Analytical study of a single-line system queuing with incoming synchronous events flow.pdf Системы и сети массового обслуживания (СМО и СеМО) широко применялись и применяются в качестве математических моделей различных технических, физических, экономических и других систем. Случайные потоки событий, являющиеся основными элементами СМО и СеМО, в свою очередь, применяются в качестве математических моделей различных реальных процессов, протекающих в таких системах. В частности, случайные потоки событий служили и служат математическими моделями информационных потоков запросов в телекоммуникационных сетях. Подавляющее число статей прошлого столетия посвящено изучению СМО и СеМО с входящими простейшими потоками событий. Однако в связи с интенсивным развитием (с конца XIX в.) телекоммуникационных сетей, беспроводных и мобильных сетей связи математическая модель простейшего потока перестала быть адекватной реальным информационным потокам запросов. Современными математическими моделями информационных потоков в телекоммуникационных сетях являются коррелированные дважды стохастические потоки запросов. Систематизированное описание СМО и СеМО с коррелированными потоками приведено в монографии [1], в своем роде единственной в мировой литературе. Здесь отметим, что одними из первых работ, положивших начало систематическому исследованию коррелированных потоков (дважды стохастических потоков, MC-потоков, MVP-потоков, MAP-потоков), были работы [2-8]. Аналитическое исследование СМО и СеМО с коррелированными потоками - достаточно затруднительный процесс [1], тем более нахождение, скажем, характеристик СМО и СеМО в явном виде представляет собой сложную задачу, порой неразрешимую. В настоящей статье проводится аналитическое исследование однолинейной СМО с входящим синхронным дважды стохастическим потоком событий с двумя состояниями [9-12], с бесконечным числом мест для ожидания и экспоненциальным обслуживанием. Подчеркнем, что синхронный дважды стохастический поток является частным случаем MAP-потока событий [13-15]. Для стационарного режима функционирования СМО выводятся явные выражения для средней длины очереди, среднего числа запросов в системе и вероятности простоя системы. 1. Математическая модель системы. Постановка задачи Рассматривается однолинейная СМО с ожиданием и длительностью обслуживания, распределенной по экспоненциальному закону. На вход обслуживающего прибора поступает синхронный поток событий (запросов, сообщений и т.п.), сопровождающий процесс (интенсивность) A(t) которого есть кусочно-постоянный случайный процесс с двумя состояниями: A(t) = А1 (первое состояние) либо A(t) = А2 (второе состояние) (А > А2 > 0). Будем говорить, что имеет место j-е состояние процесса A(t), если A(t) = Aj, j = 1, 2. Если имеет место j-е состояние процесса A(t), то в течение временного интервала, когда A(t) = А/, имеет место пуассоновский поток событий с параметром (интенсивностью) a/, j = 1, 2. 35 Обработка информации / Data processing Пусть процесс X(t) находится в первом состоянии. Тогда в момент наступления события пуассоновского потока с параметром Х1 процесс X(t) либо переходит из первого состояния в первое (остается в первом состоянии) с вероятностью 1 - р, либо переходит из первого состояния во второе с вероятностью р (0 < р < 1). Если процесс X(t) находится во втором состоянии, то в момент наступления события пуассоновского потока с параметром Х2 процесс X(t) остается во втором состоянии с вероятностью 1 - q или переходит в первое состояние с вероятностью q (0 < q < 1). Таким образом, переход из состояния в состояние процесса X(t) осуществляется только в момент наступления события пуассоновского потока с параметром Xj, j = 1, 2 (свойство синхронности дважды стохастического потока событий). Рассматривается стационарный режим функционирования СМО. В сделанных предпосылках X(t) - сопровождающий стационарный кусочно-постоянный скрытый (принципиально ненаблюдаемый) транзитивный марковский процесс с двумя состояниями - Хі и Х2. Обозначим = ti+1 -tt, k = 1, 2,... - значение длительности k-го интервала между двумя сосед ними событиями потока (тк > 0) . Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности k-го интервала p (тк) = p (т) , т > 0, для любого k > 1. В силу этого момент времени tk без потери общности можно положить равными нулю или, что то же самое, момент наступления события есть т = 0. Тогда справедливо [9] p(т) = у^іе~Хіх + (1 -у)X 2е~х2х, 0, у = q , p + q (і) 0 < p < 1, 0 < q < 1, Xj > X2. Пусть (tk, tk+1) , (tk+1, tk+2 ) - два смежных интервала, значения длительностей которых есть тк = tk+1 - tk, тк+1 = tk+2 - tk+1 соответственно; их расположение на временной оси в силу стационарности потока произвольно. Тогда, полагая k = 1, будем рассматривать два соседних интервала (t1,t2 ) , (t2, t3) с соответствующими значениями длительностей т = t2 - ^ , т2 = t3 - t2 ; т1 > 0, т2 > 0 . При этом т1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события потока; т2 = 0 соответствует моменту t2 наступления следующего события потока. Соответствующая совместная плотность вероятности при этом есть [16] p(^т2) = p(т1)p(т2)+(і-p-q)у(і-у)(^1е Ѵ1 х(^е“^2 - Х2е“^2), Tj > 0, т2 > 0, -Я2е ) х (2) где ү, p (xk ) определены в (1) для т = тk, k = 1, 2. Подчеркнем, что из (2) следует, что в общем случае синхронный поток является коррелированным потоком. Только в частных случаях он становится рекуррентным либо вырождается в простейший. Частный случай 1: р + q = 1 - рекуррентный синхронный поток с двумя состояниями. Тогда p (т) определяется формулой (1), где ү = 1 - p , 1 - ү = p (либо ү = q, 1 - ү = 1 - q). Из (2) получаем p (т1, т2 ) = p (т1) p (т2 ) . Тогда, так как моменты наступления событий в потоке t1,...,tk порождают вложенную цепь Маркова {A,(tk)j-, нетрудно показать, что p(т1,...,тk) = = p(т 1 )••• p(тk) , k >2 . Таким образом, синхронный поток с двумя состояниями в первом частном случае всегда является рекуррентным. Частный случай 2: ү = 0 - простейший поток с параметром Х2. Из (1) находим p (т) = ^е ^2т т > 0. Частный случай 3: ү = 1 - простейший поток с параметром Х1. Из (1) находим p (т) = Xе -іХ т>0. 36 Горцев А.М., Бочарова М.А. Аналитическое исследование однолинейной системы массового обслуживания Задача анализа рассматриваемой СМО заключается в нахождении явного аналитического вида числовых характеристик системы: среднего числа сообщений в очереди; среднего числа сообщений в системе; вероятности простоя обслуживающего прибора. Обозначим і (t) - число сообщений в очереди в произвольный момент времени t (і(t) = 0,1,...). Случайный процесс і(t) не является марковским, так как входящий синхронный поток обладает последействием. Для того чтобы построить марковский процесс, необходимо учесть состояние входящего потока. Введем дополнительную переменную j (t) - состояние входящего синхронного потока (состояние сопровождающего процесса X(t) в произвольный момент времени t), j (t) = 1,2 . Если j (t) = 1, то X (t) = Х1; если j (t) = 2 , то X (t) = X2. Тогда двумерный процесс (і (t), j (t)) становится марковским. Так как рассматривается стационарный режим (t да) , то состояние системы будем обозначать (і, j) , і = 0,1,..., j = 1,2 . Отметим, что возможны ещі два состояния: (-1,1), (-1,2), при которых в системе находится ноль сообщений (длина очереди равна нулю и прибор не обслуживает - прибор простаивает). Сделанные предпосылки позволяют представить математическую модель исследуемой СМО в виде связного стохастического графа (рис. 1) [17]. Рис. 1. Стохастический граф переходов процесса X(f) из состояния в состояние Fig. 1. Stochastic graph of process X(t) from state to state Вершинам графа (см. рис. 1) соответствуют состояния СМО; каждой дуге графа поставлены в соотвествие интенсивности переходов из состояния в состояние (инфинитезимальные характеристики), причем петли в каждом состоянии опущены; каждая вершина графа (каждое состояние) достижима и возвратна. 2. Вывод числовых характеристик системы при входящем коррелированном синхронном потоке сообщений Обозначим P(i, 1), P(i, 2) - стационарные (финальные) вероятности состояний системы (і = -1,0,1,...) . Тогда для сечений стохастического графа Ғі1 = {(i - 1, 1; i, 1), (i, 1; i - 1, 1), (i, 1; i + 1, 1), (i + 1, 1; i, 1), (i, 1; i + 1, 2), (i -1, 2; i, 1)}, Ft2 = {(i - 1, 2; i, 2), (i, 2; i - 1, 2), (i, 2; i + 1, 2), (i + 1, 2; i, 2), (i, 2; i + 1, 1), (i - 1, 1; i, 2)}, і = 0,1,..., имеет место бесконечная система разностных уравнений с постоянными коэффициентами: X (1 - p ) P (і -1,1) - ( X + ц) P (і,1) + yP (і +1,1) + X2qP ( X2 (1 - q ) P (і -1,2) - (X2 + y) P (і, 2) + yP (і +1,2) + X1 pP (і - і -1,2) = о, 1,1) = 0, і = 0,1,... . (3) 37 Обработка информации / Data processing Решение системы (3) будем искать в виде [18]: P(1,1) = 41 , P(1,2) = C^1 (1 = 0,1,...) . Тогда характеристическое уравнение для системы (3) примет вид: (4) (4 -1){^2^3 - ц (X1+ А + ц) 42 + [ ^і^2 + X1 (1 - p) ц+X2 (1 - q) ц ] 4 --X1X2 (1 - p - q )}=°. Сначала рассмотрим условия существования вероятностей P(i, 1), P(i, 2), i = -1,0,1,... . Математическое ожидание т - длительности интервала между двумя соседними событиями в синхронном да потоке - определится в виде M(т) = J тр(т)dт , где плотность вероятности p(т) задана в (1). Под- 0 ставляя в выражение для M (т) плотность р (т) , находим M (т) = ^1Р + X2q . Тогда математическое X1X 2 (р + q) ожидание числа сообщений во входящем коррелированном синхронном потоке в единицу времени определится в виде: X = 1 M ( т ) = X1n1 + X2п2 , где п j - стационарная вероятность j-го состояния пото ка, j = 1,2 ; при этом п1 = X2 q По - V , П2 X1 р + X 2 q X1 р + X 2 q [9]. Рассмотрим ситуацию, когда X = ц . Подстав ляя ц = Х1п1 + X2n2 в (4), находим характеристическое уравнение для рассматриваемой ситуации: ( 4 - if (Х1П1 + Х2 П2 )2 42 -(X1 + Х2 )([п1 + Х2 П2 ) 4 + X1X 2 [ - р - q) = ° • (5) Характеристическое уравнение (5) имеет кратные корни. Тогда общее решение системы разностных уравнений (3), в котором ц = Х1п1 + Х2 п2, выражается в виде (6) P (i,1) = А 41 + Аі'42 + °з43з + D444, P (1,2) = ВД41 + B2D2142 + B3D343 + B4 D444, 1 = 0,1,... В (6) Ps (1,1) = Ds4S; Ps (1,2) = BsDs4ls, s =1,3,4, P2 (1,1) = D21'42, P2 (1,2) = B2D21'42 - частные решения системы (3); Bs, Ds - некоторые константы, определяемые из граничных условий, s = 1,4 ; 41 = 42 = 1, 43,4 = (хі + Х2 ) Т \\/Аі-А) +^XlX2{p + q) 2 ( Х1П1 + X2 п 2 ) . Здесь возможно три случая: 1) р + q = 1; 2) 0 < р + q < 1; 3) 1 < р + q < 2 • Рассмотрим первый случай. Тогда имеем 41 = 42 = 1, 43 = °, 44 = X1 + X2 , 44 > 1.Посколь- X^ + X 2 П2 ку P(i, 1), P(i, 2) - вероятности, то для них должно выполняться условие нормировки да да і=-1 і=-1 Z P (1,1)+ Z P (1,2) = 1. Тогда необходимым условием его выполнения является выполнение преда дельных соотношений limP(1,1) = 0 , limP(1,2) = 0 при 1 ^да. В противном случае ряды Z P(1,1) , 1=-1 да 1=-1 Z P(1,2) будут расходиться. С учетом сказанного в общем решении (6) константы Di, D2, D4 необходимо положить равными нулю. Тогда P (1,1) = 0, P (1,2) = 0, 1 = 0,1,... Так как для сечений стохастического графа F-i,i = {(-1, 1; 0, 1), (0, 1; -1, 1), (-1, 1; 0, 2)}, F-1,2 = {(-1, 2; 0, 2), (0, 2; -1, 2), (-1, 2; 0, 1)} имеют место граничные уравнения X1P(-1,1) = \\P(0,1) ; X2P(-1,2) = цҒ(0,2) , (7) 38 Горцев А.М., Бочарова М.А. Аналитическое исследование однолинейной системы массового обслуживания то и P(-1, 1) = 0, Д-1, 2) = 0. Таким образом, стационарные вероятности P(i, 1), P(i, 2), i = 0,1,..., для случая А = р и p + q = 1 все равны нулю, а это означает, что стационарного распределения не существует (и тем более не существует при А > р), и очередь в однолинейной СМО стремится к бесконечности. Рассмотрим второй случай. Тогда имеем 4і = 1, ^2 = 1 , 0 < 43 < 1 , ^4 > 1 . Аналогично первому случаю константы Di, D2, D4 в общем решении (6) нужно положить равными нулю. Тогда общее решение (6) запишется в виде: (8) P{i,l)= ^з43, P(i,2) = B3D343, i = 0,1,... Определим константу B3. Подставляя (8) в первое уравнение системы (3), в котором р = А1п1 + А2п2 получаем B3 =- 1 2А1А 2 (p+q )- ( А1 - А2 ) + 2А1А 2 (p + q ) + (А1 - А2 )д/( А1 - А 2 ) + 4А1А 2 ( p + q ) < 0. (9) Таким образом, Вз < 0. Тогда из (8) следует, что D3 < 0. Последнее, в свою очередь, приводит к противоречию: P (і,1) < 0 , i = 0,1,...; р(i,2)> 0 , i = 0,1,... Противоречие устраняется, если положить D3 = 0: P (i,1) = P (i,2) = 0, i = 0,1,... Отсюда с присоединением граничных уравнений (7) следует, что при А = р и 0 р. Рассмотрим третий случай. Тогда имеем 41 = 1, 42 = 1, -1 < 43 < 0, 44 > 1. Тогда по аналогии с первым случаем общее решение (6) запишется в виде (8). Константа Вз определится в виде (9). Тогда имеем: 1) D3 > 0, Вз < 0, отсюда следует, что P (і,1) > 0 для четных i и P(і,1) < 0 для нечетных i; аналогично для P(i, 2); 2) D3 < 0, Вз < 0, отсюда следует, что P (і,1) > 0 для нечетных i и P (і,1) < 0 для четных i; аналогично для P(i, 2). Полученные противоречия снимаются, если положить D3 = 0: P(i,1) = P(i,2) = 0, i = 0,1,... Тогда при А = р и 1 < p + q < 2 (с присоединением граничных уравнений (7)) стационарное распределениеP(i,1),P(i,2), i = -1,0,1,..., не существует, и тем более не существует при А > р . Перейдём к случаю А < р (А = А1п1 + А2п2 ) . Общее решение системы (3) с учетом (4) выпишется в виде (10) p (i,1) = А41 + Л42 + A343 + А44, p(i,2) = СИ141 + С2Л42 + C3A343 + C4A444, i = 0,1,..., где Ps (i,1) = As4S, P (i,2) = CsAs4S - частные решения системы (3); Cs, As - некоторые константы, определяемые из граничных условий, s = 1,4 ; 44 = 1; 41,42,43 - корни кубического уравнения рА3 - р (А1 + А2 + р) 42 +[^1А2 + А I1 - p)р + А2 і1 - q)р]4 - А1А2 I1 - p - q) = °- (11) Рассмотрим случай: 0 < p + q < 1 (0 < p < 1, 0 < q < 1 либо 0 < p < 1, 0 < q < 1). Подчеркнем , во-первых, что вероятности p, q не могут быть равными нулю одновременно, так как последнее приводит к вырождению коррелированного синхронного потока в некий простейший поток событий, во-вторых, ситуация, когда p = 0, q Ф 0 , приводит (формула (1)) к вырождению коррелированного синхронного потока в простейший поток с параметром А1, в-третьих, ситуация, когда p Ф 0, q = 0 , приводит (формула (1)) к вырождению коррелированного синхронного потока в простейший поток с параметром А2. Для рассматриваемого случая имеем три корня кубического уравнения (11): 0 < 41 < 42 < 1 < 43 , при этом Г А ^ Г А А 41е 0,-2 , 4 2 е 2 1 1 р 2 4 р р 2 выпишется в виде А, , - < 1. Тогда общее решение (10) (так как 43 > 1, 44 = 1, то A3 = А4 = 0) р 39 Обработка информации / Data processing P(i,i) = Д4І + A£2, P(i,2) = CAc + Ц, i = 0,1,... (12) Подставляя частные решения Ps (i, 1 ) = As4S, Ps (i,2) = CsAs4S, i = 0, 1,..., s = 1,2, в исходную систему (3) (сначала для s = 1, затем для s = 2), находим - р) + (' + X2q Для определения констант At, i = 1,2, и вероятностей ,Р(-1, 1), ,Р(-1, 2) нужно привлечь граничные да да условия (7) и граничное уравнение £ ApP(c,1)= £ '2qP(i,2), определяемое сечением графа ;=-1 ;=-1 F = {(i, 1; i + 1, 2), (i, 2; i + 1, 1), i = -1, 0, 1, ...}; присоединяя сюда условие нормировки: P(-1,1) + да +P(-1,2)+ £ ГP(i,i) + P(i,2)l = 1, с учетом (12), получаем i=0L J Cs = -' (1 M) 4s - M4s s = 1,2. (13) P(-1,1) = f (A + A2) ; P(-1,2) = M(C1A + C2A2) ; (14) 'i л _ b1n2 - C2a2п1 л - C1b2ni - ain2 A1 = ^ 11 ^ ; A2 = M 2 1 Cibib2 C2a1a2 CL°L°2 C2a1a2 ; a =-+ '1 1 - 41 M 1 , M ; a2 = 7-+ “-да; b1 =_-+ '2 1 - 42 '1 1 - 42’ j m b2 = "--+ 1 '2 1 - 41 , , п2 определены при выводе уравнения (5); Cl, C2 определены в (13); 4l,42 корни кубического уравнения (11), 0 < 4 < 42 < 1. Формулы (12), (14) позволяют определить числовые характеристики системы: ,Р(-1) - вероятность простоя обслуживающего прибора; M(I) - среднюю длину очереди в системе; M(I + 1) - среднее число сообщений в системе: P (-j) = м A 1+Cl V '1 '2 J 1 C 2 --1-- V'1 '2 J M (I) = +42 A (■ + C, M (I +1) = Al(1+£l) + a2 (■ + C2) (15) 2 (i - 4i)2 (1 - 4 2 )2 (1 - 4i)2 (1 - 4 2 )2 где Cl , C2 определены в (13); Al , A2 - в (14); 4l , 42 - корни кубического уравнения (11), 0 < 4i < 42 < 1. В табл. 1-3 в качестве иллюстрации приведены зависимости ,Р(-1), M(I), M(I + 1) от параметра 7 (7 = 2, 3, ..., 11) для p + q = 0,3 (p = 0,05, q = 0,25); 0,4 (p = 0,05, q = 0,35); 0,5 (p = 0,05, q = 0,45); 0,6 (p = 0,05, q = 0,55); 0,7 (p = 0,5, q = 0,65) при фиксированных значениях параметров 7 = 1, ц = 12, вычисленные по формулам (15). Поведение указанных характеристик в зависимости от параметра 7 соответствует физическим представлениям о процессе обслуживания в рассматриваемой однолинейной СМО с входящим коррелированным синхронным потоком сообщений. Таблица 1 Зависимость вероятности простоя Р(-1) от параметра 7і (7і = 2, 3, 11) дляp + q = 0,3; 0,4; ...; 0,7 71 p + q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,3 0,8571 0,8125 0,7778 0,7500 0,7273 0,7083 0,6923 0,6786 0,6667 0,6563 0,4 0,8519 0,8000 0,7576 0,7222 0,6923 0,6667 0,6444 0,6250 0,6078 0,5926 0,5 0,8485 0,7917 0,7436 0,7024 0,6667 0,6354 0,6078 0,5833 0,5614 0,5417 0,6 0,8462 0,7857 0,7333 0,6875 0,6471 0,6111 0,5789 0,5500 0,5238 0,5000 0,7 0,8444 0,7812 0,7255 0,6759 0,6316 0,5917 0,5556 0,5227 0,4928 0,4653 40 Горцев А.М., Бочарова М.А. Аналитическое исследование однолинейной системы массового обслуживания Т аблица 2 ческого уравнения (11): - 1 < Ъ < Ъ2 < 1 < Ъ3 ; при этом ^ е (-1,0), Ъ2 е Хо X- \\ X- 1 < 1. Тогда общее Ц Зависимость средней длины очереди M(I) от параметра (71 = 2, 3, 11) дляp + q = 0,3; 0,4; ...; 0,7 71 p + q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,3 0,0258 0,0539 0,0925 0,1432 0,2089 0,2936 0,4027 0,5427 0,7200 0,9390 0,4 0,0275 0,0595 0,1049 0,1660 0,2466 0,3521 0,4899 0,6693 0,9000 1,1905 0,5 0,0285 0,0633 0,1136 0,1825 0,2746 0,3967 0,5580 0,7706 1,0482 1,4037 0,6 0,0292 0,0659 0,1199 0,1949 0,2962 0,4318 0,6129 0,8541 1,1733 1,5890 0,7 0,0297 0,0679 0,1248 0,2046 0,3135 0,4604 0,6583 0,9246 1,2814 1,7532 Таблица 3 Зависимость среднего числа сообщений в системе M(I + 1) от параметра Іі (71 = 2, 3, ..., 11) дляp + q = 0,3; 0,4; ...; 0,7 71 p + q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,3 0,1687 0,2414 0,3147 0,3932 0,4816 0,5852 0,7104 0,8641 1,0533 1,2828 0,4 0,1756 0,2595 0,3473 0,4438 0,5543 0,6855 0,8455 1,0443 1,2922 1,5979 0,5 0,1800 0,2716 0,3700 0,4801 0,6079 0,7613 0,9502 1,1872 1,4868 1,8620 0,6 0,1831 0,2802 0,3866 0,5074 0,6491 0,8207 1,0340 1,3041 1,6495 2,0890 0,7 0,1853 0,2867 0,3994 0,5287 0,6819 0,8687 1,1028 1,4019 1,7886 2,2880 Рассмотрим случай: 1 < p + q < 2 (0 < p < 1, 0 < q < i) . Для этого случая имеем три корня куби решение (10) (так как Ъі1 < 0 , Ъ3 > 1, Ъ4 = 1, то A1 = A3 = А4 = 0) выпишется в виде: (16) P(i,1) = А2Ъ2, P(i, 2) = C2A2&, i ^ 0. Константа C2 в (16) определится в виде (13) для s = 2. Для определения константы A2 и вероятностей Р(-1, 1), Р(-1, 2) привлекаются граничные уравнения (7) и условие нормировки. Тогда, с учетом (16), находим И' Л тз/ 1 -Л_ ^ п Л Л _1/ Х2 + X1C2 + 1 + C2 P(-1,1) = f A2, P(-1,2) = f-C2A2, A2 = X 2 X1 X2 1-Ъ 2 ) (17) X2 X, в (17) величина C2 определена выражением (13) для s = 2; Ъ2 - корень уравнения (11), - 1 , £3 = 1, необходимо константы R2, R3 положить равными нулю. Тогда (22) примет вид: P(i,l) = , P(i,2) = GR^, i = 0,1,... (23) Подставляя решение (23) в первое уравнение системы (19), находим константу Gi: -Xi (1 - p) + (Xi + ц) £ - ^2 Gi =■ (24) X2 (1 - P) Для нахождения константы Ri и вероятностей E(-i, 1), E(-i, 2) привлечем граничные уравнения (7) и условие нормировки. Тогда получаем 1 -і Ц D Т>( 1 _ Ц ^ D D _ J .. X2 + X1G1 I 1 + G1 P (-1,1) = f Ei, P (-1,2) = f- G1E1, Ei =\\ ц X- Xo X1X2 1 - £i (25) где £1 определена в (21), Gi - в (24). Формулы (23), (25) позволяют определить числовые характеристики системы, введенные выше: P (-0=ц 1+2l ѵ Xi X 2 у Ei; M(I) = £1 (1 + Gi К,. (1 - £і )2 Ei; M(I +1) = 1 + G (1 - £і) 2 E1’ (26) где Ri определена в (25), Gi - в (24), £1 - в (21). Т аблица 7 Зависимость вероятности простоя Е(-1) от параметра Х1 (Х1 = 2, 3, 11) дляp = 0,3; 0,4; ...; 0,7; q = 1 -p Xi p 2 3 4 5 6 7 8 9 i0 ii 0,3 0,87i8 0,8438 0,8246 0,8i06 0,8000 0,79i7 0,7849 0,7794 0,7748 0,7708 0,4 0,88i0 0,86ii 0,8485 0,8397 0,8333 0,8284 0,8246 0,82i4 0,8i88 0,8i67 0,5 0,8889 0,8750 0,8667 0,86ii 0,857i 0,8542 0,85i9 0,8500 0,8485 0,8472 0,6 0,8958 0,8864 0,88i0 0,8775 0,8750 0,8732 0,87i8 0,8707 0,8698 0,8690 0,7 0,9020 0,8958 0,8925 0,8904 0,8889 0,8878 0,8870 0,8864 0,8858 0,8854 Таблица 8 Зависимость средней длины очереди M(I) от параметра Х1 (Х1 = 2, 3, ..., 11) дляp = 0,3; 0,4; ...; 0,7; q = 1 -p Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 i0 ii 0,3 0,0209 0,0376 0,0566 0,0776 0,i000 0,i236 0,i480 0,i729 0,i980 0,2229 0,4 0,0i80 0,0298 0,0422 0,0550 0,068i 0,08ii 0,0940 0,i067 0,ii 90 0,i3i0 0,5 0,0i56 0,0238 0,03i9 0,0399 0,0476 0,055i 0,0623 0,0692 0,0758 0,0820 0,6 0,0i35 0,0i9i 0,0243 0,0292 0,0338 0,038i 0,0422 0,046i 0,0496 0,0530 0,7 0,0ii7 0,0i 53 0,0i85 0,02i4 0,0240 0,0265 0,0288 0,0308 0,0328 0,0346 Таблица 9 Зависимость среднего числа сообщений в системе M(I + 1) от параметра Х1 (Х1 = 2, 3, ..., 11) дляp = 0,3; 0,4; ...; 0,7; q = 1 -p Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 i0 ii 0,3 0,i49i 0,i938 0,232i 0,2670 0,3000 0,33i9 0,363i 0,3935 0,4232 0,452i 0,4 0,i37i 0,i687 0,i937 0,2i53 0,2347 0,2527 0,2695 0,2853 0,3002 0,3i43 0,5 0,i267 0,i488 0,i652 0,i787 0,i905 0,20i0 0,2i05 0,2i92 0,2273 0,2347 0,6 0,ii77 0,i327 0,i433 0,i5i7 0,i588 0,i650 0,i704 0,i754 0,i798 0,i839 0,7 0,i098 0,ii 94 0,i260 0,i3i0 0,i352 0,i387 0,i4i8 0,i445 0,i469 0,i49i 43 Обработка информации / Data processing В табл. 7-9 в качестве иллюстрации приведены зависимости ,Р(-1), M(I), M(I + 1) от параметра (Хі = 2, 3, ..., 11) дляp = 0,3; 0,4; ...; 0,7; q = 1 -p при фиксированных значениях параметров ^ = 1, ц = 12, вычисленные по формулам (26). Поведение указанных характеристик в зависимости от параметра Хі соответствует физическим представлениям о процессе обслуживания в рассматриваемой однолинейной СМО с входящим рекуррентным синхронным потоком сообщений. Заключение В настоящей статье изучена однолинейная СМО с входящим коррелированным синхронным дважды стохастическим потоком событий с двумя состояниями, являющимся частным случаем MAP-потока событий. Немарковский процесс i(t) - число запросов в очереди в момент времени t - путем введения дополнительной переменной j(t) - состояние входящего синхронного потока в момент (i(t),j (t )) времени t - сводится к двумерному процессу , являющемуся марковским процессом. С использованием метода диаграмм интенсивностей переходов находится явное аналитическое стационарное распределение вероятностей состояний процесса (i(t), j (t)) (t ^да) . Приводятся явные аналитические формулы для числовых характеристик системы и построенные на основании этих формул зависимости числовых характеристик от параметров СМО, представленные в таблицах. Рассмотрен также частный случай входящего потока запросов - рекуррентный синхронный поток с двумя состояниями.

Скачать электронную версию публикации