THE CONTROL OF RETAIL PRICE OF PERISHABLE GOODS .pdf Постановка проблемы и математическая модельПусть имеется некоторая скоропортящаяся продукция (например молоко, сметана, свежая рыба, овощи и т.д.), которая должна быть продана в течение торговой сессии (например дня). В противном случае товар снимается с реализации и пропадает.Продавец покупает партию товара объема Q0 по оптовой цене d и продает ее по розничной цене с. Ставится задача нахождения значений Q0 и с, при которых средняя прибыль продавца будет максимальной.Будем считать, что торговая сессия начинается в момент времени 0 и кончается в момент времени Т, то есть она занимает интервал времени [0, Т]. Обозначим через Q(t) количество товара в момент времени t. Будем также считать, что Q(0) = Q0 фиксировано. Предположим, что поток покупателей является пуассоновским потоком интенсивности A,(c(t)), зависящей от розничной цены c(t).Будем считать, что покупатели приобретают товар независимо друг от друга, и объем покупки £ есть случайная величина с M{£} = a\ и M{£2} = а2.В одном очень частном случае эта задача уже исследовалась в работе Е.В. Новицкой [1], где закон управления ценой c(t) продажи товара брался из соотношенияalX(c(t)) = Ш.В настоящей статье рассматривается случай, когда закон управления ценой c(t) продажи товара имеет видаЦф))= 16(tLу , Y Ф 1. (1) T (1 -t / T)уОсновные характеристики количества товараНайдем характеристики величины количества товара в диффузионном приближении. Процесс Q(t) может быть приближенно описан следующим стохастическим дифференциальным уравнением [1]dQ(t) = -a1X(c)dt + ^a2X(c)dw(t).В рассматриваемом случае это уравнение принимает видdQ(t) =T (1 -1 / T )Yda2Q( )a t(1 -1 / t)ydw(t).(2)Найдем основные вероятностные характеристики процесса Q(t). Обозначим M)} = Q(t). Усредняя уравнение (2) с учетом того, что приращения винеров-ского случайного процесса независимы и имеют нулевое математическое ожидание, получим следующее уравнение для Q(t):dQ(t) = -Q(t)T (1 -1 / T)Y-dt,которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0. Решая его стандартным методом разделения переменных, получимQ(t) = Qo exp [(1 -1 / T- l]j .(3)В частности, Q(T) = Q0 exp1, q(t) = 0 при у > 1.Для нахождения дисперсии процесса Q(t) рассмотрим процесс ß2(t). Тогда, используя формулу Ито, получаем, что этот процесс удовлетворяет следующему уравнению:d (Q 2 (t )) =2ß2 (t) , a2Q(t)dt + 2Q(t \\-±a t (i -1 / t)7dw(t). (4)Обозначим M{Q (t)} = Q2 (t). Тогда, усредняя (4), получим2Q2 (t) , a2 Q(t)dQ2 (t) =dt ,или, с учетом (3),dQ2 (t) dtQ2(t)T (1 -1 / T)Ya2Qo exp [(1 -1 /T)1-Y -1]-ya1T (1 -1 / T)Y(5)которое надо решить при начальном условии Q2 (0) = Q0 .Это уравнение решается стандартным методом вариации произвольных постоянных. Само решение имеет видß2(t) = Q2 exp^[(l -1 /T)1-Y -1]^ ■^f-exp[(1 -,/T)1-Y --exp[(1 -,/T-1]{ОтсюдаDien)}=De a)=q, a) - q 2 a)=В частности, DQ (0) = 0, DQ (T) = Q0 exp 1. Вместе с результатом Q(T) = 0 это говорит о том, что с вероятностью 1 Q(T) = 0 , то есть с вероятностью 1 к концу торговой сессии весь товар будет продан при у >1.Плотность вероятностей процесса Q(t)Таким образом, процесс Q(t) начинается c Q0 и заканчивается в 0. Рассмотрим f (Q,t) = e-pQ . Тогда, используя формулу Ито, получим следующее уравнение:d(e-pQ )QT (1 -t / T )Y- pQ-pQa2QT(1 -t / T)Y dw(t).al T (1 -t / T)Yp2e-pQ \dt-Рассмотрим функцию Ф(p, t) = M{e pQ}, которая является преобразованием Лапласа от плотности вероятностей p(Q, t) значений процесса Q(t) в моментdpdt Ф( Р, t )-1 ( дФ a2 2 дФ^|1 Р - + - РР- Idtвремени t. Тогда дФ(Р') = _м{Qe-pPQ} и, усредняя (1.7), получимT(1 -1 / T)Y V dp 2aj dp ) 'или, в явном виде,(8)В дальнейшем будем использовать обозначение ß = 2aJa2 .Уравнение (8) является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Оно решается методом характеристик. Решение имеет видФ( /7, г) = expß. р exp JJ- [(1 -г / T )1-Y-l]+ ß- p exp jJ- [(1 -г / T )1-Y-1]Находя обратное преобразование Лапласа, получим явный вид p(Q, t):('fir-.VI Лexp[(1 -t /tP -1]t) = expßQo6(ß)+ß exp1 - exp[(1 -1 /T)1_Y -1] ß-ßo(1-exp {^[(1-t i T -1]1)2 ßexp [d - * /T-1]-ß2ßcßОтметим особую роль слагаемогоexpexp {т-у [(1 -1 / T )W -1]1 - exp ^[(1 -1 / T )Hr -1]ßQo8(Q),содержащего 8-функцию. Оно возникает потому, что величина покупки является случайной и, в принципе, может прийти покупатель и купить весь оставшийся товар, и тогда торговая сессия для продавца закончится. Математически это происходит потому, что в точке, где Q(t0) = 0 , у процесса Q(t) равны нулю и коэффициент сноса, и коэффициент диффузии, и поэтому при t > t0 Q(t) = 0.Средняя длительность продажПолученный выше результат позволяет вычислить и некоторые другие характеристики процесса продаж. Обозначим через т величину промежутка времени от начала торговой сессии до того момента, когда будет продан весь товар, то есть длительность продаж. Тогда из вида рассматриваемого слагаемого следует, чтос\ 1 г-0 ^exp \А- [(1 -, / ТГ -1]P{x> 1, то есть при большой величине партии товара Q0. Тогда величина B = 1/ßQ0 x [(1 -у) ln(1 - x) + 1]i=7 - =01 - x1 i/eXP^ 1-y-^ i/Y dZ-VB J e-1z [(1-y)ln(1-z/B) + гТ^т^тB01 -z/BНайдем по правилу Лопиталя следующий предел:11 и в V \ 1-yJJ -1 *r„ ^ ,„. ^ dzlim-V e1/B J e-1/z [(1 -y)ln(1 -z / B) + 1]i-Yb-ü в2 Ü1 - z / Bв| 1-exp-j -1Je-1z [(1 -y)ln(1 -z/B) + 1]^-^-01 - z / Blim ~~2 u B(1 -y)ln |1 -1 + exp\-+1lim i B(1 -exp{-1/(1 -у)}b-ü2Be-1/B + e-1/BОтсюда следует, что при B = 1/ßQ0

Скачать электронную версию публикации