MM-estimation of the parameter of the uniform distribution of the duration of unextendable random dead time in the semi-.pdf В настоящее время, как показывает практика, наиболее адекватной математической моделью реальных информационных потоков запросов в телекоммуникационных сетях являются дважды стохастические потоки событий - потоки, у которых случайными являются и моменты наступления событий, и интенсивность потока. В общем случае дважды стохастические потоки событий являются коррелированными потоками. В связи с этим исследование различных разновидностей дважды стохастических потоков являлось и является важной актуальной задачей. Дважды стохастические потоки можно разделить на два класса: первый класс составляют потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть непрерывный случайный процесс [1, 2]; второй - потоки, сопровождающий процесс (интенсивность) которых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным (произвольным) числом состояний. Последние, в зависимости от того, каким образом происходит переход интенсивности из состояния в состояние, делятся на три типа: 1) синхронные потоки (потоки, у которых состояние интенсивности меняется в случайные моменты времени, являющиеся моментами наступления событий) [3-5]; 2) асинхронные потоки (потоки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит в случайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий) [6-8]; 3) полусинхронные потоки (потоки, у которых одна часть состояний интенсивности меняется в моменты наступления событий потока, другая часть состояний интенсивности меняется в произвольные моменты времени, не связанные с моментами наступления событий потока) [9-11]. В реальных ситуациях часто приходится иметь дело с потоками, у которых не все события доступны наблюдению. Как правило, причиной ненаблюдаемости служит так называемое мертвое время регистрирующих приборов [12], порожденное зарегистрированным событием, в течение которого другие события, наступившие в этот период, недоступны наблюдению (теряются). Регистрирующие приборы делятся на два вида: с непродлевающимся мертвым временем и продлевающимся. Кроме того, длительность мертвого времени может быть как детерминированной величиной, одинаковой для всех событий [13], так и случайной с тем или иным законом распределения [14]. В этой связи можно считать, что мертвое время выступает искажающим фактором при решении различного рода задач оценивания, по измерениям моментов наступления наблюдаемых событий исходного дважды стохастического потока (часть событий исходного потока не наблюдается (теряется)). В настоящей статье в качестве искажающего фактора рассматривается непродлевающееся случайное мертвое время. В данной работе исследуется полусинхронный дважды стохастический поток событий с интенсивностью, являющейся кусочно-постоянным случайным процессом с двумя состояниями, параметры которого связаны определенным условием, так что рассматривается особый случай функционирования потока. В общем случае поток был исследован в работе [15]. Производится оценивание параметра длительности случайного мертвого времени. Для этого выводится аналитическая формула математического ожидания длительности интервала между соседними событиями наблюдаемого потока и находится оценка параметра равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мертвого времени с использованием уравнения моментов. С помощью построенной имитационной модели наблюдаемого потока реализуются статистические эксперименты для получения численных результатов оценивания. 1. Математическая модель наблюдаемого потока Рассматривается полусинхронный дважды стохастический поток событий, сопровождающий процесс (интенсивность) которого есть кусочно-постоянный стационарный случайный процесс X(t) с двумя состояниями S и S . Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока) S , если X(t) = X1, и, наоборот, имеет место второе состояние процесса (потока) S , если X(t) = X2 (X > X > 0). Если имеет место первое состояние процесса S, то в течение временного интервала, когда X(t) = X1, поступает пуассоновский поток событий с интенсивностью X1. Если имеет место второе состояние процесса S , то в течение временного интервала, когда X(t) = X2, поступает пуассоновский поток событий с интенсивностью X2. Переход из состояния S процесса X(t) в состояние S возможен только в момент наступления события (свойство синхронности потока), при этом этот переход осуществляется с вероятностью p (с вероятностью 1 - p процесс X(t) остается в состоянии S ). Переход из состояния S процесса X(t) в состояние S может осуществляться в произвольный момент времени, не связанный с моментом наступления события (свойство асинхронности потока). При этом длительность пребывания процесса X(t) во втором состоянии есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону F(t) = 1 - e~ai‘, t > 0, где а2 - интенсивность смены состояния S2 на S . Так как переход из второго состояния в первое не привязан к моменту наступления события во втором состоянии, то поток называется полусинхронным дважды стохастическим потоком событий. Рассматривается особый случай, когда введенные выше параметры связаны условием X - Х2 - а2 = 0В сделанных предположениях X(t) - скрытый марковский процесс (X(t) - принципиально ненаблюдаемый процесс; наблюдаемыми являются только моменты наступления событий потока). После каждого зарегистрированного события в момент времени tk наступает период мертвого времени случайной длительности, который порождается этим событием, так что другие события исходного потока, наступившие в течение этого периода мертвого времени, недоступны наблюдению и не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Принимается, что случайная длительность мертвого времени распределена по равномерному закону с плотностью вероятности p(T) = 1/ T , где T - значение длительности мертвого времени, 0 < T < T*. Возможный вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где Si и S2 - состояния случайного процесса 1(f); временная ось (0, t) - ось моментов наступления наблюдаемых событий в моменты времени , t2, ...; временная ось (0, t(1)) - ось наступления событий в моменты времени , tJ'1,... в первом (S1) состоянии процесса 1(t), на которой также указаны значения длительностей T(1 , T(1 , ... мертвых времен, порождаемых наблюдаемыми событиями потока; аналогично для временной оси (0, t(2)); белыми кружками обозначены наблюдаемые события, черными - ненаблюдаемые, штриховкой - периоды мертвого времени; траектория процесса 1(t) привязана к временной оси (0, t(1)). Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий Fig. 1. Formation of the observed event flow Отметим, что в работе рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока, т.е. аналитические формулы получены для случая, при котором поток функционирует бесконечно долго (t ^х>) . Цели данной работы: 1) На основании выборки моментов наступления событий наблюдаемого потока t ,t ,...,t на временном интервале (0, Tm), где Tm - время наблюдения за потоком (tn < ), оценить параметр равномерного распределения длительности непродлевающегося случайного мертвого времени T* . 2) Исследовать оценку T*. Для этого провести статистические эксперименты на имитационной модели наблюдаемого потока, устанавливающие стационарный режим и определяющие свойства полученной оценки. 2. Уравнение моментов для оценивания параметра T * Обозначим тк = tk+x - tk, k = 1,2,..., - значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0) . Так как рассматривается стационарный режим функционирования наблюдаемого потока, то плотность вероятности значений длительности k-го интервала есть p (тк) = p (т) , т> 0 , для любого k, т.е. момент наступления события есть т = 0 . Для оценки неизвестного параметра T* используется метод моментов [16]. Для этого находится теоретический момент - математическое ожидание случайной величины т (длительность интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке) M(т | T ), после чего ММ-оценка параметра T находится численно из уравнения моментов M(т | T ) = C, где C - выборочное среднее, n C = (1 / п)^тк, тк = tk+x - tk > 0, являющееся оценкой математического ожидания M(т | T ). k=1 В статье [10] приводится выражение для плотности вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в коррелированном полусинхронном потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени фиксированной длительности T для случая Xj - X2 - a2 = 0 : 0, 0 < т < T, 2 (T)(1 - X1 (т - T))]e , t> T, «2 =X1 - X2> K2(T) =----- «+X p |_a2 PX1 +X2^2 (1 - P)Г1 - e - (0|T) =----------------k---- - x>(0| T) e+Xlp}T , (1) _ _ _ X1P X-(1 - p)Xe P)T , "2 XP + « , П2 - априорная финальная вероятность состояния S2 процесса 'k(t) при t Подчеркнем, что внесение непродлевающегося случайного мертвого времени в математическую модель полусинхронного потока событий может только изменить (в меньшую или большую сторону) корреляцию в потоке по сравнению с ситуацией отсутствия мертвого времени (T* = 0) либо с ситуацией наличия детерминированного мертвого времени (T > 0), но не устранить ее полностью. Тогда искомая плотность вероятности p(t) примет вид P(t) = f P(t,t)dT = f P(t)P(t 1T)dT , (T) (T) где p(т,Т) - совместная плотность вероятности значений т и Т; условная плотность вероятности p(т | T) определена выражением (1); равномерная плотность p(T) определена в разд. 1; (T) - область интегрирования значений случайной величины - длительности непродлевающегося случайного мертвого времени. Возможны два варианта расположения значений величины т (т> 0) относительно значения параметра T*: 1) 0 T > 0, т > T, T > T. Отсюда следует, что операция интегрирования по переменной T выполняется для двух областей - (T1), где 0 < т < T*, и (T2), где т > Т : (Т) = (Т ) u (Т ) . Тогда выражение для плотности p(т) примет следующий вид: т р(т) = f P(T) p(5 | T )dT, 0 T *. 0 Подставляя выражение (1) в (2) и учитывая, что p(T) =1/T*, 0 0. T*>0 T* ( Ра2)2 (8) при 2( p-2 +а2 )2 (9) Запишем (8) в виде M'WT-) = 1 ) F(T•) = (T* )2 + F (T*) 2(T *)2 , (10) Г (1 + р)а2 _ м _ , 2 Xi(pXi +а2) Xi(pXi +а2)[(1 _p)-2 _-/1+a2)T ], где M(т | T*) определено выражением (5). Покажем, что производная математического ожидания (5) больше нуля: M '(т | T) > 0 T* > 0 . Тогда M'(т | T*) > 0 для T* > 0 , так как имеет место M'(т | T* = 0) > 0 (формула (9)). Отсюда F (T ) = 2T - - + ( Р«2)2 для будет следовать, что математическое ожидание M(т | T ) есть возрастающая функция переменной (параметра) T*(T*> 0), и тем самым устанавливается утверждение теоремы. Так как знаменатель в (10) больше нуля для T* > 0, то рассмотрим числитель в (10): T(T*) = (T*)2 + F(T*), T* > 0 . Имеем Y(T* = 0) = 0; lim T(T*) = w ; T » _ - _ (1 _ p )-2 e4p-1+аг) T 2 g-(. p-+а2) T' T* > 0. (11) Нужно показать, что T'(T*) > 0 для T* > 0 . Тогда функция T(T*) - возрастающая функция переменной (параметра) T (возрастает от нуля до бесконечности), т.е. Т(T*) > 0 для T* > 0, и тогда M’(т | T*) > 0 для T* > 0 . Обозначим h(T*) - функция в фигурных скобках формулы (11). Тогда имеем h(T*) >1_ pa2 p- + а [p-2 + (1 _ pHl[p-2 + (1 + pfozl > 0 т* (p-2 +а2)2 ’ ' Таким образом, функция h(T*),T*>0, является положительной функцией: h(T*)>0,T*>0. Последнее, во-первых, доказывает, что T'(T*) > 0, T* > 0, и, во-вторых, доказывает теорему. Так как M(т | T*) - возрастающая функция переменной (параметра) Г”, T > 0, то уравнение моментов имеет единственное решение. Уравнение моментов может не иметь решения только принимается T * = 0. Подчеркнем, что решение уравнения моментов возможно только численно. в единственном случае, когда С < (p- +а2 )/ - (p- +а2 ) (C < M (т | T* = 0) , формула (7)); тогда 3. Результаты статистических экспериментов для наблюдаемого потока в особом случае С целью установления качества получаемых ММ-оценок T* параметра T поставлены статистические эксперименты. Первый статистический эксперимент (установление стационарного режима). Для параметров потока Xj = 2, X2 = 1,1, а2 = 0,9 , p = 0,6 и параметров точности е = 0,0001, АТ" = 0,001, получено 100 реализаций (N = 100) имитационной модели наблюдаемого потока и, соответственно, получено 100 решений уравнения моментов, для двух значений параметра T * = 1; 3 и для каждого значения единиц времени моделирования Tm = 50, 100, 1 500. На основании полученных данных вычисля- N лось выборочное среднее искомой оценки M(Т ) = \\ Т и ее выборочная вариация i=1 N V(Т*) = у (Т* - Т*)2 , где Т* - известное из имитационной модели значение параметра. N i =1 Имитационная модель наблюдаемого потока построена с привлечением традиционных подходов к имитации входящих потоков событий в системах массового обслуживания [17]. Численное решение уравнения моментов осуществляется методом простой итерации [18]. В табл. 1 приведены результаты для M(Т*). В первой строке таблицы указано время моделирования Tm (время наблюдения за потоком) (Tm = 50, 100, ., 1 450 ед. времени); во второй и третьей строках указано выборочное среднее M (Т *) для Т* = 1 и Т* = 3 соответственно. Таблица 1 Численные результаты первого статистического эксперимента для Ml (т) Tm 50 100 150 200 250 300 350 400 450 Ml (Т') T * = 1 0,7504 0,7722 0,7494 0,7609 0,7608 0,7515 0,7603 0,7516 0,7484 T * = 3 2,817 2,737 2,72 2,783 2,74 2,741 2,727 2,775 2,748 Tm 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 Ml (T') 0,7492 0,7487 0,7572 0,7617 0,7547 0,7562 0,7507 0,7477 0,754 0,7601 2,743 2,762 2,741 2,729 2,74 2,735 2,767 2,744 2,749 2,731 Tm 1 000 1 050 1 100 1 150 1 200 1 250 1 300 1 350 1 400 1 450 Ml (Т') 0,7548 0,7466 0,7539 0,7592 0,7539 0,7507 0,7553 0,757 0,748 0,7551 2,742 2,757 2,755 2,733 2,743 2,752 2,751 2,731 2,75 2,755 Для наглядности на рис. 2 и 3 приведены графики зависимости M(Т*) от значения времени моделирования Tm для T * = 1 и T * = 3, построенные по данным табл. 1. Рис. 2. График зависимости MM(Т") от Tm при T* = 1 Fig. 2. Plot of MM(Т*) versus Tm with T* = 1 Рис. 3. График зависимости M(Т*) от Tm при T* = 3 Fig. 3. Plot of M(T') versus Tm with T* = 3 Из анализа результатов табл. 1 и графиков зависимости M(Т*) от значения Tm следует: 1) стационарный режим функционирования наблюдаемого потока устанавливается при T > 850 ед. времени; 2) оценка Т * является смещенной оценкой; абсолютная погрешность вычислений равна 0,07 и 0,06 для T* = 1 и T* = 3 соответственно; причиной смещения оценки Т* (T < T ) относительно истинного T * (известного из имитационной модели) является то, что значения случайного мертвого времени Т сосредоточены около теоретического среднего (T */2). В табл. 2 приведены результаты для V(Т ) . Структура табл. 2 аналогична структуре табл. 1. Таблица 2 Численные результаты первого статистического эксперимента для V(Т ) Tm 50 100 150 200 250 300 350 400 450 V (Т* ) T * = 1 0,089 0,070 0,067 0,070 0,060 0,066 0,061 0,058 0,062 T * = 3 0,233 0,119 0,121 0,106 0,098 0,105 0,090 0,092 0,078 Tm 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 V (т* ) 0,062 0,062 0,063 0,066 0,063 0,059 0,061 0,060 0,064 0,063 0,080 0,079 0,070 0,074 0,071 0,075 0,081 0,079 0,068 0,067 Tm 1 000 1 050 1 100 1 150 1 200 1 250 1 300 1 350 1 400 1 450 V (Т* ) 0,060 0,060 0,061 0,064 0,060 0,060 0,064 0,061 0,058 0,063 0,075 0,075 0,072 0,069 0,070 0,075 0,069 0,067 0,077 0,071 На рис. 4 и 5 приведены графики зависимости выборочной вариации V(Т*) от времени моделирования Tm для T * = 1 и T * = 3, построенные по данным табл. 2. Результаты эксперимента указывают на смещенность построенной оценки, так как выборочная вариация, т.е. разброс значений случайной величины T * не стремится к 0; однако вариация стремится к числу, близкому к нулю, т.е. методика оценивания качественна и полученную оценку можно принимать за истинную с достаточно малой погрешностью. Также заметим, что выборочная вариация устанавливается возле своего стационарного значения при времени моделирования T > 650 ед. времени. Таким образом, можно считать, что при T > 650 достигается нужная для практики точность. Подчеркнем, что выборочная вариация при T * = 3 больше, чем при T * = 1. Последнее является естественным, так как при больших T * происходит большая потеря событий исходного потока, что влечет за собой ухудшение качества оценивания при одинаковых Tm. Рис. 4. График зависимости V(Т ) от Tm при T* = 1 Fig. 4. Plot of V(Т) versus Tm with T* = 1 Рис. 5. График зависимости V(Г ) от Tm при T* = 3 Fig. 5. Plot of V(t") versus Tm with T* = 3 Второй статистический эксперимент (исследование влияния параметра T * на качество оценок). Второй статистический эксперимент организован аналогично первому и поставлен при фиксированном времени моделирования Tm = 1 000 ед. времени, что соответствует, как следует из табл. 1, 2, времени установления стационарного режима, и при тех же значениях параметров имитационной модели, что и первый статистический эксперимент, за исключением значений T *. Сначала второй статистический эксперимент реализуется для T* = 1, затем для T* = 2, затем для T* = 5. Результаты второго статистического эксперимента приведены в табл. 3. Таблица 3 Численные результаты второго статистического эксперимента т* 1 2 3 4 5 M (т *) 0,75589 1,73959 2,754 3,7257 4,7408 V (Т*) 0,06058 0,07089 0,06818 0,08088 0,08848 Данный эксперимент демонстрирует, что при увеличении значений параметра равномерного распределения мертвого времени T * увеличивается выборочная вариация оценки. Это объясняется тем, что при больших значениях T * увеличивается число потерянных событий исходного потока и, как следствие, ухудшается качество оценивания. Заключение В данной работе рассмотрен коррелированный полусинхронный дважды стохастический поток событий с непродлевающимся случайным мертвым временем, распределенным по равномерному закону. В реальных регистрирующих устройствах величина и характер мертвого времени зависят от многих факторов [12]. Регистрирующие приборы при этом обладают значением длительности мертвого времени T, ограниченным сверху некоторой величиной T (T < T ) . Переходя к случайному мертвому времени [12], вполне естественно рассматривать его распределение как равномерное на некотором отрезке [0, T*]. Аналитически получены формулы (3), (4), определяющие плотность вероятности значений длительности интервала между соседними событиями в наблюдаемом потоке при случайном мертвом времени для особого случая Xj - Х2 - а2 = 0, доказана непрерывность данной плотности, выведена формула (5) для математического ожидания длительности интервала между соседними событиями и доказано возрастание данной функции для T* > 0. Методом моментов найдена ММ-оценка параметра T* равномерного распределения длительности случайного мертвого времени, полученная оценка экспериментально исследована на качество. Приведенные результаты численных расчетов указывают на приемлемое качество оценивания. В заключение отметим роль отечественных ученых научной школы Г.П. Башарина, статьи которых [19, 20] послужили толчком к исследованию дважды стохастических потоков событий как математических моделей реальных информационных потоков сообщений в телекоммуникационных сетях и системах [21, 22].

Скачать электронную версию публикации