The problem of synthesis of one class of binary 3d-multidimensional nonlinear modular dynamic systems.pdf Конечные последовательностные машины, или модулярные динамические системы (МДС) [1-5], являются одним из важных классов дискретных управляющих систем. Они находят широкое применение в различных областях науки и техники [2, 3, 5-7]. Исследован ряд задач теории и приложений МДС [1-5, 6, 8-17]. К таким задачам относится задача синтеза МДС [18]. К настоящему времени разработаны методы и алгоритмы решения задачи синтеза для некоторых классов двоичных МДС [5, 18-24]. Один из этих классов есть класс четырех параметрических (три пространственных и один временной параметр) нелинейных МДС ^D-НМДС) [23]. В этом классе входно-выходные последовательности системы скалярные (одномерные). МДС с векторными входными и выходными последовательностями (т.е. многомерными), для которых решена задача синтеза, есть класс двух параметрических (один пространственный и один временной параметр) нелинейных МДС. Во многих отраслях (нефтегазовая, нефтехимическая, энергетическая и т.д.) объекты управления имеют более двух параметров, и входно-выходные функции являются векторными функциями. В работе [25] для двоичных трехпараметрических (два пространственных и один временной параметр) многомерных нелинейных МДС ^D-МНМДС) получено представление в виде двухзначного аналога полинома Вольтерры. Отметим, что 4D-НМДС и 3D-МНMДC - близкие системы. В работе [7] МДС применена как управляющее устройство в системе управления работой скважины в газлифтной нефтедобыче, при этом оптимальный режим работы системы управления представляется как задача синтеза МДС по квадратичному критерию. Двоичные 3D-МНМДС тоже могут быть использованы в моделировании и управлении непрерывными и дискретными объектами. Поэтому несомненный интерес представляет решение задачи синтеза двоичных 3D-МНMДC. В данной работе рассматривается решение задачи синтеза двоичных 3D-МНMДC, при этом некоторые вычисления проводятся по аналогии с работой [23]. 1. Постановка задачи Рассмотрим двоичную 3D-МНMДC с фиксированный памятью no, ограниченной связью r входами и k выходами, описываемую в виде двухзначного аналога по- P = р x P2, со степенью S, линома Вольтерры [25]: S Уу [n. С1, c2] = Z i=1 X п F(п) (щ ,p )eQ(п .Y1W.у2^),m) _ =_^ = ^ _ ^^.п.^.у^™)^’.^.т] х п^СО (У1.У2 m^W (j ,V)eL1XL2 \\er(Y1,Y2,m) , af> ,p^ п u [n - T(a. .ст),C1 + P1 j (€)),c2 + P2 (ц^ 4))], GF(2). ст=1 (1) у = 1, k. Здесь n e Zo , ca e Z. где Zu Zo есть множество целых и неотрицательных целых чисел соответственно Pa= {Ра (1)..... Ра (ra )}. -^< Pa (1) < ••• < Pa (ra ) < *>. Pa (Р) e Z , p = 1. ra . a = 1,2 ; y[n,C1,C2] = (У1[n,C1,С2],...,Ук[n,C1,C2]) g GFk(2) и u[n,C1,C2] = (U1[n,C1,C2],...,Ur[n,C1,C2] g GFr(2) - выходная и входная последовательности, где GFk (2) и GFr (2) есть к и r-мерные линейные пространства над конечным полем GF(2) [6]; присутствие записи GF(2) в формуле (1) означает, что эти формулы выполняются над полем GF(2) , т.е. операции сложения и умножения есть сложение и умножение по mod 2 (но в выражениях n -T(a€, р, ст), c1 + p1( j (^)) и с2 + p2(Цр (0) операции вычитания и сложения есть операции вычитания и сложения над целыми числами соответственно); A(i) = {п = (Гц,..., п)| П1+ ••• + п= i, Ta e{0,1,...,(no + 1)r1r2}, a = 1, r}; Qo(n) = 4 | ^e{1.....r} и п* п есть компонент вектора п}; F(p) = х Ff (п) , L = х ЛАуАЛ), L2 = x Л2(у2(Л). ^Qo( п) 1 ^Qo( п) 4 1 2 ^Qo( п) ,2 2 Множества F (п), L,1(Y1(0), L,2у 2 Юд) J размерностью (W +1)(C1+1)(C2+1) x1 и последовательно построим матрицы ЦО', р,w j, Ц) = (u0(i, р,w j, Ц, т1),...,U0 (рр,w, j, Ц, ^Г (у ,у2 ,m)[ w])), Ui(i,р,w)=щ р,w, 7, Ц1),-,и1(р р,w, 71, ц l| ),-,U1(i,я,w Jli , Ц li » U3(i’,р) = (U2(i,р,w1),...,U2(z,р,wy(n)|)), U4(i) = (U3(i,р1),...,из(г-,рЛ(0))), U5 = (u4(1) ... U46'11, (7) U = diag{U5 ... U5} . Введем вектор-столбец H1(v h w j, ц) = (hv,i ,р, , \\;,1,р, , Тг (у ,^ ,m)[ w]|]) (8) с |Г(у1, у2, m)[w]| компонентов и последовательно построим векторы H2 (vi-р,w) = (H1( V h р,w, j^ Ц1),..., H1(V р р,w, j’1,Ц LI )>-> H1(V h р,w, jL |, Ц L |)) T ’ H3(v, Z T) -(H2 (v’ i’ П W1),..., H2 (V, z, T|,w T (n)| ))T, H4 (V, z) - (H3 (v, i, H3 (V, Z, Л|Л(/) ))T, (9) H (v) - (H4 (v,1),..., H4 (v, 5 ))T, H - (H5 (1),..., H5 (k ))T. Учитывая формулу (7), из блочной матрицы U получим обыкновенную матрицу U размерностью (N + 1)(C + 1)(C2 + 1)k x R, где R - k • R1 и R1 - £^=1 +r>. Также из блочного вектора H по лучим обыкновенный вектор H с R компонентами. Пусть Y 0 - ( y10[0,0,0],..., y10[N,0,0], y10[0,1,0]..., y10[N ,1,0],..., y10[N ,C1,C2],..., yk0[N ,C1,C2])T , Y - ( y1[0,0,0],..., y1[N ,0,0], y1[0,1,0]..., y1[N ,1,0],..., y1[N ,C1,C2],..., yk [N ,C1,C2])T . Тогда задачу (2), (5) можем записать в следующем матрично-векторном виде: Y - UH, GF(2), J - (Y - Y0)T(Y - Y0) min . Пусть входная последовательность (3) такова, что матрица U, образованная из нее по обозначениям (6), (7), удовлетворяет условиям ортогональности U U diag{d1’1,...,dR,r}; da,a > 0, a 1?...?R , где da a, a - 1, R, есть элементы матрицы UTU . Тогда последовательность (3) называется ортогональной входной последовательностью для 3Б-МНМДС (2). Ясно, что матрица U, образованная из (3) при любой S > 1, не удовлетворяет условиям ортогональности (12). 3. Решение задачи синтеза 3D-МНМДС Рассмотрим решение задачи синтеза 3Э-МНМДС с ортогональными входными последовательности. Пусть в разные блоки 3Э-МНМДС поступают разные входные последовательности: s = = = yv[n,с1’с2~] - X _X _X_ X X = hvznw[j,Ц,т]x i-1 ТеЛ0) weT(n) (J,^)^L1XL2 теГ(71.72.ш)|и| x П_ П _ i,T,w[n -T 0, где матрицы (14) K0(z,r|,w,7,|i,^), ^(711,^,7,11), K2(z,r|,w), Г3(/,г|), r4(z), V5, K = diag{K5 ... V5}, (15) (16) (17) k строятся аналогично по формулам (6), (7). Задача (13), (5) имеет следующий матричный вид: Y - VH, GF(2), J - (Y- Y0)T(Y- Y0) min . Аналогично работе [23] решение задачи (16), (17) можно найти путем специфических округлений решения следующей континуальной задачи квадратичной оптимизации: Y - VK, J - (Y-Y^(Y-Yq) min , (18) где K есть Л-мерный вектор. Если ka и ha есть а-е компоненты векторов K и H соответственно, то решение задачи определяется следующим образом: если k > 0,5, то h - 1, иначе h - 0. Решение задачи (18) определяется по формуле K - (V TV )-1V TY0 [23]. Для нахождения оптимального значения импульсных характеристик _[ j, ц, т ] , теГ(у1, у2, m)[w], (j, ц) е х £2, w еЧу(п), ^eA(i), i е{1,..., S} , уе{1,..., k}, определим номера компонент°в вектора //,(v,i,ра, wp, ,це) = (hv,i,n„,wp [ j,Це,TiL•••> hv,i,па,wp LA, Це, Тг(Т1,ъm)[w]])Т С|Х'ди компонентов вектора H. Для этого рассмотрим компоненту hv,z,n ,w [jQ, це, т. ] вектора H, где ^е{1,...,|г(У1,У2,m)[wp]}, ее{1,...,|А|}, Q {1,...,|Д|} , Ре {1,...,|^(р)|}, а е {1,...,|A(z)|} . Ясно, что номер компоненты импульсной характеристики jo, , т_ ] можно определить по формуле y = (v-1) -£|т (Pi)|-I Lil • L2I-|Г( Yi, Y 2, m) +z|¥ (рг|)|-I LJ • L2I-|Г( h, y 2, m) + i =11 + z|T (nJ-I A| • L2I-|Г( Yi, Y 2, m) + L| Lil - |а|-|r( Yi, Y 2, m)| + а1=1 +(Q-1) - |l^|-|r(Yi, Y2, m)\\+(е-i)| r(Yi, Y2, m)+j. Таким образом, при ортогональной входной последовательности (14) решение задачи (16), (17) можно найти по следующему алгоритму: 1. Последовательное построение матриц (15). 2. Определение вектора решения задачи (18) по формуле K = (Vт - V)-i - Vт - Y0; 3. Для каждых ^е{1,...,|r(Yi,Y2,m)}, ее{1,...,|А|}, сте{1,...,|£а|}, ре Д,...,|Т(р)|}, аe{1,...,|A(i)|}, i е{1, S} , уе{1,...,k} определение hv,z,^ ,w₽ [jQ,Це, Tj] следующим образом: если kY > 0,5 , то hvi,no ,^ [ jo, Це, T ] = i, иначе hviЛа w j, Це, T= ] = 0, где у определяется по формуле (I9). Рассмотрим решение задачи синтеза 3 D-МНМДС при произвольных входных последовательностях. Пусть входные последовательности (3) есть произвольные двоичные последовательности. Для решения поставленной задачи аналогично работе [23] поставим на вход 3 D-МНМДС специальные преобразователи, с помощью которых входная последовательность (3) для каждых w еТ(п), ПеА(г‘), i е{1,...,S}, преобразуется в специальные ортогональные последовательности {и€i,n,w[ncpС2]: n е [0,N],Ci е [0,Cl],C2 е [0,C2]},£ е Q0(n). Для каждых wе^(п), ПеА(г), i е{0,...,S}, в качестве преобразователя можно использовать линейную МДС, описываемую следующим уравнением: n-l _ i,n,w[fCl’C2] = X gtinw[n - m -1 c1’c2] u£[™,c2] + g,i,n,w[ncnc2] , /е ШпХ GF(2) , (20) m=0 где gj,n,w[n, c1, c2] является импульсной характеристикой соответствующего преобразователя. Выход преобразователя (20) подается на вход тех блоков SD-МНМДС (2), которые соответствуют {i,n, w) , где wе^(п), ^еА(г), i е{1,...,5} . Для каждых wе^(п), ПеА(г), i е{1,...,S}, при известной последовательности {uz z w[n,c1,c2]: n е [0,N],ci е [0,Ci],c2 е [0,C2]}, £ е Q0(n), импульсную характеристику преобразователя (20) можно определить по формуле n-l _ g,i,n,w [n Cl, c2] = X g(,inw [n - m -1 cb c2] u t™, cb c2] c,. c2]’ ^е QM GF(2). m=0 Таким образом, для решения задачи синтеза SD-МНМДС с произвольными неизвестными входными последовательностями прежде всего осуществляем ортогонализацию ее входной последовательности, а после этого, применяя методику решения задачи синтеза SD-МНМДС с ортогональными входными последовательностями, решаем поставленную задачу. Заключение Рассмотрена задача синтеза одного класса двоичных трехпараметрических многомерных модулярных динамических систем с фиксированной памятью, ограниченной связью, заданной степенью, известным числом входов и выходов. Поставленная задача приведена в матрично-векторному виду. В случае c ортогональными входными последовательностями системы для решения задачи используется метод, основанный на округлении решения соответствующей континуальной задачи квадратичной оптимизации. В случае с неортогональными входными последовательностями системы для решения задачи предварительно входные последовательности ортогонализируется, после чего продолжается решение задачи, как в случае с ортогональными входными последовательностями.

Скачать электронную версию публикации