Statistical properties of price sensitivity meter results for linear relationship between observations with symmetry.pdf В экономике существует несколько подходов к ценообразованию [1], однако большинство предприятий при назначении цены ориентировано на затраты, что не всегда позволяет обоснованно установить такую цену, которая была бы привлекательна для потребителя [2]. В [3] при исследовании около 2 500 компаний было показано, что повышение точности в назначении цены на 1% приводит к 11,1% роста прибыли компании, при этом восприятие цены потребителем гораздо важнее, чем сама цена. Для установления оптимальной с точки зрения спроса цены в зарубежной практике очень активно используются методы ценообразования, ориентированные на спрос [4-6]. Одним из таких методов является метод PSM (Price Sensitivity Meter), предложенный Питером Ван Вестендорпом [7, 8]. Метод PSM основан на анализе потребительских предпочтений относительно цены на товар, которые высказываются представителями целевой аудитории после использования товара в течение некоторого периода времени. Асимптотические свойства классического метода PSM исследовались в работе [9], показано, что в качестве ценовых границ можно использовать медианы попарно объединенных данных о ценовых предпочтениях, доказаны состоятельность, асимптотическая несмещенность и нормальность оценок. Заметим, что потребители, отвечая на вопросы метода, часто отталкиваются от первоначально названной цены, что приводит к возникновению зависимости в ценовых предпочтениях. Характер зависимости может быть различным. В [10] автором были предложены модификации методов ценовой чувствительности Штоцеля [11], PSM и Ван Вестендорпа на случай линейной зависимости между ценовыми предпочтениями без исследования статистических свойств новых методов. В данной работе этот пробел устраняется для метода PSM. Отдельно рассматривается случай, когда линейно зависимые данные о ценовых предпочтениях обладают свойством симметрии относительно медианы [12], получены точные формулы для искомых цен. Для каждой модификации с использованием результатов [9] показаны состоятельность, асимптотическая несмещенность и нормальность оценок. Доказано, что привлечение дополнительной информации существенно повышает точность оценивания при близком расположении кривых ценовой чувствительности, чего не позволяют достичь классические оценки, рассмотренные в [9]. Для малых выборок свойства метода исследовались с помощью имитационного моделирования, выявлена достаточно медленная сходимость дисперсий к своим асимптотическим значениям, особенно при использовании классических оценок, показано, что в ряде случаев точность модифицированных методов выше по сравнению с классическими. 59 Ж.Н. Зенкова, Н.Р. Цыбульникова В настоящей статье предложена модификация метода PSM, которая, в отличие от классического варианта [9], позволяет получить более точные значения ценовых диапазонов в ситуациях, когда участники фокус-группы дают близкие ответы на вопросы о своих ценовых предпочтениях даже при малых объемах выборок, что является большим преимуществом, так как использование метода PSM весьма затратно. 1. Метод измерения ценовой чувствительности Price Sensitivity Meter (PSM) Согласно алгоритму метода PSM, маркетологом проводится независимый опрос N респондентов - представителей целевой аудитории, которым предлагается на протяжении некоторого периода времени пользоваться исследуемым товаром, после чего они отвечают на четыре вопроса [13]: 1. Ниже какого уровня цены pi товар кажется настолько дешевым, что возникают подозрения, что он некачественный или что перед вами подделка? 2. Какая цена Р2 наиболее приемлема для вас? 3. Какая цена рз кажется высокой, но вы все еще рассматриваете вопрос о покупке? 4. Какая цена рд кажется вам настолько высокой, что вопрос о покупке даже не рассматривается? Допустим, что каждая из исследуемых цен есть случайная величина с функцией распределения F(x)=Р (Pj < x) , j = 1,4 . По каждой выборке PNj-, j = 1,4, строится эмпирическая функция распределения [14] по следующей формуле: 1 N I \\ Fj (х) = 2 ![0,x)(Pkjі (1) N к=1 где I[o x)(у) - индикаторная функция. Для первой и третьей выборок (j = 1, 3) строятся оценки функции выживания [15] Sj (x) = 1 - Fj (x), (2) при этом функции ^ (x), F2 (x), Sj (x), F4 (x) обычно сглаживаются и называются кривыми ценовой чувствительности (в оригинале - Price Sensitivity Curve). Абсциссы их пересечений помогают найти следующие ценовые значения: Pmn = x(12) - минимально возможная цена, или точка предельной дешевизны, - абсцисса пересечения первой и второй кривых. Назначать цену ниже Pmn нельзя, так как объемы продаж при этом будут слишком малы из-за того, что основная масса целевых потребителей не поверит, что товар достаточно качественный или оригинальный (не является подделкой), и это приведет к прямым убыткам; Рбезр = x(23) - ожидаемая цена, или точка безразличия (в англоязычных источниках обозначается как IDP - Indifference Price Point), - абсцисса пересечения второй и третьей кривых. Большинство потребителей не воспринимают такую цену ни слишком дорогой, ни слишком дешевой, она «вызывает безразличие»; Ропт = x(14) - оптимальная цена (OPP - Optimum Price Point, или Penetration Price) - абсцисса пересечения первой и четвертой кривых. В этой точке самое меньшее число потребителей отказываются от покупки товара из-за слишком высокой цены, эту цену считают «ценой проникновения на рынок»; Рщк = x(34) - максимально возможная цена, или точка предельной дороговизны, - абсцисса пересечения третьей и четвертой кривых. Если в погоне за прибылью назначить цену выше Pmax , то можно потерять большинство целевых потребителей, которые просто не в состоянии купить товар по слишком высокой для них цене. Данная стратегия может привести к существенным убыткам. 60 Статистические свойства оценок ценовых значений метода ценовой чувствительности Заметим, что если в результате опросов цена безразличия Рбе3р будет меньше, чем оптимальная Ропт, то это означает, что в исследовании принимали участие достаточно много представителей нецелевой аудитории, которые не разбираются в данном товаре, не имеют заинтересованности в нем и не могут адекватно воспринимать его ценность, поэтому они дают несправедливые, слишком заниженные или завышенные значения цен с большим разбросом. В работе [9] были получены следующие формулы для расчета значений цен, определяемых методом PSM для случая, когда метод базируется на эмпирических функциях распределения без сглаживания: для i = 1, 3 и j = 2, 4: x(j) = < max |x: Fj (x) = St (x) | x: S (x + 0) < F (x) < S (x). (3) Статистические свойства оценок (3) исследовались с использованием функции распределения Gj (x) = F (x) + Fj (x))/2 , так как искомые цены фактически являются решениями уравнений вида Fj (x) = 1 - Ft (x) (4) и являются медианами функции распределения Gj (x). Было показано, что расчет оценок (3) сводится к поиску x(j)+1) - (N + 1)-й порядковой статистики объединенной выборки ^ Pnj объема 2N, оценки являются состоятельными, асимптотически несмещенными и нормально распределенными с асимптотической, нормированной на N дисперсией ѵ2 = ЙоN var (xN+i) } = Fij (xJ ’ xJ )/ (28І (xJ )) ....... (5) где для j = 2, 4 и i = 1, 3 F .(•,•) - совместная функция распределения i-й и j-й цены, gij (x) = ij j = (f. (x) + fj (x))J2 - плотность функции распределения Gj (x), при этом предполагалось, что для m = 1,4 существуют fm(x) - плотности функций распределения Fm(x) и gm(xj)^ 0. 2. Модификация метода PSM на случай линейной зависимости Рассмотрим случай, когда между ценами имеет место линейная зависимость вида Pi = a + biPl, (6) где для i = 1,4 коэффициенты ai и bi известны, a1 = 0, b1 = 1. В результате можно получить следующее равенство: Fi (x) = F1((x - ai V bi), (7) так как Ft (x) = P(pi < x) = P(ai + bi ■ p1 < x) = P(p1 < (x - ai V bi ) = F1((x - ai )/ bi), следовательно, для i = 1, 3 и j = 2, 4 (4) можно представить в виде: F1((x - ajУ bj) =1 - F1((x - a V bi )> аналогично (3) решение этого уравнения определяется как x^j^ - (N + 1)-я порядковая статистика, построенная по объединенной выборке объема 2N, где каждая выборка есть линейная комбинация первой выборки: \\ц + bi • P11,at + bt ■ P21,...,at + bt ■ Pn1,aj + bj ■ Pu,aj + bj ■ P21,...,aj + bj ■ PN1}. Здесь, как и для (3), x(j)+1) является состоятельной, асимптотически несмещенной и нормально распределенной оценкой, нормированная асимптотическая дисперсия которой определяется согласно теореме. Теорема. Асимптотическая нормированная на N дисперсия ценовых значений, полученных методом измерения ценовой чувствительности PSM, в случае линейной зависимости между потребительскими предпочтениями в отношении цен вычисляется по следующей формуле: для i = 1, 3 и j = 2, 4 61 Ж.Н. Зенкова, Н.Р. Цыбульникова ѵ/ = N ‘var {*(N+1)}=2 (b>bj) Fi ( f min x,, - a xu - a, j jj bf xij - a bf ( V\\ xJ- aJ jj 2 . (8) Доказательство. Согласно определению совместной функции распределения двух случайных величин Fj (x, y) = P[pi < x, p, < y), воспользуемся свойством (6), получим Fj (x, y) = p\\ai + bi • xi < x, aj + bj • xi < y) = P b x - ai y -a P xi b ((b + bj ) f (а))- (13) На рис. 1 приведены графики изменения ѵ2, ѵ*2, ѵs*2 в зависимости от изменения параметров cm, m = 1,4. Рассматривались варианты, когда параметры наклона фиксированы при фиксированном с1 и изменяющихся параметрах сдвига с2, с3, а4 для равномерного случая, F1(x) = ^одоо)(х). Очевидно, что дополнительная информация о симметрии позволила существенно повысить точность оценивания, когда кривые ценовой чувствительности очень близки и плохо различимы. Данный факт наблюдался и для нормальных кривых ценовой чувствительности. При слишком большой удаленности кривых друг от друга пересечения оказываются фактически на границах областей возможных значений цен, что сводит ошибки к минимуму, так как при этом можно сказать, что теряется случайный характер исходных данных, что, скорее всего, вызвано тем, что в исследовании принимали участие представители нецелевой аудитории или данные были сфальсифицированы. Рис. 1. Зависимость ѵ2 и Vs*2 от bt, k = 2,4, при фиксированных am , m = 1,4, для F(x) = ^0ioo)(x) Fig. 1. Dependence of ѵ2 and vj*2 on parameters b, k = 2,4, where am , m = 1,4, are fixed, F(x) = ^0100)(x) Рис. 2. Зависимость ѵ2 и ѵj*2 от bt, k = 2,4, при фиксированных am , m = 1,4, F(x) = -^oioo)(x) Fig. 2. Dependence of ѵ2 and ѵ^*2 on parameters b, k = 2,4, where am , m = 1,4, are fixed, F(x) = ^0100)(x) 63 Ж.Н. Зенкова, Н.Р. Цыбульникова На рис. 2 приведены графики изменения ѵ2, ѵ*2, ѵs*2 в зависимости от изменения параметров Ьк, к = 2,4. Рассматривались варианты, когда параметры сдвига фиксированы и Ь1 = 1, F1(x) = R(0100)(x). Очевидно, что дополнительная информация позволяет лучше оценить ценовые диапазоны, когда по отношению к первой кривой остальные кривые ценовой чувствительности имеют более высокое значение коэффициента наклона, что соответствует случаю, когда потенциальные потребители дают весьма близкие друг к другу ответы на вопросы анкеты. Аналогично предыдущему случаю, этот факт наблюдался и для нормальных кривых ценовой чувствительности. 4. Исследование с помощью имитационного моделирования статистических свойств модифицированных оценок в случае малых выборок Для i = 1, 3 и j = 2, 4 статистические свойства оценок x^^, xj*^, xS*, MED**8 = = (2Mfibj 2 Ь?і 2 ?? 2 2j ), а также MEDj - выборочной медианы объединенной выборки Pni ^ PjNj - на случай малых выборок, изучались и сравнивались с помощью имитационного моделирования [18] с параметром моделирования M = 50 000 (количество значений статистик для каждого способа оценивания, которые позволяют получить различные статистические характеристики оценок, например их математическое ожидание и дисперсию). Исследовались случаи равномерного и нормального распределений ценовых предпочтений. Для равномерного случая рассматривались различные параметры, притом оценки продемонстрировали схожесть поведения, здесь приведены результаты для F1(x) = R(0,100)(x), F2(x) = R(5,105)(x), F3(x) = R(7,107)(x), F4(x) = R(15,115)(x). В нормальном случае рассматривались F1(x) = N(100 25)(x), F2( x) = N(105,25)( x) F3(x) = N(107,25)( x) F4( x) = N(115,25)( x). Рис. 3. Рис. 3. Зависимости RSME от N для равномерного случая (R1 означает RMSE (x((1v+i))/VN, R2 - rmse (x(14) )/4n , R3 - RMSE(MED*S )/4N , R4 - RMSE(MED;4)/ JN, R5 - RMSE(xS*)/-JN , V - JV^/ JN , VS - VN) Fig. 3. Dependences RSME on N for uniform case (R1 means RMSE(x (1v-ii) )/JN, R2 - RMSE (x(14) )/JN, R3 - RMSE(MED*S )/4N , R4 - RMSE(MEDl4 )/VN, R5 - RMSE(xS*)/VN , V - JN , VS - /-JN) 64 Fig. 4. Dependences RSME on N for normal case (R1 means RMSE(x (23+*) )/VN, R2 - RMSE (£(23) )/4N, R3 - RMSE (MED*S )/VN , R4 - RMSE(mED23 )/VN , R5 - RMSE(xf)/VN , V - -y/v^/VN, VS - /JN) где RMSE - квадратный корень из среднеквадратиче Статистические свойства оценок ценовых значений метода ценовой чувствительности Рис. 4. Зависимости RSME от N для нормального случая (R1 означаетRMSE(х(23)*)/VN, R2 -RMSE(х(23)')J-JN, R3 - RMSE(MED*S)/VN, R4 - RMSE(MED23)/-JN , R5 - RMSE^xf*)/JN , V - yfN, VS - Л/ѵ2*^/>/N) Исследовалось поведение RMSE (Ѳ )^ VN, ской ошибки (root mean squared error) RMSE (ѳ ) = J E (Ѳ -Ѳ)2, Ѳ - некоторая оценка истинного зна чения Ѳ исследуемой статистической характеристики, Е - обозначение математического ожидания. Итоговые результаты отображены на рис. 3 и 4. Из рисунков видно, что привлечение дополнительной информации позволило снизить среднеквадратическую ошибку оценок ценовых значений методом PSM для малых объемов наблюдений, несмотря на недостаточно большую скорость сходимости к теоретическим значениям асимптотической, нормированной на N дисперсии. Заключение В работе показана асимптотическая нормальность и состоятельность оценок ценовых значений метода PSM, модифицированных с учетом линейной зависимости между ценовыми предпочтениями потребителей, а также симметрии их функций распределения относительно медианы. Статистические свойства модифицированных оценок на случай малых выборок исследованы с помощью имитационного моделирования, выявлена слабая скорость сходимости дисперсии к ее асимптотическому значению. Показано, что учет линейной зависимости и симметрии позволяет получить максимальный выигрыш в точности оценивания при слишком близких значениях индивидуальных ценовых предпочтений потребителей, а также при схожести ответов на вопросы разных респондентов, что является весьма ценным с практической точки зрения. В дальнейшем планируется более глубокое исследование точности оценок на случай, когда коэффициенты линейной зависимости неизвестны.

Скачать электронную версию публикации