Optimal state estimation of generalized MAP with an arbitrary number of states under conditions of unextendable dead tim.pdf Рассматривается обобщенный МАР-поток событий (Markovian Arrival Process) с n состояниями, относящийся к классу дважды стохастических потоков событий [1-3] и представляющий собой адекватную математическую модель реальных потоков случайных событий. Интенсивность исследуемого потока есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний [4-6]. При анализе дважды стохастических потоков событий выделяют два основных раздела задач, базой для которых служат моменты времени наступления событий в потоке: оценивание состояний потока событий [7-9]; оценивание параметров потока [10, 11]. При решении этих задач следует учитывать возможные искажающие факторы, существенно влияющие на качество оценивания. Одним из таких факторов является мертвое время регистрирующих приборов [12-14], порождаемое каждым зарегистрированным событием: последующие события исходного потока, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны для наблюдения. Такой эффект характерен для большинства реальных систем. Предполагается, что этот период ненаблюдаемости потока имеет фиксированную длительность (непродлевающееся мертвое время) [15]. В данной работе осуществляется исследование обобщенного МАР-потока событий с произвольным числом состояний в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности (события, наступившие в период ненаблюдаемости, не вызывают продления периода мертвого времени). Находится явный вид выражений для апостериорных вероятностей состояний обобщенного МАР-потока событий, представляющих собой наиболее полную характеристику состояний потока, на интервалах ненаблюдаемости потока. Предлагается алгоритм оптимального оценивания состояний, согласно которому решение о состоянии выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, что обеспечивает минимум безусловной вероятности ошибки вынесения решения. Приводятся численные результаты оптимального оценивания состояний исследуемого потока. Данная статья является непосредственным развитием работ [16, 17]. 1. Постановка задачи Исследуется обобщенный MAP-поток событий с произвольным числом состояний (далее - поток), функционирующий в установившемся режиме. Сопровождающий случайный процесс X(t) изу-68 Оптимальное оценивание состояний обобщенного мар-потока событий с произвольным числом состояний чаемого потока представляет собой кусочно-постоянный ненаблюдаемый процесс с n состояниями: S, S„. Полагается, что при X(t) = \\ имеет место i-е состояние (S) i = 1,n , процесса X(t). При этом ^ > ^2 > ... > > 0. Функция распределения случайной величины - длительности пребывания процесса X(t) в состоянии S - является экспоненциальной: F (t) = 1 - e k,t, t > 0, i = 1, n . В момент окончания состояния S процесс X(t) переходит из состояния S в состояние S. с вероятностью Рх(Х.|Хг.) с наступлением события потока или с вероятностью Р0(^;|^г) без наступления события потока, i, j = 1, n . Отметим, что для П I П I _ введенных вероятностей справедливо 2 P (XX ) + 2 P (X ■ X ) = 1, i = 1, n . j=1 j j=1 j Замечание 1. Введение вероятности P0(^Дг) ф 0, i = 1, n, перехода процесса X(t) из состояния S в состояние St без наступления события приводит к обобщению классического МАР-потока с произвольным числом состояний. Утверждение. Для обобщенного МАР-потока событий с n состояниями процесс X(t) является скрытым марковским процессом. Блочная матрица инфинитезимальных характеристик [18] процесса X(t) имеет вид D = ||D0IDll, где лГ і і X1P0(X2 ^1) • •• X1P0(Xn Х1) D0 = X2P0(X1 ^2) - х2(і - p0(X2|^2)) • •• X2P0(Xn Х2) X nP0(K\\К) УРАІУ) • - Xn(1 - P,(XnlXn)) nxn Wh |y> X1P1 (X 2 |X1> • WX„|X1> D1 = X 2 PA X 2) X2P (X2 X2> • X 2 P1(X n Iх 2) X nVX1 Iх n ) XnP1 (X2 |Хn ) • • X P (X |X ) n 1 n n nxn Каждое зарегистрированное событие потока создает период ненаблюдаемости фиксированной длительности T (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока не наблюдаются (теряются); кроме того, события, наступившие в течение периода мертвого времени, не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Первое наступившее после периода мертвого времени событие потока снова создает период мертвого времени длительности T и т.д. В качестве иллюстрации на рис. 1 приведена одна из реализаций процесса X(t) и наблюдаемого потока, где \\ - значение процесса X(t) в состоянии S, i = 1, n; штриховкой обозначены периоды мертвого времени; события обобщенного МАР-потока, недоступные наблюдению, отмечены черными кружками; tx, t2,... - моменты времени наступления событий в наблюдаемом потоке. Задача исследования состоит в нахождении явного вида апостериорных вероятностей w(kt|tj, ..., tm, t) = Р(Д0 = |tj, ..., tm, t) = w(ki|t) того, что в момент времени t значение процесса X(t) = \\, i = 1,n, при условии, что известна реализация моментов tx, ..., tm наступления событий наблюдаемого потока на интервале (t0,t), где t0 - момент начала наблюдения, t - момент окончания наблюдения, m - количество наблюденных событий на интервале (t0,t). Так как рассматривается установившийся режим функционирования потока, то переходными процессами на интервале наблюдения (t0 ,t) пренебрегаем. Тогда без ограничения общности можно положить to = 0. 69 А.В. Кеба, Л.А. Нежельская Рис. 1. Реализация обобщенного MAP-потока событий с произвольным числом состояний в условиях непродлевающегося мертвого времени длительности T Fig. 1. Implementation of Generalized MAP with an arbitrary number of states under conditions of unextendable dead time of duration T Оптимальное оценивание состояния процесса X(t) в смысле минимума полной (безусловной) вероятности ошибки принятия решения [19, 20] осуществляется по критерию максимума апостериорной вероятности на основании сравнения w(Li|t), i = 1, n, в произвольный момент времени t: если w(kt|t) > w(kj|t), i Ф j, i, j = 1,n , то оценка 'k(t) = X.. 2. Исходные предпосылки для вывода апостериорной вероятности в условиях непродлевающегося мертвого времени Рассмотрим интервал времени (t^, tt+ j), k = 1, 2, ..., между двумя соседними событиями наблюдаемого потока. Момент вынесения решения t о состоянии процесса X(t) (потока) принадлежит интервалу (tb tk+ j), длительность которого является случайной величиной в силу того, что события в наблюдаемом потоке наступают в случайные моменты времени tx, ..., tk, ..., k = 1, 2, ... Таким образом, значение длительности интервала (tk, tk+ j) есть zk = tw - tk. Вместе с тем, так как наблюдаемое в момент tk событие порождает период мертвого времени длительности T, то xk = T + п, где п - значение длительности интервала между моментом окончания периода мертвого времени tk + T и моментом tk+ у Таким образом, интервал (t„ tk+ j) разбивается на два смежных: первый - полуинтервал (tk, tk + T], второй - интервал (tk + T, tt+j). Отметим, что на полуинтервале (tk, tk + T] поток недоступен наблюдению, а на интервале (tk + T, tk+ j) поток наблюдаем. В этой связи условия нахождения апостериорной вероятности w(ki|t), i = 1,n, на полуинтервале (t„ tk + T] и интервале (tk + T, tk+ j) принципиально разные. Для нахождения вероятности w(ki|t), i = 1,n, необходимо точно знать значение T либо предварительно осуществить оценку T. В данной работе предполагается, что значение T точно известно. Найдем явные выражения апостериорных вероятностей w(Lt|t) состояний S, i = 1, n, процесса X(t) на интервале ненаблюдаемости потока событий (разд. 4), т.е. на полуинтервале (t„ tk + T], а также 70 Оптимальное оценивание состояний обобщенного мар-потока событий с произвольным числом состояний на временном интервале (tk + T, tk+1) (разд. 3), когда исходный обобщенный МАР-поток событий доступен наблюдению. 3. Апостериорные и априорные вероятности на интервалах наблюдаемости потока В работе [17] получены выражения для апостериорных вероятностей w(X;|t), i = 1, n, состояний St и формулы априорных финальных вероятностей состояний щ, i = 1, n, обобщенного МАР-потока событий с произвольным числом состояний, функционирующего в условиях полной наблюдаемости потока, т.е. в случае отсутствия мертвого времени (T = 0). На интервале времени (t0, tx) между началом наблюдения за потоком и первым событием потока, а также на интервалах времени (t^, tt+ j), k = 1, 2, ..., между соседними событиями исходного обобщенного МАР-потока поведение апостериорной вероятности w(Xt |t), i = 1, n, определяется формулой n n A 22- s=i _=1det Aj a(s)w(X .1 tk)ePs(t tk) w(X ,\\t) = ■ , i = 1, n, tk < t < tk+1, k = 0, 1, ..., 2 w(X \\t) = 1, (1) nnn _ a(s)w(X.| ^)ePs(t -k) i=1 Z2I ~ i=1s=1 j=1det Aj где величины в - корни характеристического уравнения |A - РЕ| = 0, A = ||аг.||, atj = Xpo(XJX) - X;5;.-, 8-г- символ Кронекера, i, J = 1, n ; Е - единичная матрица; a(s) - компоненты собственного вектора A соответствующего корню в и определяемые из уравнения (A - PE)A = O, i, s = 1, n ; O - нулевой r(nh. вектор-столбец; detA - определитель матрицы A = ||A(1) ... АЛ";||; A. - алгебраические дополнения js j элементов А матрицы A (A = a(s)), j, s = 1, n ; вероятность w(X.|t0) = w(X.|t0 + 0) = n, j = 1, n . Л k Апостериорная вероятность w(X;.\\tj) = w(X;.\\tk + 0), k = 1, 2, ..., в момент времени tk наступления события потока задается формулой пересчета w(X _tk ) = w(X Jtk + 0) = n , I 2XA(bJ XdMXd\\tk -0) d=1_\\_ nn 2 2XdWs |Xd>“

Скачать электронную версию публикации