - величина временного запаздывания (целое число); u(k)eRm - управление; y(k)eRl - вектор измерений; A,Ai,A, Ai,B,Bt,i = 1,r - матрицы соответствующих размерностей; S - матрица канала наблюдения; матрицы B и S полного ранга; пары матриц (A, B) и (A, Б) управляемы, пары матриц (S, A) и (S, A) наблюдаемы; x0 - начальные условия (M{x0Xq} = PXo); q(k), v(k) - гауссовские случайные последовательности входных возмущений и ошит бок измерений с характеристиками: M{q(k)} = 0, M{v(k)} = 0, M{q(k)v (j)} = 0, M{q(k)qт(j)} = Q(k)bj , M{v(k)vT (j)} = V(k)5j (5,- j - символ Кронекера, Q(k) = Qт(k) > 0, V(k) = VT (k) > 0 - неотрицательно определенные матрицы); 0, - неопределенные параметры интервального типа (-1 0, D = DT > 0 -весовые матрицы, z(k) е Rn - отслеживаемый вектор, удовлетворяющий уравнению z(k +1) = Fz(k) + qz (k), z(0) = z0, k = 0,1,2, _ . (4) В (4) qz (k) - гауссовская случайная последовательность с характеристиками: M{qz (k)} = 0, M{qz (k )q T (j)} = 0, M{qz (k )v T (j)} = 0, M{qz (k )qz T (j)} = Qz (k )5k, j, z o - начальные условия (M{z0 zj } = Pzo, M{z0 xj } = PZ(jX(j, M{x0 zj } = PXo zo), F- матрица динамики модели отслеживаемого сигнала. Требуется найти управление объектом (1), используя наблюдения (2), минимизируя критерий (3). Суть вероятностного подхода заключается в том, что неопределенные интервальные параметры 0i заменяются независимыми случайными последовательностями 0(k) с равномерным законом распределения на интервале [-1, 1]. 2. Оптимизация локального критерия Динамический закон управления объектом (1) при измерениях (2) зададим в виде u(k) = K0 (k)w(k) + K (k)y(k) + K2 (k)y(k - h) + K3 (k)z(k), (5) где коэффициенты передачи K0(k), K1(k), K2(k), K3(k) подлежат определению, а переменная w(k) определяется с помощью динамического звена заданной размерности [16, 17]: w(k +1) = A (k )w(k) + B (k) y(k) + C (k) z (k), w(0) = 0. (6) В (6) w(k)еRp (1 < p < n), A(k) = (L + MBK0(k)), B(k) = M(BK1(k) + K), C(k) = MBK3(k). Матрица M удовлетворяет уравнению M (A - KS) - LM = 0, где L - заданная устойчивая матрица (ее собственные числа лежат внутри единичного круга). Матрица К вычисляется так, чтобы A - KS имела заданные собственные числа, часть из которых совпадала бы с собственными числами матрицы L. Так как пара матриц (S, A) наблюдаема, то такую матрицу K всегда можно построить, применив методы модального управления [19]. Собственные числа матрицы A - KS разбиваются на две группы: А,(1) (i = 1,р) и А,(2) (j = 1,n - р), причем группа состоит из чисел, которые совпадают с собственными числами матрицы L. Применяя метод [20], строится неособенная матрица Л = [Aj, Л 2], блоки которой Лх, Л 2 формируются из р и n - р линейно независимых столбцов матриц А1 = nnP (A - KS - ^(.2)E), А2 = П (A - KS - E). j=1 i=1 Тогда матрицы M и K определятся следующими равенствами: K = Л1, M = Hj, ^ _1 ^ ^ ^ т т где Н1 - соответствующий блок матрицы Л = [Sx , S2] . Решение задачи локально-оптимального слежения сформулируем в виде теоремы. Теорема 1. Пусть K = Л1, M = Sx. Если для объекта (1), канала измерений (2) и локального критерия (3) матрицы C = (B т H TCHB + D +1 £ B,TH т CHBt) > 0, 3 i=1 P (k) SPxw (k) SPxw (k - h, k) Pzw (k) Pwx (k)Sт SPx (k )S т+ V (k) SPx (k - h, k )S т Pzx (k )S т Pwx (k, k - h)Sт SPx (k, k - h)Sт SPx(k - h)Sт+ V(k - h) Pzx(k, k - h)Sт Pwz (k) SPxz (k) SPxz (k - h, k) Pz (k) > 0 (7) P(k) = положительно определены для всех k = 1,2,..., то оптимальные в смысле минимума критерия (3) коэффициенты передачи для управления (5) определяются матричными уравнениями K0* (k) = oK* (k) + bK 2 (k) + cK 3 (k) + d; (8) K* (k) = eK 0 (k) + fK* (k) + gK 2 (k) + h; (9) K* (k) = mK0 (k) + nK* (k) + pK2(k) + P; (10) K 3* (k) = sK 0 (k) + tK1 (k) + lK 2(k) + k, (11) где a = -SPxw (k)Pw"1l(k); b = -SPxw (k - h, k)P-\k); c = -Pzw (kl(k); d = -C-1[:3^B,tH^CHAp(k - h,k) + HAP(k -h,k)) + 3 i=1 + BтHтC(HAPxW (k) + HAPxw (k - h, k) - Pzw (k))]Pw"1 (k); e = -Pwx (k)S T[SPx (k)ST +V (k)]-1; f = -SPx (k-h, k)Sт [SPx (k)ST +V (k)]-1; g = -Px (k )т[ SPx (k) S T + V (k )]-1; h = -C11[1 £ B,t Ht C(H4;Px (k - h, k) + HA,Px (k))ST + 3 i=1 +BtHtC(HAPx(k) + HAPx(k - h,k) - Pzx(k))Sт][SPx(k)ST + V(k)]-1; m = -Pwx (k, k - h)S т [SPx (k - h)S т + V(k - h)]-1; n = -SPx (k, k - h)S т [SPx (k - h)S т + V(k - h)]-1; p = -Pzx (k, k - h)Sт [SPx (k - h)Sт + V(k - h)]-1; p = -C1[-3£TbTHtC(HAtPxz(k -h) + HA,Px(k,k -h)) +BtHtC(HAPx(k,k -h) + 3 i=1 + HAPx (k - h) - Pzx (k, k - h))Sт ][SPx (k - h)Sт + V(k - h)]-1; S = -Pwz (k)Pz"1(k); t = -SPxz (k)Pz"1(k); l = -SPxZ (k - h, k)Pz"1(k); k = -C-1[3 £b,t HtC( hA,Pxz (k -h, k) + HAP (k)) + 3 i=1 +BTHTC(HAPz(k) + HAPxz(k - h,k) - Pz(k))ST]Pz l(k). (12) В(12)введены обозначения: Pz (k) = M{z(k)zT (k) j; Fx (k) = M{x(k)xT (k) j; Pzx (k, k - h) = FT (k - h, k) = M {z(k)x T (k - h) j; Pxz (k, k - h) = Pzj (k - h, k) = M {x(k)z T (k - h) j; X (k - h, k) = M {z(k)x T (k - h) j; Pxz (k, k - h) = PzT (k - h, k) = M (x(k)z T' Px (k, k - h) = M{x(k)xT (k - h) j; Pxz (k) = PX (k) = M{x(k)zT (k) j; T J s i. T) 7_\ T>T /и 1. U\ TIS {-/J^w T. Pzx (k) = Pjz (k) = M{z(k)xT (k) j; Pzw (k, k - h) = PwTz (k - h, k) = M{z(k)wT (k - h) j; Pwx (k) = Pxl (k) = M{w(k)xT (k)j; Pw (k) = M{w(k)wT (k)j, которые определяются системой разностных матричных уравнений с запаздываниями. Доказательство. Для вычисления локального критерия получим уравнение состояния путем подстановки (5) в (1): x(k +1) = (A + £ At0,)x(k) + (A + £ Д.0,)x(k - h) + (Б + £ Б,0,)K0 (k)w(k) + i=1 ,=1 ,=1 +(Б + £ Bj0,)Kj(k)Sx(k) + (Б + £ Бг0,)K1(k)v(k) + (Б + £ Б,0,)K2(k)Sx(k - h) + г=1 г=1 ,=1 +(Б + £ B0,)K2(k)v(k - h) + (Б + £ B0,)K3(k)z(k) + q(k). (13) г=1 г=1 Учитывая (1), (2), (4), (5), (6), характеристики случайных последовательностей q(k) и v(k), вычислим значение локального критерия (3), а затем значения градиентов критерия по K0(k), Kj(k), K2(k) и K3(k). Приравняв значения градиентов к нулю, получим уравнения, решения которых имеют вид Ko (k) = -C[CKr (k)SPxw (k) + CK2 (k)SPxw (k - h, k) + CK3 (k)Pzw (k) + +1 £ Bj H TCH (APxw (k) +^4,Pxw (k - h, k)) + 3 i =1 + БTH TC(HAPxw (k) + H:~Pxw (k - h, k) - Pzw (k))]Pw"1 (k). (14) K,(k) = -C-1[(CKo(k)Pwx (k)S + CK2(k) SPx (k -h, k) + CK3 (k) Pzx (k)) ST + +1 £ BjH TCH(A,PX (k) +A,Px (k - h, k))ST + БTH TC(HAPX (k) + HaIPX (k - h, k) -3 i =1 - Pzx (k))ST ][SPx (k)ST + V(k)]-1. (15) K2 (k) = -C-1 [C(K1 (k)SPx (k, k - h) + K0 (k)Pwx (k, k - h) + K3 (k)Pzx (k, k - h))S T + +3 ££ BTHTCH (AtPx (k, k - h) +aAPx (k - h)) + БTHTC(HAPx (k, k - h) + 3 1=1 + H:~Px (k - h) - Pzx (k, k - h))][SPx (k - h)ST + V(k - h)]-1. (16) K3 (k) = -C-1 [C(K0 (k)Pwz (k) + K1 (k)SPxz (k) + K2 (k)SPxz (k - h, k)) + + 3 ££ BjHTCH(A,Pxz (k) +A;Pxz (k - h, k)) + БTHTC(HAPxz (k) + HAPXz (k - h, k) - Pz (k^P"1 (k). (17) 3 i =1 Выполнив преобразование уравнений (14)-(17), получим С [K0 (k)Pw (k) + K1 (k)SPxw (k) + K2 (k)SPxw (k - h, k) + K3 (k)Pzw (k)] = = -BTHTC[HAPXW(k) + HAPw(k - h,k) - (k)] - 1 ib]HTCH[Af^(k) +A,PXW(k - h,k)]; (18) 3 i=1 С[Ko(k)PWx(k)ST + Kr(k)(SPx(k)ST + V(k)) + K2(k)spx(k -h,k)ST + K3(k)PZx(k)ST] = = -BTHTC[HAPx (k) + h^4px (k - h, k) - px (k)]ST - 1 i BjHtch[APx (k) +^,PX (k - h, k)]; (19) 3 i=1 С[K0 (k)Pwx (k, k - h)ST + K1 (k)SPX (k, k - h)ST + K2 (k)(SPX (k - h) + V(k - h)) + + K3 (k)Pzx (k, k - h)S T ] = -B TH T C[HAPX (k, k - h) + HAPx (k - h) - Pzx (k, k - h)]S T - -1 i BiTH TCH[AiPx (k, k - h) +:~iPx (k - h)]; (20) 3 i=1 С[K0 (k)Pwz (k) + K1 (k)SPxz (k) + K2 (k)SPxz (k - h, k) + K3 (k)PZ (k)] = ~ 1 r = -BTHTC[HAPxz (k) + HAPxz (k - h,k) -Pz (k)] + -iBiTHTCH[Apx(k,k -h) +AP(k -h)]. (21) 3 i=1 Входящие в (18)-(21) моменты Px(k, j),Pz (k, ДР„ (k, j),Px (k, ДРОТ(k, ДРта (k, j), Pwz (k, j), Pzw (k, j), Pw (k, j) определяются следующими формулами: Px (k + 1, j + 1) = M{x(k + 1) XT (j + 1)} = = S(i)P (k, Дт (j) + S(i)Px (k, j - h)S] (j) + 3iЪ (k)Px (k, Д](j) + 3i ^ (k)Px (k, j - h)^T (j) + 3 i=1 3 i=1 +S2(k)Px(k - h, j)ST(j) + S2(k)Px(k - h, j - h)ST(j) + 3iS2i(k)Px(k - h, j)ST(j) + 3 i=1 +3i S2i (k)Px (k - h, j - h)STi (j) + 61 (k, j); Px (0) = P^. (22) 3 i=1 Pzx (k + 1, j + 1) = M{z(k + 1)xT (j + 1)} = = FPx (k, j)ST (j) + FPx (k, j - h)ST (j) + FPzw (k, j)KT (j)BT + FPz (k, j)KT (j)BT;Pв (0) = Pz0^. (23) Pxz (k +1, j +1) = M{x( k +1) zT (j +1)} = S(k) PxZ (k, j) FT + +S2(k)P^(k -h, j)FT + BK0(k)Pw2(k -h, j)FT + BK3(k)Pz(k, j)FT;P^(0) = Px^(24) Pxw (k + 1, j +1) = M{x(k + 1)w T (j +1)} = = S(k) Pxw (k, j) AT (j) + (k) Pxw (k - h, j) AT (j) + BK0 (k) Pwx (k, j) S T BT (j) + +BK,(k) Pw (k, j) AT (j) +S(k) Px (k, j) S T BT (j) + ^2(k) P (k - h, j )S T BT (j) + +BK3 (k) Pw (k, j) AT (j)+BK3 (k) Px (k, j) s T b T (j) + +BK1 (k)V(k, j)5k,jBT (j);Pz (0) = PX00;P„ (0) = PXoZo. (25) Pwx (k +1, j +1) = M{w(k +1) xT (j +1)} = = A(k)PwX (k, j)ST (j) + A(k)PwX(k, j - h)Sj (j - h) + A(k)Pw (k, j)Kj (j)BT + +A(k)Pwz (k, j)K3T (j)BT + B(k)SPx (k, j)ST (j) + B (k)SPx (k, j - h)ST (j) + +B(k)SPxw (k, j)Kj (j)BT + B(k)SPxz (k, j)K3T (j)BT + B (k)V(k, j)5k,jK1T (j)BT; Pwx (0) = Pw0^ . (26) Pw (k +1, j +1) = M{w(k +1) wT (j +1)} = A(k) Pw (k, j) AT (j) + A(k) Pwx (k, j) ST BT (j) + +B(k)SPxw (k, j)AT (j) + B (k) SPx (k, j)STBT (j) + B(k)V(k, j)5k,jBT (j); Pw (0) = Pw0. (27) P (k +1, j +1) = M{z(k +1)zT(j +1)} = FPZ(k, j)FT + Qz (i, j)5,j; P(0) = P0. (28) Pw (k +1, j +1) = M{z(k + 1)wT (j +1)} = FPx (k, j)STBT (j) + FPzw (k, j)AT (j); Pzw (0) = P0w0. (29) PwZ (k +1, j +1) = M{w(k +1)zT (j +1)} = A(k)PwZ (k, j)FT (j) + B(k)SPxz (k, j)FT; PwZ (0) = Pw0z0. (30) Окончательно представим систему матричных уравнений (18)-(21) в следующем виде: С [K o (k ) K, (k ) K 2 (k ) K 3 (k)] P (k) = = -[БтHTC[HAPw (k) + HAPw (k - h,k) - Pw (k)] + i£BjHjCH[APw (k) +A,Pxw (k - h,k)] 3 i=1 БTHTC[HAPx (k) + H^4Px (k - h,k) - Pzx (k)]ST +1 £ BjHTCH[AtPx (k) (k - h, k)] 3 ,=1 Б TH TC[HAPX (k, k - h) + HAPX (k - h) - Pzx (k, k - h)S T +1 £ BjH TCH[A,PX (k, k - h) +AP (k - h)] 3 ,=1 Бт H TC[HAPxz (k) + HAPa (k - h, k) - Pz (k)] -1 £Bj H JCH[Afx (k, k - h) +APx (k - h)]. (31) 3 i=1 В силу условия (7) матрицы С и P (k) невырождены для всех k = 0,1,2,_, следовательно, уравнение (31) разрешимо относительно блочной матрицы [K0(k )| K1(k) K2(k) K3(k)] и имеет единственное решение (8)-(11), которое получается из (31) непосредственным вычислением. 3. Асимптотическое поведение Теорема 2. Пусть в описании объекта (1), канала измерений (2), критерия (3) и модели отслеживаемого вектора (4) матрицы A, At, A, A,,Б,Б,,Q, S,V,C,D , , = 1,r, - постоянные; F = E, qz (k) = 0. Тогда, если выполняется условие (7) теоремы 1, существует установившееся решение уравнений (22)-(26), матрицы Px = lim Px (k) > 0, Q1 = lim Q1 (k) > 0, пара матриц (А, yQ) стабилизируема, тогда матрица динамики замкнутой системы Ъ = A + BK*S асимптотически устойчива для K* = lim K* (k). k В теореме 2 введены обозначения: %(k) = A + BK* (k)S; ^(k) = A + BK2 (k)S; Ъ (k) = BK* (k) - E; Ъ(k) = A + B,K*(k)S; ^(k) = A + BiK*(k)S; Q1 (k, j) = S(0Pxw (k, j)kQT (j)Бт +Ъ(,)PXz (k, j)K3T (j)БT + 3 £ ^ (k)Pxw (k, j)K*T (j)Бj + 3 ,=1 +1 £ ^ (k)Pxz (k, j)K*T (j) Б j + ^(k)Pxw (k - h, j) kQt (j) BT + ^(OP* (k - h, j) К*т (j) Б T + 3 =1 +1 £ ^2,(k)Pxw(k -h, j)K0T(j)Bj+ BK*(k)Pwx(k, j)£T(j) + BK*(k)PWx(k, j - h)^( j) + 3 =1 +3 £B,.K0(k)PWx(k, j)Ъ*Т(j) + 3 £ B,K0(k)Pwx(k, j - h)4T(j) + BK*(k)Pzx(k, j)^T(j) + 3 =1 3 =1 +BK* (k)Pzx (k, j - h)^( j)+3 £ BK* (k)Pzx (k, j)Ъ*Т (j)+3 £ B,K* (k)Pzx (k, j - h)&T (j) + 3 ,=1 3 ,=1 +BK*(k)Pw (k, j) kQt (j) Бт + BK*(k)Pwz (k, j) K*T (j) Б T +1 ]£BK0(k)Pw (k, j)Ko*T (j) Бj + 3 =1 +1 £ BKo (k)Pwz (k, j) K*T (j)Bj + BK*(k)V(k, j)5k,jK*T (j) Бт + 3 =1 +BK2(k)V(k - h, j - h)5k_h,j_hK2T(j)БT + BK*(k)Pzw(k, j)KQT(j)БT + +BK*(k)Pz (k, j) K*T (j) Б T +1 ^£BK*(k)Pzw (k, j) kQT (j) Bj + 3 =1 +3 £BiK*(k)P (k, j) K*T (jj B,T + 3 №кК (j)Bj + 3 i=1 3 i=1 +3£B,K*(k)V(k-h, j-h)dk_hj_hK*2JBj + Q(k, jjbk,j . (32) 3 i =1 Доказательство. Если матрица Px > 0, то из леммы 12.2 [21] при условии, что пара матриц (А, ■JQi) стабилизируема, следует, что матрица асимптотически устойчива. Применяя теорему 3.6 [21], получаем, что если пара матриц (А, y[Q1) стабилизируема, то и пара матриц (, -JQ) - также стабилизируема. Этим доказывается справедливость теоремы. Асимптотическую точность слежения определим, вычислив оценку критерия: J = lim М{||x(k) - z||2}, (33) где II - евклидова норма вектора, z - постоянный отслеживаемый вектор. Построим сначала оценку для критерия J(k) = М{||x(k) - z||2}. Задавая далее условие, что k ^да, найдем оценку для критерия (33). При этом предположим, что условия теоремы 2 выполняются, а s =а1, ||^2|\ =а2, ||ф||s = Ф, ||ф2|\ = Ф2 (здесь || - спектральная норма матрицы, K0 = lim K0 (k), K* = lim K* (k), K2 = lim K2 (k), * * 2 2 K3 = lim K3 (k)). Введем условие ax + Ф < 1. Отметим, что выполнение этого условия обеспечивает k ^да асимптотическую устойчивость замкнутой системы с запаздываниями по состоянию. Учитывая (1), (2), (5) **** при коэффициентах передачи K0, K1, K2, K3, вычислим значение критерия (33) для k+1 такта: J(k +1) = М {xT (k)^T (k)£(k)x(k) + xT (k)^T (k)^2 (k)x(k - h) + xT (k)^T (k)BK0*w(k) + +xT (k)^T (k)^3 (k)z + xT (k)фT (k)фx(k) + xT (k)фT (k)ф2 (k)x(k - h) + +xT(k)фT(k)£ B,QIK*)w(k) + xT(k)фT(k)£ B,e,K3*z + xT(k -h)^T(k)^(k)x(k) + i=1 i=1 +xT (k - h)^T (k )^2 (k) x(k - h) + +xT (k - h)^T (k) BK0* w(k) + xT (k - h)^T (k )^3 (k) z + xT (k - h)фT (k )q

Скачать электронную версию публикации