Optimal state estimation of semi-synchronous events flow of the second order under conditions of unextendable dead time.pdf При описании и анализе реальных экономических, технических, физических и других процессов часто возникает необходимость применять математические модели теории массового обслуживания (ТМО). В настоящее время в связи с бурным развитием информационных технологий важнейшими сферами приложений ТМО являются проектирование и создание цифровых сетей интегрального обслуживания (ЦСИО). Так как на практике параметры, определяющие поток событий, как правило, случайным образом изменяются со временем, то адекватными математическими моделями информационных потоков сообщений, функционирующих в ЦСИО, являются дважды стохастические потоки событий [1-8]. В данных потоках событий не только случайны моменты наступления событий, но и интенсивность потока представляет собой случайный процесс, т.е. имеет место двойная стохастика. Объектом изучения настоящей работы является полусинхронный поток событий второго порядка. В большинстве случаев рассматриваются модели входящих потоков событий, когда события потока полностью наблюдаемы. Однако на практике любое регистрирующее устройство затрачивает некоторое время на регистрацию события, в течение которого оно не способно обработать следующие события, т.е. событие, поступившее на прибор, порождает период мертвого времени [9], в течение которого другие наступившие события потока недоступны для наблюдения. Принимается, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродлевающееся мертвое время). Основными задачами при изучении дважды стохастических потоков событий являются следующие: 1) оценка состояний потока [10-12]; 2) оценка параметров потока [13-19]. В настоящей работе предлагается алгоритм оптимального оценивания состояний рассматриваемого потока в условиях его неполной наблюдаемости методом максимума апостериорной вероятности [20]. Применение данного метода обусловлено тем, что апостериорная вероятность является характеристикой, обладающей наиболее полной информацией об исследуемом процессе, содержащейся в выборке наблюдений, а также в силу того, что метод максимума апостериорной вероятности обеспечивает минимум полной вероятности ошибки принятия решения [21]. Данная статья является непосредственным развитием работ [11, 12]. 1. Постановка задачи Рассматривается стационарный режим функционирования полусинхронного дважды стохастического потока событий второго порядка (поток), сопровождающий случайный процесс которого X(t) является кусочно-постоянным с двумя состояниями 5*1 и S 2 . Длительность интервала между событиями потока в первом состоянии определяется случайной величиной ^ = min(^(1), ^(2)), где случайная величина (1) имеет функцию распределения F (1)(t) = 1 - e~Xlt, случайная величина ^(2) - функцию распределения F(2)(t) = 1 - e_a1t; (1) и ^(2) - независимые случайные величины. Таким образом, длительность интервала между событиями потока в первом состоянии процесса X(t) является случайной величиной с функцией распределения F (t) = 1 - e +a1 )t. В момент наступления события потока процесс X(t) переходит из первого состояния во второе либо с вероятностью P1(1)(X 2 | X1), либо с вероятностью P1(2)(X 2 | X1) в зависимости от того, какое значение приняла случайная величина ^ . В момент наступления события потока процесс X(t) остается в первом состоянии либо с вероятностью р (1)(X | X ), либо с вероятностью р (2)(Xj | X ) в зависимости от значения случайной величины ^ . Здесь P1(1)(X 2| X1) + P1(1)(X1 | X1) = 1, P1(2)(X 2 | X1) + P1(2)(X1 | X1) = 1. Длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии есть случайная величина с функцией распределения F2(t) = 1 - е~а2 . В течение времени пребывания процесса X(t) во втором состоянии имеет место пуассоновский поток событий с параметром X 2 . В последующем изложении полагается, что имеет место состояние Si (i -е состояние) процесса X(t), если X(t) = Xi, i = 1, 2; X1 >X2 > 0. Матрицы инфинитезимальных характеристик процесса X(t) имеют вид: Xр(1)(X | X)+aP(2)(X | X) XP(1)(X2 | X)+aP(2)(x2 | X) 0 X2 - (X1 + a1) 0 a2 - (X2 +a 2) , D = D = Элементами матрицы D являются интенсивности переходов процесса X(t) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события; диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процесса X(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает период мертвого времени фиксированной длительности T, в течение которого другие события рассматриваемого потока являются недоступными наблюдению (теряются). По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности T (непродлевающееся мертвое время) и т.д. Для наглядности на рис. 1 приведен пример возникающей ситуации, где ^, t2, ... - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке; периоды мертвого времени длительности T обозначены штриховкой; черными кружками обозначены события полусинхронного потока второго порядка, недоступные наблюдению. Процесс X(t) является марковским. Поскольку X(t) является принципиально ненаблюдаемым, наблюдаются только моменты времени наступления событий t1 , t2 , ., то X(t) - скрытый марковский процесс или ненаблюдаемый сопровождающий марковский процесс. Требуется по наблюдениям ^, t2, ... за потоком событий на временном интервале (t0, t) оценить состояние процесса X(t) (потока) в момент окончания наблюдений t, где 10 - момент начала наблюдений. Без ограничений общности можно положить t(j = 0 . Полусинхронный поток событии второго порядка ... 1 "L,L"" Ъшттттт-jy/jy//////'////////// mknn ^ШТ/ГШ/ -.,„,„„„ -„,,,,,„.,--уТТТТТТТТ-ТТТТТТТ -jr^ j Схема оозданря мертвого времени j ... - _Ь * " ' ь '_ь. h ti h tA h '7 • • • ' Наблюдаемый поток событий Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Fig. 1 • Formation of the observed event flow Для вынесения решения о состоянии процесса X(t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности w(Xt11) = w(Xt | t1,...fm,t) = P(X(t) = Xi | tl,...,tm,t), i = 1,2, того, что в момент времени t значение процесса X(t) = Xi (m - количество событий потока за время t), при этом w(X1 11) + w(X2 11) = 1. Оптимальное оценивание по критерию максимума апостериорной вероятности выглядит следующим образом: если w(Xt 11) > w(Xj 11) , i, j = 1,2 , i ф j , то оценка состояния процесса есть X(t) = Xi, иначе X(t) = X j , i, j = 1,2 . 2. Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока событий второго порядка Момент вынесения решения t принадлежит интервалу (tk, tk+1) , к = 1,2,..., между соседними событиями наблюдаемого потока. Для начального интервала (t0,t{) момент t лежит между началом наблюдения и первым событием в наблюдаемом потоке. Рассмотрим интервал (tk,tk+1) , значение длительности которого есть xk = tk+1 - tk, к = 0, 1,... . Однако, так как наблюдаемое в момент tк событие порождает период мертвого времени длительности T, то хк = T + цк , где цк - значение длительности интервала между моментом окончания периода мертвого времени tk + T и моментом tk+j, т.е. интервал (tk, tk+0 разбивается на два смежных: полуинтервал (tk, tk + T] и интервал (tk + T, tk. Отметим, что условия нахождения апостериорной вероятности w(X1 11) на данных интервалах разные, так как на полуинтервале (tk, tk + T] поток недоступен наблюдению, а на интервале (tk + T, tk+1) поток наблюдаем. 2.1. Выражения для апостериорной вероятности в условиях отсутствия мертвого времени Рассмотрим ситуацию, когда T = 0, т.е. мертвое время отсутствует. В работе [11] сформулирован алгоритм расчета апостериорной вероятности w(X111) для данного случая. Лемма 1. На временных интервалах (0, t1) и (tk, tk+l), к = 1,2,..., апостериорная вероятность w(X1 11) удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати: (1) dw(Xi \t) = ^ -X2 +a,1)w2(X1 11) - (Xx -X2 +ax +а2^(Хх 11) + а2 . dt Лемма 2. Апостериорная вероятность w(X1 \ t) в момент tk, к = 1,2,..., наступления события полусинхронного потока второго порядка определяется формулой пересчета „

Скачать электронную версию публикации