Research of general independent process .pdf Известно, что стационарный поток восстановления называется рекуррентным [1]. Он характеризуется единственной функцией распределения1 x соAy (x) = - J (1 - A( y))dy, a = J (1 - A( x)) dx = M xn, a 0 0 где распределение Ai(x) характеризует так называемую величину перескока в потоках восстановления.Случайный поток однородных событий будем определять в виде случайного процесса n(t) - числа событий, наступивших за время t.Обозначим через z(t) длину интервала от текущего момента времени t до момента наступления следующего события. Тогда процесс {n(t), z(t)} является марковским, что позволит нам для его исследования применить теорию марковских процессов.Таким образом, нам необходимо найти распределение вероятностей двумерного случайного процесса {n(t), z(t)}, то естьP(n, z, t) = P{n(t), z(t) < z}.Так как процесс {n(t), z(t)} является двумерным процессом Маркова, то для распределения вероятностей P(n,z,t) нетрудно составить систему уравнений Колмогорова:\дР (0, z, t) dP (0, z, t) dP (0,0, t)dtdz dzdP (n,z,t ) = dP (n, z,t) dP (n,0,t)dP (n -1,0, t)(1)dtdzdz dz2. Асимптотика первого порядкаОпределим функциюH (u, z, t) = X ejun P(n, z, t),где j = лГ-1 - мнимая единица. Тогда в силу (1) можно записатьdH (и, z, t) = dH (и, z, t) + (л \р _ 1)дЯ (м,0, t) („dtdz 1 (z )e ^ dz .()Модифицируя метод асимптотического анализа аналогично [2, 3] введем величину T - длину интервала наблюдений за рассматриваемым потоком. В уравнении (2) выполним заменыT = г, -Г- = ts = т, u = ws, H(u, z, t) = F (w, z, т, s),тогда (2) примет видe dF {w, z, x, s) = oF (w> z> x> e) + A(z _ AdFy (w,0, x, s) (3)dxdz1 1 ^ ; dz 'Теорема 1. Если при s-» 0 существует предел lim F(w, z, т, s) = F (w, z, т),то F (w, x) имеет видF (w, t) = ejw*lT R(z),где R (z) = - f{l - A (x)}dx - стационарное распределение процесса z(t), а величи-a" она ж: определяется равенством (9).Доказательство. Выполним указанный предельный переход в (3), получим систему уравненийdFl (Wz'Т) = (1 - A (z(T) .(4)dz dzРешение этой системы можно записать в видеFi (w, z, т) = R( z Щ (w, т) .(5) Подставим это решение в систему (4):=(1 -A(zÄ (6,z zПроинтегрировав выражение (6), имеемR (z) ^^^^ J (1 - A (x ))dx . oz JоcoВведем следующие обозначения J(1 - A (x)}dx = a . Тогда0lim R(z) = R(oo) = dR(0)a = Ca .(8)z^ro dzI = Ca.ОбозначимC - - - а?1, (9)aтогда = а?1.dzdR (0)dz1 zСледовательно,R (z) = - Г{1 - A(x)}dx.Теперь найдем функции Ф: (w, т). Устремим z в бесконечность в выражении (3):dFx (w, со, т, s) = ( Jwe(w,0, т, s)дтv; dzразложим в ряд экспонентуDFy (w, ж, т, s ). 5F (w,0, т, s)s--1 = (1 + jws-1)--+ O(s).5т 5zУчитывая (5), получимдФ1 (w, т) . . . .-^i = jwaj^ (w, т),дтТаким образом, имеемzФ1 (w, т) = e^1. F (w, t) = e>iElTJ{1 - A(x)}dx.0Теорема доказана.Следствие. Для достаточно больших значений времени t (t = tT -» оо) имеет место асимптотическое равенствоMeJun{t) = lim H (u, z, t) * eju^ . (10)z --00Равенство (10) будем называть асимптотикой первого порядка характеристической функции процесса n(t).3. Асимптотика второго порядкаРассмотрим функциюH (u, z, t ) = ejusiltH2 (u, z, t). Тогда, подставив ее в уравнение (2) для функции H2(u, z, t), имеемdH^id^t) = дН2 (и,z,t) _ .мж1Я2 (jz,г) + (a(z)e> _2 («.0,/) . (и)Аналогично асимптотике первого порядка, введем обозначения 1 = е2 и выполним заменыt 2- = ts = т, u = ws, H2 (u, z, t) = F2 (w, z, t, s).„2 (w,z , T,S ) 5F2 (w,z , T ,s)Тогда (11) примет вид41 z T S^ dF (w z T S\jwsxlF2 (w,z, t ,s )5t dz+ (a(z)ejw - 1)5F2 (w,0,T,s). (12)5zТеорема 2. Если при s-» 0 существует предел lim F2 (w, z, т, s) = F2 (w, z, т), 1 F2 (w, т) имеет видF2 (w, т) = e 2 R(z), где функция R(z) определена выше, а семиинвариант з?2 определяется выражениемаг2 = 25z■аг.Доказательство. Равенство (12) запишем с точностью до бесконечно малой величины порядка O(s2), получим уравнение0(в2) = 5F2 (W:Z>т£) -(w,0,т,в) +5z+ (A (z )(1 + jWs) -1)3F2 (w,0,x,s) dz 'решение которого аналогично (5) запишем в видеF (w, z, t, s) = Ф 2 (w, t){ä(z) + jwf (z)} + O(s). Подставив решение (14) в выражение (12), получим(13) (14)dzO(s2) = + jVs^2^ - jwbkM z) + (A( z) (1 + y'ws) -1)dz)5R( z)I 5z5/2 (z)5zУчитывая выражение (6), имеем^ _ bir(z )+ A(z К + (A(z)-Ädz dzУстремив z в бесконечность, положив f2 (да) = 0, получим0.(15)тогда/2 (да) = аз, )(*(*)- A(x)))x + ](l - A(x)))x0dz 0З/2 (0)dzаз2 J (RR (x) - A (x ))dx.0(16)(17)Найдем функции Ф2 (w, т). Устремим переменную z к бесконечности в выражении (12) и, учитывая (14), получим уравнение5Ф2 (w,т) (jW)2 L 5f2 (0) ) , .5т 2 решение которого имеет видФ2 (w, т) = exp где &2 определяется выражением5z- к2 тш2 = 2dzаз.Здесь5Гг (0)5zчастное решение (17). Теорема доказана.Следствие. Для достаточно больших значений времени t (t = tT -» оо) имеет место асимптотическое равенствоО)2jua^t +--- a^tMe]un(t) = lim H(u,z,t)» e[" ' 2 ' .(19)Равенство (19) будем называть асимптотикой второго порядка характеристической функции процесса n(t).4. Асимптотика третьего порядкаРассмотрим функцию(ju )2H2 (u, z, t)= e 2 H3 (u, z, t). Тогда, подставив ее в уравнение (11) для функции H3(u,z,t) , имеемдН3 (и, z,t) dH3 (и, z, t) Г . (ju)dt dzH3 (u, z, t) ++ (A{2у _i)5h3dz,0,t), (20)Аналогично предыдущим случаям, введем обозначения - = s3 и выполним заменыt 3- = ts = т, u = wz, H3 (u, z, t) = F3 (w, z, t, б) . Тогда (20) примет вид3 3F3 (w, z, t, s) 3F3 (w, z, t, s) s - -dt dzj2 уF3 (w, z, t, s) + (A(z У -1)^(f'T'£) .(21)dzТеорема 3. Если при s - 0 существует предел lim F3 (w, z, т, s) = F3 (w, z, т),тоF3 (w, т) имеет вид(jwf 3! 3 ■где функция R(z) определена выше, az3 определяется равенством= _ + 3ЩИ + 3» .(22,dz dzЗдесь имеет видdz5/э (0)00 00= -cejce2 j"(R (x) - A(x)))x - 2аз2 J/2 (x)dx .Доказательство этой теоремы выполняется аналогично доказательствам вышеприведенных теорем.Следствие. Для достаточно больших значений времени t (t = tT -» да) имеет место асимптотическое равенствоMejun(t) = lim H(u,z,t)«e[' ' 23 >. (23)Z-00Равенство (23) будем называть асимптотикой третьего порядка характеристической функции процесса n(t).5. Допредельная модельИмеем дифференциальное уравнение (2):dH (u, z, t) = dH (и, z, t) + \ jU _ л5Я (u,0, t)5?dz ( (Z ^ ' dz ,решение H(u, z, t) которого удовлетворяет начальному условиюЯ (и, z,0) = R( z).Обозначим преобразование Фурье - Стилтьеса [4] от функции H(u, z, t)соф(и, a, t) = jeJaa dz H (u, z, t) .(24)0Тогда из (2) получим уравнение для прямого преобразования Фурье - Стилтьесадф(и, a, t) dH (u,0, t) .dH (w,0, г) ,=7аф(и, a,t) +A (a)eJ =dtdz dz= -jatfu,a,t) +dH(U'0,t) (A*(a)eju -1), (25) dz v ;-0 0 dzгде5zdH (w,0, t)7'аф(и, a, t),dzдаA* (a) = jeyazdA(z) = Me7'ax.0Решение уравнения (25) имеет видф(и,a,t) = e-at (R*(a) + jVax дЯ^T)(a*(a)eju -l)dxгде R* (a) = ф(и, a, 0).Устремим t в бесконечность в выражении (24), получимlim ф(и, a, t) = f ejaz dz Я (и, z, да) = 0 .С другой стороны, из (26) имеем0 = ф(и, а, да) = R* (а) + (a*(a)eju -1) jeJaT0dH (u,0, t)dzd t .Поэтому преобразование Фурье от dH(u0 т) имеет видdzдаdт = R* (a) (l - A* (a)eju) 1.0Тогда в силу обратного преобразования Фурье dH (u,0, t) 1 ~dz-даj e-7'"1 R* (a) (1 - A* (a)eju)-'dt .2nТеперь можно записать решение (26) в видеГ 1 t 00_r ^ф(и, a, t) = e_jat R* (a) + - jejc" j e_jyTR* (y) (l - A* (a)eju) dy (a* (a)eju - l)dx .V2П 0_oo JЗная, что ф(и,0, г) = Я (и, да, г) = H (и, г), получим выражение для функции H (и, t):t coЯ(u, t) = 1 + -I- jj e_jyTdxR* (y) (l - A* (a)eju) 'dy (e7'u -1),Я (и, г) = l +0 _coJu _ 1 \ ж t2njje- jdxR* (y) (l _ A* (a)e]u )- dy .-ж 0Найдем отдельно интегралfe_jyT d x = -- fe_j>T d (-jyx) = --e0jy 0 jy_L(e_jyt -1) = -L(l - e_jy).jy jy(eju -l)Я(u, t) = l +f - (l - e-** ))* (y)(l - A* (yУu)- dy,-co Jyгде функция00..00Z ..00R* (y) = jej>zdR(z) = - jej>zd J(1 - A(x)) dx = - jej>z (1 - A(z)) dz =.coif °°- f(1 -A(z))dej>z = - (1 -A(z))ej>zГ - fej>zd(1 -A(z))A (y)-17>aСледовательно,Я (w, t) = 1 + ^-2naдаj -j(1 - е-** )(a*(y) -1)(a*(y)eJj -dy.-co УсоЗная, что H (u, t) = X e}un P(n, t), и раскладывая в ряд по функциям e™", полупиченное выражение можно записать в видесо(eJ" -1) » 1 _,H(и,t) = XeJ"nP(n,t) = 1+ Ц-i j (l-e_jy)(A*(y)-l)(A*(y)eJ" -1)_ dy == 1 + L j jt(l - e_J>t))(- A* (y)) X eJ"m A*m (y)dy =сс= 1 + T" j jt(l - e_J>t )(l - A*(y))XeJ"nA*n_1 (y)dy -сс-T~ j jt (l - e_jt) ( - A* ( у) ) X eJ"n A*n (y)dy =сс=l+2na j ^ (l - e_jy )(A*(y) - l)dy -1 ^ (l - e_jy )(A*(y)-l)2 A*n_1 (y)dy._с _сТаким образом, получили распределение вероятностей числа событий, наступивших в рекуррентном потоке за время tсоГI о -jst _i(27)'p(0,t) = 1J е---_(A*(s)_l)ds,-со1 о - jst _ 1 -P(i,t) = _-±- J e---±(A*(s)_l) A*i-1 (s)ds.-о6. Численные результатыНа временном промежутке (0,t], в течение которого наступают события определяемого случайного процесса n(t), будем рассматривать рекуррентный поток, у которого распределение длин интервалов между наступлениями событий имеет:1))гамма-распределение с параметрами а = 2 , ß = 2 в первом случае и а = 2 ,ß = 0,5 - во втором;2))равномерное распределение с параметрами a = 0, b = 2. Приняты следующие обозначения:[0,t) - интервал времени, в течение которого наступают события определяемого случайного процесса n(t),P(n,t) - распределение вероятностей числа событий, наступивших в рекуррентном потоке за время t;PA(n,t) - распределение вероятностей, полученное с помощью асимптотики третьего порядка;для распределения вероятностей P(n,t) и асимптотики третьего порядка PA(n,t) найдено расстояние Колмогорова - Смирнова [5].(0,5], равномерное распределение с параметрамиa = 0 , ß = 2 , sej = 1, ee2 = 0,333 , ee3 = 0,333В этом случае расстояние Колмогорова - Смирнова для аппроксимации третьего порядка равно 0,0032.В этом случае расстояние Колмогорова - Смирнова для аппроксимации третьего порядка равно 0,0061.ЗаключениеВ статье показаны результаты сравнения исследования рекуррентного потока двумя способами - асимптотическим анализом и решением уравнения (2), что позволяет нам найти точное распределение вероятностей числа событий, наступивших за время t. Нужно отметить, что найти распределение вероятностей с помощью аналитических формул (27) удается для достаточно небольших t, в то время как асимптотическое исследование можно провести практически для любого t.Сравнивая результаты, можно сказать, что аппроксимация третьего порядка имеет погрешность в среднем 0,0001 по сравнению с аналитическим решением. Таким образом, в случаях, когда аналитическим решением воспользоваться не удается, рекомендуется пользоваться асимптотикой третьего порядка.ЛИТЕРАТУРАНазаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания

Скачать электронную версию публикации