Second-order distributions: construction, operations, applications.pdf Построение эмпирических функций распределения практически не бывает точным; оно сопровождается ошибками, что приводит к неопределенности вероятностных оценок. Неточные вероятности -один из источников вероятностей второго порядка. Предположим, что у нас есть оценка вероятности P некоего события. Когда мы можем оценить границы P1 < P < P2, можно говорить об интервальной оценке вероятности P. Такие интервальные оценки для гистограмм приводят к интервальным гисто-© Б.С. Добронец, О.А. Попова, 2022 Обработка информации / Data processing граммам. В тех случаях, когда для P существует вероятностная оценка, можно говорить о вероятности второго порядка. Таким образом, вероятности второго порядка - это вероятностные оценки самих вероятностей. Для работы с неопределенными вероятностями существует несколько подходов [1]. Один из распространенных методов работы с неопределенными вероятностями - использование P-box [2]. P-box представляет собой интервальную функцию распределения (Fi(x) < F(x) < F2(x)). В работе [3] показано использование неопределенных вероятностей в инженерных расчетах. При этом предполагается, что при стохастическом моделировании для входных данных известны семейства распределений. Входные данные для моделирования выбираются случайным образом из этих семейств, далее методом Монте-Карло производится стохастическое моделирование. Важно отметить, что при работе с неопределенными вероятностями существенным препятствием является отсутствие эффективных арифметических операций. Одним из подходов, моделирующих неопределенность вероятностных оценок, стало использование вероятностей второго порядка. В работе [4] для представления вероятностей второго порядка предложено новое понятие гистограммы второго порядка. Применение вычислительного вероятностного анализа позволило развить идею далее на основе применения кусочно-полиномиальных моделей [5, 6]. Для численных реализаций операций над распределениями второго порядка в статье рассматривается новый подход, основанный на использовании вероятностных расширений их параметризованных представлений. Следует отметить давний и устойчивый интерес к вероятностям второго порядка в различных областях, включая принятие решений [7, 8]. Среди русскоязычных монографий, посвященных методам работы с неопределенностями, можно выделить работы О.И. Ужга-Реброва [9]. 1. Вероятностные расширения Основа вычислительного вероятностного анализа - численные арифметические операции над функциями плотностей вероятностей и вероятностные расширения (построение законов распределений функций случайных аргументов). Функции плотности вероятности случайных величин x, y, z будем обозначать полужирным фонтом х, y, z. Тогда функция плотности вероятности z случайной величины z = x * y, * е {+,-,-,/} , записывается в виде z = х * у. Рассмотрим задачу определения закона распределения функции нескольких случайных аргументов. Пусть (x,x2xn) - система случайных непрерывных переменных с совместной функцией плотности вероятности p(x,x2,...,xn). Случайная переменная z Z = f (X , x2 xn ), где функция f : Rn ^ R . Определение 1. Будем говорить, что случайная функция f: Rn ^ R является вероятностным продолжением вещественной функции f : Rn ^ R на множестве D с R", если f (х) = f (х) для всех точечных аргументов х е D. Определение 2. Случайная функция f: Rn ^ R называется вероятностным расширением вещественной функции f : Rn ^ R на множестве D с R", если она (i) является вероятностным продолжением f на D, (ii) функция плотности вероятности f совпадает с функцией плотности вероятности z случайной величины z: Z = f ( xj , x2 xn ). Таким образом, мы можем записать z = f (Xi.. Xn). 62 Добронец Б.С., Попова О.А. Распределения второго порядка: построение, операции, приложения В тех случаях, когда надо указать непосредственно значение плотности вероятности f в некоторой точке £,, будем использовать обозначение z © = f ( х ъ---> х и)(^)- Теорема 1 [10]. Пусть ©,..., xn ) - случайные величины и f © ,..., хп ) - вероятностное расширение f (x,x,-,xn), и для всех вещественных t функция f (t,х2,...,хп) - вероятностное расширение f (t,x2xn) . Тогда f (хи-, хк )© = f ” х, (t )f (t, х2 ,-j хк )(£)dt. JXl 2. Распределения второго порядка В вероятностном пространстве (Q, Т, Р) случайный процесс представляет собой набор случайных величин {a(x,ш),x еD,ше П}. Термин «случайное поле» обычно относится к случайному процессу, принимающему значения в евклидовом пространстве Rd, d = 1, 2, 3. Случайное поле можно посмотреть двумя способами: - для фиксированного xеD, a(x,-) является случайной величиной в Q; - для фиксированного шеП, a(-, ю) является реализацией случайного поля в D. Определение 3. Распределение второго порядка /2) - случайное поле fx, ю), x е D,raeQ, заданное на D сR, где (Q, Т, Р) - вероятностное пространство. Обладает следующими свойствами: для фиксированного шеП, f (-,ю) является функцией распределенияfm. В тех случаях, когда для распределений второго порядка fi, f (-, ш) - функции плотности вероятности, для распределений второго порядка можно определить арифметические операции. Определение 4. Операции над распределениями второго порядка. Пусть f(2), g(2) - распределения второго порядка, (О/, Т/, Р/), (fig, Tg, Pg) - соответственно их вероятностные пространства. Тогда результат операции f(2) * g(2), * е {+,-,-,/} , - распределение второго порядка F(2): F(-, ш*) = {/(-, ш, ) * ,(-, a^g) I ,, a^g) еП,}, где (fi*, Т*, Р*) - вероятностное пространство, Q = Q х Q . Рассмотрим пример построения кусочно-полиномиального представления для распределения второго порядка. Пусть ©,...,£я), n = 9, - выборка случайной величины Xс функцией распределения F(t), t е [0,2]. Далее х = F© ), i = 1, -, n . Заметим, что zt, i = 1, -, n - равномерно распределенные случайные величины на отрезке [0, 1]. Если Z1 ^ Z2 ^ Zn , тогда zk - k-я порядковая статистика и ма тематическое ожидание [ Ezk ] = k/(n +1) . На рис. 1 представлена функция распределения второго порядка, аппроксимирующая распределения кусочно-линейных интерполяций распределений Ирвина-Холла третьей степени, построенная на выборке случайной величины размерности 9. Голубые линии - плотности вероятности случайной кусочно-линейной функции. Красная линия - точная функция распределения. Зеленые линии - границы 95%-ной доверительной области. Функция плотности вероятности есть производная от функции распределения f (x) = F'( x), следовательно, производная от функции распределения второго порядка будет функцией плотности вероятности второго порядка. Производная от кусочно-линейной функции - кусочно-постоянная функция. На рис. 2 приведен пример кусочно-постоянной функции - функции плотности вероятности второго порядка (надежной 63 Обработка информации / Data processing оценки ф.п.в.). Красная линия - точная функция плотности вероятности. Синие линии - функции плотности вероятности надежной оценки, построенной на выборке случайной величины размерности 9. Рис. 1. Распределение второго порядка, аппроксимирующее распределение Ирвина-Холла третьей степени Fig.1. Second order distribution, approximating the Irwin-Hall distribution of the third degree Рис. 2. Функция плотности вероятности второго порядка Fig. 2. Second order probability density function Далее будем использовать эрмитовы кубические сплайны S и точки (x.,i / (n +1)) для построения аппроксимации функции распределения F: F(х) = 1 х; / 2 х £[ 0,7. 66 Добронец Б.С., Попова О.А. Распределения второго порядка: построение, операции, приложения На рис. 6 приведена достоверная оценка интенсивности отказов модельной задачи. Оттенками серого показаны плотности вероятности распределения второго порядка. На рис. 6 показана оценка функций плотности вероятности P(t) в момент времени t = 1. Рис. 6. Достоверная оценка интенсивности отказов и вероятности безотказной работы Fig. 6. Reliable assessment of failure rate and probability of failure-free operation Используя вероятностное расширение X, можно вычислить значения оценки функции плотности вероятности P(t) в любое время. Используя оценки функции плотности вероятности P(t) в виде сплайнов, мы можем, например, оценить риск того, что вероятность P(1) > 0,2 или P(1) < 0,05. Заключение Применение кусочно-полиномиальных моделей распределений второго порядка позволяет строить надежные оценки эмпирических функций распределений. Рассмотренные примеры численных операций над распределениями второго порядка в задачах построения оценок надежности оборудования в условиях малых выборок подтверждают этот вывод. Дальнейшее использование распределений второго порядка может быть направлено на оценки рисков, принятие решений, стохастическое моделирование в условиях эпистемической неопределенности.

Скачать электронную версию публикации