Estimation of the uniform distribution parameter of unextendable dead time duration in a generalized recurrent asynchron.pdf Подавляющее число статей прошлого века посвящено изучению систем и сетей массового обслуживания (СМО, СеМО) с входящими простейшими потоками событий (сообщений, запросов, заявок). Однако в связи с интенсивным развитием (с конца прошлого века) телекоммуникационных сетей, беспроводных и мобильных сетей связи математическая модель простейшего потока перестала быть адекватной реальным информационным потокам запросов. Требования практики послужили стимулом к использованию дважды стохастических потоков в качестве математической модели реальных потоков запросов в телекоммуникационных системах и сетях. Подчеркнем, что основным свойством дважды стохастических потоков является их коррелированность. Термин «дважды стохастические потоки» связан с тем, что события потока наступают в случайные моменты времени, а интенсивность потока представляет собой случайный процесс. В связи с этим дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: первый класс составляют потоки, интенсивность которых есть непрерывный случайный процесс [1, 2]; второй - потоки, интенсивность которых есть кусочно -постоянный случайный процесс с конечным числом состояний. Впервые результаты исследований потоков второго класса опубликованы практически одновременно, в 1979 г., в работах [3, 4] и работе [5]. В [3, 4] отмеченные потоки получили название MC(Markov ейаіп)-потоки. В [5] - MVP(Markov versatile pгocesses)-потоки. В работе [6] эти потоки называются также MAP(Markovian Arrival Process)-потоками событий. Подчеркнем, что MC-потоки событий являются наиболее характерной и подходящей математической моделью потоков в реальных телекоммуникационных сетях, в частности в широкополосных сетях беспроводной связи вдоль протяженных транспортных магистралей [7-11]. Большинством авторов исследования СМО и СеМО осуществляются в условиях, когда все события входящего дважды стохастического потока доступны наблюдению. В реальности же зарегистрированное событие может создать период мертвого времени для регистрирующего прибора [12], в течение которого другие события потока становятся ненаблюдаемыми для регистрирующего прибора (теряются). В этой связи можно считать, что мертвое время выступает искажающим фактором при решении различного рода задач оценивания по измерениям моментов наступления наблюдаемых сообщений исходного дважды стохастического потока (эффект мертвого времени влечет за собой потери событий исходного потока, что отрицательно сказывается на решении задач оценивания). Все 53 Л.А. Нежельская, А.А. Першина устройства регистрации делятся на две группы [13]. Первую группу составляют устройства с непродевающимся мертвым временем, вторую - устройства с продлевающимся мертвым временем. Период ненаблюдаемости событий потока (период мертвого времени) может продолжаться некоторое фиксированное время, а также может быть случайным. В настоящей работе в качестве искажающего фактора рассматривается непродлевающееся случайное мертвое время. В настоящее время в мировой литературе имеется, по-видимому, единственная монография [14], где приведено систематизированное изложение теории очередей с коррелированными (дважды стохастическими) потоками применительно к телекоммуникационным сетям. Подчеркнем, что изложенная в [14] теория и ее применение в телекоммуникационных сетях рассмотрены без искажающих факторов (непродлевающегося либо продлевающегося мертвого времени), воздействующих на входящий дважды стохастический поток событий. Математические модели дважды стохастических потоков событий с непродлевающимся детерминированным мертвым временем широко использовались и используются при решении задач оценивания состояний и параметров дважды стохастических потоков событий по измерениям моментов наступления событий наблюдаемых потоков [15-21]. Однако достаточно открытым остается вопрос изучения дважды стохастических потоков событий, когда мертвое время является случайной величиной. Здесь отметим работу [22], в которой решается задача оценки параметров асинхронного потока событий в условиях случайного мертвого времени, работу [23], в которой решается задача оценки параметра распределения непродлевающегося случайного мертвого времени в пуассоновском потоке, и работу [24], в которой находятся формулы для начальных моментов общего периода ненаблюдаемости в пуассоновском потоке событий при продлевающемся случайном мертвом времени. В настоящей статье рассматривается рекуррентный обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий (рекуррентный обобщенный MMPP-поток), являющийся обобщением асинхронного потока событий [25], функционирующий в условиях непродлевающегося случайного мертвого времени. Случайное мертвое время распределено по равномерному закону. На параметры обобщенного асинхронного потока событий накладываются ограничения, приводящие его к рекуррентному потоку (изучаются общий и особый случаи). Данная статья непосредственно примыкает к исследованиям, проведенным в [26, 27]. 1. Математическая модель наблюдаемого потока Рассматривается рекуррентный обобщенный асинхронный дважды стохастический поток событий, сопровождающий процесс которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями Х1 и Х2 (Х1 > Х2 > 0). В течение временного интервала, когда X(t) = Х-, имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью Х-, i = 1, 2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе (из второго в первое) может осуществляться в произвольный момент времени, не связанный с моментами наступления событий пуассоновского потока интенсивности Х-, i = 1, 2 (свойство асинхронности потока). При этом длительность пребывания процесса X(t) в i-м состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром a-, i = 1, 2. При переходе процесса X(t) из первого состояния во второе инициируется с вероятностью p (0 < p < 1) дополнительное событие во втором состоянии. Наоборот, при переходе процесса X(t) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью q (0 < q < 1) дополнительное событие в первом состоянии. В сделанных предположениях X(t) - скрытый (принципиально ненаблюдаемый) марковский процесс. После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мертвого времени случайной длительности, так что другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мертвого времени (периода ненаблюдаемости), недоступны наблюдению (теряются) и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Принимается, что случайная длительность мертвого времени распределена по равномерному закону с плотностью p(T)=1 /T*, 0 < T < T*. В результате формируется наблюдаемый поток событий, отличный от исходного (часть событий исходного потока теряется). 54 Оценивание методом максимального правдоподобия параметра распределения случайного мертвого времени Рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока событий (переходными процессами на полуинтервале наблюдения (to, t], где to.- начало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем). Необходимо в момент времени t на основании выборки ti, t 2, ..., tn (tn < t) наблюденных моментов наступления событий оценить методом максимального правдоподобия параметр T (МП-оценка). 2. Приближенная МП-оценка параметра T в общем случае Предварительно отметим, что в [28] получены результаты по оценке параметра T для коррелированного обобщенного асинхронного потока событий при непродлевающемся случайном мертвом времени. Для того чтобы перейти от коррелированного потока к рекуррентному, необходимо установить условия рекуррентности, при которых коррелированный поток становится рекуррентным. В [29] получены условия рекуррентности для наблюдаемого потока: 1) - pqaai = 0, 2) А - А2 + pa1 - qa2 = 0, 3) А - А2 + qa1 - pa2 = 0, когда T - детерминированная величина, т.е. при выполнении одного из этих условий коррелированный наблюдаемый поток становится рекуррентным. Обозначим = tk+j - tk, k = 1, 2, ..., значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0).Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности k-го интервала есть p(ik ) = р(т) , т > 0, для любого k в наблюдаемом потоке событий. В силу этого момент времени tk без потери общности можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0. В [29] с учетом первого условия рекуррентности получено выражение для условной плотности вероятности р(т | T), когда длительность мертвого времени является детерминированной величиной: p(т | T) = 0, 0 < т< T; p(x | T) = y(T)zjz1) + [1 - y(T)]z2e~2Т) ,т > T; 7(T) = [ z2 - (А1 + pa1)MT) - (А2 + qa2)n2(T)]/(z2 %1(T) = %i 1 + a А1 - А 2 + q a1 - pa 2 -(a1+a2) T \\a2 + A2a2 + (p + q) axa2 Z1); Z2 - Z1 Ф 0 ; %2(T) = 1 - %1(T) ; (1) ^1 =a2/(a1 +a2), ^ = 1 - ^; 1 1,2 2 L Тогда плотность p(t) примет вид: (Aj +aj + A2 + a2) + ^J(X1 - A2 +aj -a2)2 +4a1a2(l - p)(l - q) 0 < z1 < z2 . p1 (т) = Jp(T)p(T | T)dT, 0 < т < T*; p(t) = J p(T)p(t | T)dT = < (T) 0 T (2) p2 (т) = J p(T)p(t | T)dT, т> T . 0 Подставляя в (2) выражение (1), учитывая, что p(T)=1/T*, находим p1 (т) = ^[1 - e-^ - e_Z2X + e“(a1+a2)xJ , 0< т < T*; 1 (3) p2 (т) = T (Z2 - Z1)(a1 +a2) |^-(a1 +a2)(z2 - z1) + z2(a1 +a2 - z1)ez]T - z1(a1 +a 2 - z2) x xe -( a1+a2-Z1 )T (a +a2)(^ - z) + z (a +a2 - z2 )ez2T - (4) -z2(a1 +a2 - z1) e~( a1+a2-* 1 e~ ^т}, т > T*. 55 Л.А. Нежельская, А.А. Першина о T * О Отметим, во-первых, что Jp(x)dx = J p(x)dx + J p2(x)dx = 1, во-вторых, limpl(x) = p2(T*) с C T* ?к я< при x -- T - C, т.е. в точке x = T плотность p(x) является непрерывной функцией переменной т, в-третьих, limp](x) Ф p'2(T*) при т - T - C, т.е. в точке т = T плотность p(x) претерпевает излом. В упомянутых выше статьях [26-28] для нахождения оценки параметра T был использован метод моментов [30-32]. В настоящей статье для случая рекуррентного обобщенного асинхронного потока событий для оценки параметра T воспользуемся методом максимального правдоподобия [31, 32]. Применение последнего оправдано тем, что если параметры потока обеспечивают реализацию одного из условий рекуррентности, например первого, то случайные величины - длительности интервалов между соседними событиями потока - становятся взаимонезависимыми. Пусть в процессе наблюдения за потоком на полуинтервале времени (to, t] измерены n значений: ті, Т2, ..., Tn. Тогда функция правдоподобия запишется в виде: L(Г* I ті,т2,...,х„) = П p(Tk | T*) , T* > 0. (5) k=1 где p(Tk | T) - плотность вероятности, определенная формулами (2), (3), (4) в которых т = Tk (тк - измерения), T - переменная величина (T > 0). С учетом (3), (4) выражение (5) примет вид: L (T 1 т1, Tn ) = L1 (T* 1 T1. т2,•••, Tn ) L2 (T* 1 T1. т2,•••, Tn ) ; L (T 1 x^T2,-, т„)- П p1 (Tk 1 T ) , L2 (Г* т1,Х2,...,Х„ )= П p2 (тк 1 T*) . (6) k:xk Т * Ѵ ’ Упорядочим величины тк, k = 1,n , по возрастанию: C < т(1) < т(2) |T •), k=1 k=3 < x(1); (1) < T*

Скачать электронную версию публикации