Conditions for the product form of the stationary probability distribution of Markovian resource loss systems.pdf В классических системах массового обслуживания (СМО) приборы и места ожидания играют роль ресурсов, необходимых для обслуживания заявок. В ресурсных СМО (РСМО) кроме приборов и мест ожидания заявкам могут потребоваться некоторые дополнительные ресурсы. Это может быть некоторый случайный объем ресурса, занимаемый на время ожидания начала обслуживания, либо на время обслуживания, либо на все время пребывания заявки в системе. Объемы доступных заявкам ресурсов обычно ограничены, и в РСМО с потерями поступившая заявка теряется, если у системы недостаточно свободных ресурсов. Такая модель хорошо подходит для анализа различных технических систем, и к настоящему времени опубликовано большое количество работ, анализирующих РСМО (см. обзоры [1, 2]). В подавляющем большинстве опубликованных случаев стационарное распределение процесса, описывающего состояние системы и объемы занятых заявками ресурсов, обладает свойством мультипликативности. Возникает естественный вопрос выяснения условий, при которых мультипликативность стационарного распределения имеет место. В настоящей работе рассматривается марковская модель РСМО с потерями, являющаяся частным случаем общей модели [3], и анализируются условия мультипликативности стационарного распределения описывающего ее случайного процесса. В следующем разделе описывается поведение общей РСМО с потерями. В разделе 2 рассматривается марковская модель СМО с неограниченными ресурсами, а в разделе 3 - марковская модель СМО с ограниченными ресурсами. В разделе 4 получены условия мультипликативности стационарного распределения состояния системы и занятых заявками ресурсов. В качестве примера в разделе 5 исследуется стационарное распределение РСМО MAP/M/L/0 c марковским поступающим потоком и экспоненциально распределенной длительностью обслуживания. Жирные строчные буквы обозначают векторы, а жирные прописные буквы - матрицы. Запись х < у означает, что хт < ут для всех т, и х >- у означает, что по крайней мере для одной компоненты т выполняется строгое неравенство хт > ут . Для вектора, каждая т-я компонента которого является минимумом из чисел хт и ут. принято обозначение х л у. JR+ обозначает множество неотрицательных действительных чисел. 1. Описание ресурсной СМО Рассмотрим СМО, которую можно описать некоторым случайным процессом X(t) c пространством состояний X , траектории которого непрерывны справа и имеют пределы слева. Будем считать, что процесс X(t) достаточно детально описывает систему и для любого ее состояния i е X всегда можно определить число заявок, находящихся в системе, которое обозначим 9(i) . Емкость СМО обозначим L, так что число заявок в системе никогда не превосходит L. Предположим также, что система открыта, т.е. в нее поступают и из нее уходят заявки, причем поодиночке, а не группами. Обозначим 0 < < а2

Скачать электронную версию публикации