Spline-wavelets, orthogonal to polynomials, and optimization of calculations of wavelet-transformation.pdf Кубические сплайны гладкости C2 завоевали общее признание в среде инженеров-дорожников как адекватный способ математического представления пикетного метода трассирования реконструируемых автомобильных дорог [1-4]. Перспективы использования здесь эрмитовых сплайнов состоят в том, что они позволяют в явном виде, через значения сплайн-коэффициентов, учесть геометрические ограничения как на контрольные точки (пикеты автомобильной трассы), так и на тангенсы трассы (заданные направления касательных при въезде на мостовое сооружение или примыкание) и радиусы закруглений (заданные значения кривизны на разгонных и тормозных участках трассы). В работах [5, 6] были построены мультивейвлеты эрмитовых сплайнов пятой и третьей степени, которые ортогональны любым многочленам той же степени. В представленной статье получено матричное решение для коэффициентов мультивейвлетов произвольной нечетной степени, ортогональных многочленам той же степени. Предложена эффективная его модификация, которая позволяет воспользоваться для численного решения хорошо разработанным методом матричной прогонки [7. С. 103]. 1. Построение системы базисных сплайн-мультивейвлетов на конечном отрезке Пусть на отрезке [a, b] задана вложенная последовательность равномерных сеток AL : x, = a + h • i, i = 0, 1,..., 2L, h = (b - a) / 2L, L > 0. Если базисные функции NLikk (x) = фк (v - i), k = 0, 1, ..., r Vi, где v = (x - a) / h с центрами в узлах сетки AL порождены сжатиями и сдвигами r+1 функций вида [8. С. 82]: фк (t) = № Щ Н)при -1 * t < а (t) при 0 < t < 1, r+l r-k (r + R)l где &k (t) = (1 - ty+ -- tk+^, k = 0,1,^,r, то, при условии отсечения выступающих за концы отр=0 k!Р!r 1 резка половинок функций ф0(0, ., фr(t), полученное пространство VL является пространством эрмитовых сплайнов степени 2r+1 гладкости Cr. Поскольку сетка AL1, L > 1, получена из AL посредством удаления каждого второго узла, то соответствующее пространство VL-1 с базисными функциями NL-1ik с носителями, в два раза большими по ширине, и центрами в четных узлах сетки AL вложено в VL. Остаток WL-1 от разности пространств VL и VL-1 размерности (r+1)(2L+1-2L-1-1) = (r+1)2L1 называется пространством мультивейвлетов. Будем искать базисные мультивейвлеты MLik (x), k = 0, 1, ..., r Vi, как линейные комбинации базисных эрмитовых сплайнов на сетке AL+1, удовлетворяющие условиям ортогональности многочленам 2г+2-го порядка, т. е. b J Mfk (x)xmdx = 0, k = 0,1,..., rVi (m = 0,1,..., 2r +1), (1) a и имеющие минимальные из возможных носители. Теорема. Пусть задан отрезок [0, 2L+1], L > 0, с сеткой AL+1 : xi = i, i = 0, 1,..., lL+l, с единичным шагом h = 1, и разложения базисных мультивейвлетов имеют вид MLk (x) = £ £ ajФ/ ( - j), t = (x - x2i), -1 < t < p +1. (2) l=0 j=0 Тогда при условии p = 2 три матрицы R0, R1, R2 размерности (2r + 2) x (r +1) заданы элементами j+1 Rj/i = J Ф/(2t- j)tmdt, j = 0,1,2, l = 0,1,.,r, m = 0,1,...,2r +1, j-1 каждый из r+1 столбцов блочной матрицы |A0nner /A'2iner J = -[R0 | R2]-1 R1 дает значения коэффициентов aj, j = 0,2, l = 0,1,.,r, соответствующего k-го базисного мультивейвлета, полностью лежащего внутри отрезка [0, 2L+1], L > 1, а коэффициенты aj = {1, l = k; 0, l Ф k}. При L = 0 элементы матриц R0, R2 вычисляются в пределах интервала [0, 2], а матрица коэффициентов aj, j = 0,2, l = 0,1,., r, обозначены „ Г л center / a center "I г r>0 i n^-1 n1 как | A0 /А2 1 = -[R | R ] R . При L > 0 для крайних слева базисных мультивейвлетов элементы матрицы R0 вычисляются по укороченному слева интервалу 1 Rm,l = J Фl (21)tmdt, l = 0,1,., r, m = 0,1,. ,2r +1, 0 а коэффициенты разложения (2) aj, j = 1,2, l = 0,1,.,r, даются значениями столбцов матрицы ^A}eft/А2й J = -[R1 | R2]-1 R0 при условии, что коэффициенты a0 = {1, l = k; 0, l Ф k}. Для крайних справа базисных мультивейвлетов элементы матрицы R2 вычисляются по укороченному справа интервалу 2 Rm,l = J Ф/ (2t - 2)tmdt, l = 0,1,., r, m = 0,1,.,2r +1, 1 а коэффициенты разложения (2) alj, j = 0,1, l = 0,1,.,r, даются значениями столбцов матрицы [A£ght/A[ight J = -[R0 | R1]-1 R2 при условии, что коэффициенты a2 = {1, l = k; 0, l Ф k}. Система функций MLik (x), k = 0, 1,...,r, i = 1,2,.,2L, удовлетворяет условиям (1) с носителями не более чем из двух шагов сетки AL+1 и образует базис в пространстве WL, L > 0. Доказательство. а) Пусть L > 1 и носители мультивейвлетов [x2i-i, x2i+p+i], p > 1, полностью располагаются внутри отрезка [0, 2L1]. Приp > 1 для всех i = 1,2,.,2L-1-[p/2] имеет место разложение (2). Подставим его в (1) и вычислим все необходимые интегралы, учитывая при этом, что подынтегральные выражения обращаются в нуль вне носителей вейвлетов. Условия ортогональности (1) определяют однородную систему 2r+2 уравнений метода моментов [9. С. 42] относительно коэффициентов мультивейвлета MLjk(x). В силу линейной независимости на интервалах [x2i-1, x2i+p+1] пробных функций N2+1 k (x), l = 0,., r, j = 0,1,., p, и поверочных функций xm, m = 0,1,., 2r+1, ранг полученной системы равняется min[2r+2, (r+1)(p+1)]. Если предположить, что носитель мультивейвлета равен трем шагам сетки AL+1, т.е. p = 1, то однородная система становится квадратной и, будучи невырожденной, может иметь только тривиальное решение. Поэтому будем далее считать, что носитель мультивейвлета равен четырем шагам сетки AL+1, т.е. мультивейвлет построен из 3r+3 базисных сплайнов. В этом случае ранг матрицы равен 2r+2. Поэтому однородная система 2r+2 уравнений с 3r+3 неизвестными имеет r+1 линейно независимых частных решений. При этом количество полученных для каждого номера i мульти-вейвлетов, полностью лежащих внутри отрезка [0, 2L1], равно (r+1)(2L-2) = (r+1)2L- 2(r+1), что на 2(r+1) меньше разности между размерностями пространств VL+1 и VL: (r+1)(2L1+1) --(r+1)(2L+1) = (r+1)2L. Вблизи концов отрезка интервалы интегрирования не выходят за пределы отрезка. Поэтому с учетом того, что по краям отрезка от выступающих за концы отрезка функций ф0 (t), ..., фг (t) остается по половинке, граничные мультивейвлеты отличаются от мультивейвлетов, предложенных выше, при условии ортогональности многочленам 2г+1-й степени. Аналогичные рассуждения приводят к двум системам линейно независимых функций MLik (x), k = 0, 1,.,r, отдельно на левом и на правом концах, дополняющих до базиса построенную выше мультивейвлет-систему. б) Пусть L = 0. Вычисления снова дают r+1 линейно независимых частных решений, которые образуют базис в пространстве V1 - V0 с размерностью (r+1)3-(r+1)2 = (r+1). в) Окончательно, в соответствии с правилами линейной алгебры выписываются матричные формулы для вычисления коэффициентов эрмитовых мультивейвлетов нечетной степени. Теорема доказана. 2. Построение и обращение блока фильтров

Скачать электронную версию публикации