The construction of the gamma degradation model with covariates.pdf В современном мире большое внимание уделяется вопросам контроля качества и исследования надежности технических устройств, особенно если от их работоспособности зависит жизнь и здоровье человека. Если речь идет о высоконадежных изделиях, то данных об отказах таких изделий может быть недостаточно для оценки функции надежности, поскольку в период проведения эксперимента наступление отказов наблюдается крайне редко. Существует два возможных способа получить дополнительную информацию о надежности изделий: первый заключается в проведении ускоренных испытаний, когда изделия подвергаются повышенным нагрузкам, в результате чего отказы наступают раньше; второй способ состоит в измерении значений некоторого показателя, характеризующего процесс деградации (старения) изделия. При этом момент времени, когда значение деградационного показателя достигает критического уровня, считается временем наступления отказа. Оба подхода можно совместить, наблюдая процессы деградации и наступление отказов изделий, эксплуатирующихся при повышенных нагрузках. В качестве нагрузок могут выступать температура, давление, напряжение, механические нагрузки и др. Проанализировав полученные данные о деградации изделия, для получения оценки надежности (прогноза) и проведения дальнейших исследований необходимо построить деградационную модель. При построении моделей деградации учитывается распределение и функция тренда приращений показателя старения, а также функция влияния объясняющих переменных - функция от ковариат. В большинстве работ по исследованиям деградационных процессов в качестве распределения приращений показателя старения рассматриваются либо гамма-распределение (гамма-процесс) [1], либо нормальное распределение (винеровский процесс) [2,3]. Это обусловлено тем, что данные распределения являются устойчивыми относительно суммирования (воспроизводимыми), и за счет этого можно легко определить распределение исследуемой случайной величины - показателя деградации в некоторый момент времени, а затем оценить вероятность безотказной работы. В настоящей статье рассматриваются вопросы построения деградационной гамма-модели как наиболее часто используемой при описании реальных данных. Так, например, в [4] сравниваются де-градационные гамма- и винеровская модели на примере исследования надежности арсенид-галлиевых лазеров; авторы [5] используют деградационную гамма-модель для описания износа автомобильных тормозных колодок; в [6] рассматривается пример моделирования зависимости износа автомобильной шины от нагрузок с использованием гамма-модели. Различные виды деградационных моделей на основе гамма-распределения представлены в работе [7]. Основной проблемой использования деградационной гамма-модели является отсутствие математического аппарата для проверки статистической гипотезы о виде модели, в то время как проверка гипотезы о согласии является обязательным этапом построения вероятностных моделей. В данной работе предлагается подход к проверке статистической гипотезы о виде деградационной гамма-модели надежности с учетом влияния объясняющих переменных, предусматривающий исследование методами компьютерного моделирования распределений статистик критериев согласия в интерактивном режиме проверки гипотезы. В качестве критериев согласия предлагается использовать непараметрические критерии типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга. Приводится пример построения деградационной гамма-модели надежности по данным об углеродистых резисторах. 1. Деградационная гамма-модель надежности Случайный процесс Z(t), характеризующий процесс деградации исследуемых изделий, называется деградационным гамма-процессом с параметром формы v(t) и параметром масштаба о, если 1) Z (0) = 0; 2) Z(t) является случайным процессом с независимыми приращениями; 3) приращения AZ (t) = Z (t + At) - Z (t) подчиняются гамма-распределению с функцией плотности ( t \AV(t)-1 Q-t'a fGamma (t; а,Av(t) у а J агАЩ, где Av(t) = v(t + At) - v(t) - параметр формы и а > 0 - параметр масштаба. Пусть деградационный процесс наблюдается при некоторой постоянной во времени нагрузке (ко-вариате) х, диапазон значений которой определяется условиями эксперимента и представляет собой отрезок числовой прямой. Влияние ковариаты х на изменение показателя деградации будем учитывать так же, как это делается в модели ускоренных испытаний [8]: ( t Zx (t) = Z r (x;P) где r(x; в) - положительная функция от ковариат. Существует множество моделей функций от ковари-ат. Наиболее популярные из них [9]: - логлинейная модель вида r(х;') = е'0+'1' применяется, например, для анализа данных усталости при тестировании различных электронных компонент; - модель правила мощности в форме r(х;') = е'0+в1пх используется в случаях, когда воздействием являются напряжение, механическая нагрузка; - модель Аррениуса вида r(х; в) = ево+'1'х применяется, когда в качестве нагрузки выступает температура. Обозначим условное математическое ожидание случайного процесса Zx (t) через M (Zx (t)) = mx (t), ( t ^ где mx (t) = av - - положительно определённая, возрастающая функция. Будем называть ее I r (х;') J функцией тренда показателя деградации. В качестве функции тренда могут использоваться такие параметрические модели: ( t Л* 2) mx y)= -- , Yo > Ir(x;P) ( ( . \Y1 Л 3) mx y) = yo 1 _ e vr(x;P) Yo > 0, Y1 > 0. Несложно показать, что при выполнении сформулированных предположений случайный процесс Zx (t) в некоторый фиксированный момент времени t = tk представляет собой случайную величину, имеющую гамма-распределение с параметром масштаба о и параметром формы, равным -x ( k). Врео мя безотказной работы, которое зависит от ковариаты x, представляет собой величину Tx = sup{t: Zx (t) < z}, где z - критическое значение показателя деградации, при достижении которого фиксируется отказ объекта. Тогда функция надёжности для рассматриваемой деградационной гамма-модели принимает вид Sx (t) = P{Tx > t} = P{Zx (t) < z} = FGa--a ( z; о,Л . (1) Пусть для каждого из n случайно отобранных из генеральной совокупности объектов известно изменение показателя деградации во времени в виде случайного процесса Z2 (t), а также соответствующая величина нагрузки (ковариаты) x1, при которой эксплуатировался 1-й объект, 1 = 1, n . Обозначим измерения показателя деградации для 1-го объекта через z1 ={(0, Z 0 ),(t1, Z1 ),...,(^, Zikj)}, где kt - число измерений деградационного показателя во времени. Без потери общности будем считать, что начальное значение показателя старения Z0 = 0, 1 = 1, n . Обозначим выборку приращений через Xn ={({Х1 = Z1 _ Z)_1, j = ^ , x1),..., (X = Zn _ ^ j = 1,kn} , xn )} . Предполагая, что наблюдаемые случайные процессы Z'xi (t), 1 = 1, n, подчиняются деградационной гамма-модели с математическим ожиданием -x (t; в, y) , по выборке Xn можно оценить неизвестные параметры модели (параметр масштаба о, параметры функции тренда y (если таковые присутствуют в модели) и регрессионные параметры в) и построить прогноз времени безотказной работы с заданной вероятностью при заданных значениях ковариаты. Оценка максимального правдоподобия (ОМП) вектора параметров вычисляется в результате максимизации функции правдоподобия: lnL(Xn) = £ s ln fGam-a (Xj; о, pj) ^ max, (2) 1=1 j=1 о, Y,P H0: Xj ~ FGamma (t; CT, pj), i =1,n, j =1,k, (3) mxi (tj; у, p) - mxi (tj^ yj) где p j =-, символ ~ обозначает то, что случайная величина имеет указанное J CT распределение вероятности. Для проверки гипотез о согласии по выборкам независимых одинаково распределенных случайных величин существует целый ряд критериев, таких как критерии типа хи-квадрат, непараметрические критерии согласия Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга и многие другие. Однако к выборке приращений Xn классические критерии согласия неприменимы, поскольку элементы данной выборки в общем случае не являются одинаково распределенными. Введём следующее преобразование приращений деградационного показателя: Rj = FGamma (Xj; pj X i = 1 n, j = 1 k, . При справедливости гипотезы H0 Rj ~ Uniform(0,1), i = Щ, j = Ik, . Таким образом, задача проверки гипотезы H0 сводится к проверке гипотезы о равномерном распределении случайных величин Rj , i = 1, n, j = 1, kt . Для проверки данной гипотезы применим критерий согласия типа Колмогорова, Крамера-Мизеса-Смирнова и Андерсона-Дарлинга. Обозначим через R*) < R*2) < ... < R*N), N = 2k, элементы вариационного ряда, построенного по i=1 выборке RN = {Rj ,i = 1П, j = 1k"}. В критерии типа Колмогорова в качестве расстояния между эмпирическим и теоретическим законами распределения используется статистика с поправкой Большева [10] вида _ = 6 NDn +1 Sk = 64N , где Dn = max(DN, DN), D+= max J - R*) 1 DN = max J R*) - 1 1

Скачать электронную версию публикации