Estimation of dead time duration in generalized MAP with two states.pdf Рассматривается обобщенный МАР-поток событий, относящийся к классу дважды стохастических потоков событий [1-3]. Изучаемый поток представляет собой адекватную математическую модель реальных потоков случайных событий в телекоммуникационных системах, спутниковых сетях связи и глобальных компьютерных сетях; сопровождающий процесс потока есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний [4-7]. В реальных ситуациях параметры, определяющие поток событий, либо известны частично, либо вообще неизвестны, либо изменяются со временем. Поэтому при анализе дважды стохастических потоков событий выделяют два основных класса задач, базой для которых служат моменты времени наступления событий в потоке: 1) оценивание состояний потока событий [8-11]; 2) оценивание параметров потока [12-15]. Задача, решаемая в настоящей статье, относится ко второму классу задач. При решении перечисленных задач следует учитывать возможные искажающие факторы, существенно влияющие на качество оценивания. Одним из таких факторов является мертвое время регистрирующих приборов [16-18], порождаемое каждым зарегистрированным событием: последующие события исходного потока, наступившие в течение периода мертвого времени, недоступны для наблюдения. Такой эффект характерен для большинства реальных систем. Предполагается, что период ненаблюдаемости потока имеет фиксированную длительность T [19]. В данной работе осуществляется исследование обобщенного МАР-потока событий с двумя состояниями в условиях частичной наблюдаемости. В общем случае дважды стохастические потоки событий, в том числе и рассматриваемый обобщенный MAP-поток, являются коррелированными потоками; в работе на основании явного вида совместной плотности вероятности двух смежных интервалов между моментами наступления событий выписываются условия рекуррентности рассматриваемого потока. Предлагается явный вид плотности вероятности значений длительности интервала между моментами наступления событий потока в случае как коррелированного, так и рекуррентного задания потоков. Приводятся численные результаты оценивания периода ненаблюдаемости соседних событий исследуемого потока. Данная статья является непосредственным развитием работ [20-22]. 1. Постановка задачи Исследуется обобщенный MAP-поток событий с произвольным числом состояний (далее - поток), функционирующий в установившемся (стационарном) режиме. Сопровождающий случайный процесс X(t) изучаемого потока представляет собой кусочно-постоянный принципиально ненаблюдаемый процесс с n состояниями: S, ..., Sn. Полагается, что при ЦО = имеет место i-е состояние (£;), i = 1,n , процесса X(t). При этом ^ > Х2 > ... > Хп > 0. Наблюдаемыми являются моменты времени наступления событий потока tx, t2,... Функция распределения случайной величины - длительности пребывания процесса Ц() в состоянии S - является экспоненциальной: F (t) = 1 - e ^, t > 0, i = 1, n . В момент окончания состояния St 70 Кеба А.В., Нежельская Л.А. Оценка длительности мертвого времени в обобщенном MAP-потоке событий процесс X(t) переходит из состояния S в состояние S. с вероятностью Рх (Х.|Х;) с наступлением события потока или с вероятностью Р0(Х-|Хг-) без наступления события потока, i, j = i, n . Отметим, что для вве- П I П I _ денных вероятностей справедливо 2 P (X X ) + 2 P (X X ) = 1, i = 1, n . j=i j j=i j Блочная матрица инфинитезимальных характеристик [19] процесса X(t) имеет вид D = ||D0|Dt||: D0 = -4 - PAil v) X2 PAil X2) X1P0(X2 |Xi) ... - X2 Vi - P,(X2|X2)) ... WX n| Xi) X2P0 (X n\\X2) X nPAil Xn ) XnP,(X2Xn) ... - X n G - P0(X n| Xn )) nxn X^A |Xi> Xi Pi(X 2 |Xi) ... Xi Pi(X n |Xi) X2Pi(Xi Iх,) X 2 Pi (X 2 Iх 2) ... X 2 Pi (X n Iх 2) D, X P (XX ) X P (XX ) ... X P (XX ) nxn n ii n n i2 n n i n n Каждое зарегистрированное событие потока создает период ненаблюдаемости фиксированной длительности (мертвое время), в течение которого другие события исходного потока недоступны для наблюдения (теряются); кроме того, события, наступившие в течение периода мертвого времени, не вызывают его продления (непродлевающееся мертвое время). Первое наступившее после периода мертвого времени событие потока снова создает период мертвого времени длительности T и т.д. В качестве иллюстрации на рис. 1 приведена одна из реализаций процесса 'k(t) и наблюдаемого потока, где \\ - значение процесса X(t) в состоянии S, i = i, n ; штриховкой обозначены периоды мертвого времени; события обобщенного МАР-потока, недоступные наблюдению, отмечены черными кружками; tx, t2, ... - моменты времени наступления событий в наблюдаемом потоке. Рис. 1. Реализация обобщенного MAP-потока событий с произвольным числом состояний в условиях непродлевающегося мертвого времени длительности T Fig. 1. Realization of Generalized MAP with an arbitrary number of states under conditions of unextendible dead time of duration T 71 Обработка информации / Data processing Замечание 1. Введение вероятности P0(^Дг) ф 0, i = i, n, перехода процесса X(t) из состояния St в состояние St без наступления события приводит к обобщению классического МАР-потока с произвольным числом состояний. Утверждение 1. Для обобщенного МАР-потока событий с n состояниями процесс X(t) является скрытым марковским процессом. Цель работы заключается в решении задачи оценивания периода ненаблюдаемости для случая как коррелированного, так и для рекуррентного задания обобщенного MAP-потока событий с двумя состояниями и в анализе полученных оценок. Оценка находится методом моментов на основании полученной при имитационном моделировании потока выборки последовательных моментов наступления событий fj,...,, на интервале наблюдения (0,t) ; 0 < tj 0 , - значение длительности k-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока tk и tk+l, k = 1, 2, ... Для плотности вероятности значений тк вследствие функционирования потока в стационарном режиме справедливо рт (%к ) = рт (т) , т> 0 , при любом к > 1, что позволяет без ограничения общности положить момент наступления события tk равным нулю или, что то же самое, момент наступления события есть т = 0 . Утверждение 2. Последовательность tx,t2,... порождает вложенную по моментам времени наступления событий цепь Маркова {k(tk)} . Теорема 1. В обобщенном MAP-потоке, функционирующем в условиях непродлевающегося мертвого времени, плотность вероятности рт (т) длительности интервала между соседними событиями имеет вид: 0, 0 < т < T, Рт (т) = - Y(T )zi -z1(z-T ) + (1 - y(T) ) Z2

Скачать электронную версию публикации