NON-MARKOVIAN CUMULATIVE PROPERTY INSURANCE MODEL .pdf В имущественном страховании корпоративных клиентов, и даже физических лиц, возникают ситуации, когда клиент желает застраховать сразу несколько объектов - несколько машин или несколько домов. Фактически получается, что клиент один, а источников риска уже несколько. В этом случае, при математическом моделировании, необходимо разделять понятия страхователя и застрахованного объекта. Такое разделение помогает глубже понять структуру взаимоотношений страховщика и страхователей, позволяет предложить более точные модели. В данной работе предлагается и изучается модель описанной ситуации.1. Модель имущественного страхованияПредставим модель страхования в виде трех случайных процессов, считая момент создания компании точкой отсчета времени: N(t) - количество страхователей, пришедших в компанию за время t, при этом N(0) = 0; k(t) - количество объектов страхования в момент времени t, k(0) = 0; S(t) - капитал компании в момент времени t, S(0) = S0.Опишем свойства указанных процессов, для этого рассмотрим временной интервал [t, t+At] достаточно малой длины, на котором могут произойти следующие события:1) Пришел страхователь, т.е. AN(t) = N(t+At) - N(t) = 1, при этом на величину AN(t) накладываются следующие ограничения:P [AN (t) = 1N (t) = N } = (X + ßN) At + o (At), P [AN (t) = 0| N (t) = N }= 1 - (X + ßN) At + o (At), P [AN (t) > 1N(t) = N} = o(At), X>0, ß>0. Особенности этого события:а) Страховая компания фиксирует увеличение количества объектов страхования на величину v, которая является независимой случайной величиной со следующими известными средними характеристиками: M {v} = щ, M{v2} = u2 . Сказанное можно представить какAk(t) = k(t+At) - k(t) = v.б)Капитал компании изменяется следующим образом:AS (t) = S (t + At) - S (t) = v£, где ^ - независимая случайная величина, моделирующая величину страхового взноса, причем M {^} = a1, M{^2} = a2 .в)Каждый объект имеет период страхования, равный величине т, которая яв-ляется независимой случайной величиной с функцией распределения B(x).2) Наступил страховой случай. Для более точного описания этого события введем процесс /(t), равный количеству страховых случаев, наступивших за время t, тогда наступление страхового случая формально можно описать как A/(t) = /(t+At) - /(t) = 1, причем предполагается, чтоР{А/ (t) = 1 k (t) = k} = \xkAt + o (At), ц>0, M {[Al (t )]2| k (t) = k]=\xkAt + o (At).С наступлением страхового случая происходят изменения в капитале компании, а именно, осуществляется выплата страхового возмещения п:AS(t) = S(t+At) - S(t) = -п, где п - независимая случайная величина с M {ц} = b1, M |т|2] = b2.Предложенная модель является развитием моделей, рассмотренных в [1. С. 1; 2. С. 290].Исследование модели будет состоять в нахождении средних характеристик процессов k(t) и S(t). Отметим, что вероятностные и средние характеристики процесса N(t) определены в работе [3. С. 88], поэтому результаты будем приводить с точностью до N(t),D{N(t)}, CN [tx,t2}.2. Средние характеристики числа застрахованных объектов2.1. Метод просеянного потокаВ работе [4. С. 134] предложен метод просеянного потока для исследования системы M|G|oo. Используем идею этого метода для исследования предложенной модели. Для этого введем временной горизонт T и процесс n(t), суть которого в следующем: рассматривается исходный неординарный поток страховых объектов, который просеивается с динамической вероятностью P(T - t) = 1 - B(T - t), где t изменяется в пределах от 0 до T, количество просеянных заявок на момент времени t равно n(t). Особенность этого процесса в том, что он является марковским и для него верно соотношениеn(T) = k(T).Отметим очевидные свойства этого процесса:n(0) = 0,P [An (t) = v| N (t) = N, v} = (X + ßN) P (T -1) At + o (At), P [An (t) = 0 N (t) = N, v} = 1 - (X + ßN) P (T -1) At + o (At), P{An(t) > V N(t) = N, v} = o(At), M[An(t) AN(t)| N(t) = N, v} =v(X + ßN)P(T-1)At + o(At).2.2. Математическое ожиданиеВведем горизонт T > t и представимn(t+At) = n(t) + An(t). Усредним данное соотношение при фиксированных реализациях N(t), n(t) и v, получимM {n(t + At)\ N (t), n (t), v}- n (t) = v (X + ßN (t))P(T -1) At + o (At).Осуществим усреднение по фиксированным реализациямn (t + At) - n (t) = ux (X + ßN))P(T -1) At + o (Аг).Разделим левую и правую части на At, затем устремим At к нулю. Отметим, что предел справа существует, следовательно, предел слева тоже существует. В результате получим= щ (x + ßN (t ))p (t -1).Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение в пределах от 0 до t: n (t) = Ml J (X + ßN (t))P (Г-x)d т.0Воспользуемся соотношением метода просеянного потока, полагая T = t:k (г) = n(г) = mi J(X + ßN(t))p(г-т)dx.0Окончательно,k (t) = Mj J (X + ßN (t))P (t - T)d т.02.3. ДисперсияПредварительно докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма 1. В предположениях моделиdC"Nd{t|T} =ßC„N[t\T}+ «i (X + ^N(t) + ßD{N(t)})P(T-1),CnN{0T} = 0,где{/|Г } = M {(n (t) - n (t)) (N (t) - N (t))}.Доказательство. Представимn (t + At) N + At) - n ) N (t) = An (t) N (t) + n (г) AN (t) + An (t) AN (t).Осуществим усреднение при фиксированных реализациях N(t), n(t) и v:M {n (t + At) N (t + At )| N (г), n (г), v}- n (t) N (t) == v (X + ßN (t ))P (T -1) AtN (t) + n (t )(X + ßN (t ))At ++v (X + ßN (t ))P (T -1 )At + o (At).После соответствующего усреднения и осуществления предельного перехода, получимMi IXN(t)+ßN2 (t))P(Г-t)+Хй(t)+ßn(t)N(t)+Mi (X+ßN(t))P(T-t).Далее, используя определение функции CnN {t |T},имеемdCnN [t\T} = dn(t)N(t) _ dn(t)N )__ )dN(t) =dtdtdt dt= ßCnN (t|T} + ui (X + ßN(t) + ßD{N(t)}) P(T_t).Получили утверждение леммы. Теорема 1. В предположениях моделиD{k (t)} = 2MlßJ С„^ {т\t}P (t-x)d t + и2 J (X + ßN (t))P -x)d т.0 0Доказательство. Рассмотрим соотношениеn2 (t + At) = n2 (t) + 2An(t) n(t) + (An(t))2 . Проведем условное усреднение:M {n2 (г + Аг) N (г), n (г), v} - n2 (г) = 2v (X + ßN (г ))P (T - г )An (г) ++v2 (X + ßN (г ))P (T - г )Аг + o (At).После применения стандартных преобразований получим= 2щ (xn (t) + ßn (t)N (t)) p(T - г) + w2 (X + ßN (г)) p (T -1).Воспользуемся свойствами дисперсии:dD{n(г)} dn1 (t) „_, . dn(t) „ч /л „w/4\„/„, ч= -7^ - 2n (t) = 2«!ßC„N {tT }P (T -1) + «i (X + ßN (t ))P (T -1).dtdt dtТаким образом, получилиdD{{(')} = 2«ißC„N №}P(T-1) + «2 (X + ßN(t))P(T-t),D{«(0)} = 0.Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение и затем воспользуемся соотношением метода просеянного потока. В результате получим утверждение теоремы.2.4. КовариацияКак и в случае дисперсии, начнем рассуждения с доказательства вспомогательных утверждений.Лемма 2. В предположениях моделиttt _Ckn[t\T] = uß\CnN[x\T}P(t-x)dx + ulß\CnN[x\}P(T-x)dx + u2 \(X + ßN(x))P(T-x)dx,00 0где[t\T} = M{(k(t)-k (t))(n(t)-n(t))}.Доказательство. Введем в рассмотрение процесс т(т), который отличается от процесса п(т) только временным горизонтом t, т.е. соответствующая этому процессу вероятность просеивания равна P(t - т) = 1 - B(t -т), при этом T > t > т.Представимm (х + Ах) n (х + Ах) -m (т) n (т) = Am (т) n (т) + m (т) An (т) + Am (т) An (т).Как и прежде, проведем условное усреднение:M {m (х + Ах) n (х + Ах)| N (т), n (т), m (т), v} -m (т) n (т) = = v (X + ßN (т ))Р (г-т)Атп (т) + m (т )v (X + ßN (т))Р (T -т )Ат-+v2 (X + ßN (т))Р (T-т)Ат + o (Ат). После усреднения и предельного перехода получимw w = (Хи(х) + ßn(х)N(х))P(г-х) ++«! (Хш(х) + ßm(х)N(х))P(Г-х) + и2 (Х + ßN(х))Р(Г-х).Введем функцию Cmn {т\t,T} = M{{m(т)-m(т))(n(т)-n (т))} .Продифференцируем ее, используя ее очевидное свойство:dCmn {тIt,T} dm(т)n(т) dm(х^^^ _ . . dn(т)- ' =--- n (т) - m (т)-=d тd тd тd т= ulßCnN {т\T }P (t-т) + ulßCnN {т\t}P (T-т) + u2 (X + ßN (т ))P (T-т). В результатеdCmn t'T} = uxßCnN {тT}P(t-т) + UlßCnN {т|t}P(T-т) + d т+u2 (X + ßN(т))P(T-т),Cmn {0|t,T} = 0.ПроинтегрируемCmn (x|t ,T} = ulß)cnN [x\T}P(t - x)dx + ulß)cnN [x\t}P(T - x)dx + u2 )(X + ßN (xj)P(T - x)dx.00 0Воспользуемся соотношением метода просеянного потока, полагая т = t. В итоге, придем к утверждению леммы. Лемма 3. В предположениях моделиCkN ih ' ?2 }~ CnN ih kl } 2 11 ,гдеCm [tx,t2} = M{(k(tx)-k (tx))(N(t2)-N(t2))}, t1 < t2.Доказательство. Воспользуемся представлениемk (tx) N (t2 +At2) = k (tx) N (t2) + k (tx) AN (t2). Усредняя при фиксированных реализациях k(ti) и N(t2), получим M {k (tx) N (t2 +At2 )| N (t2), k (tx)}- k (tx) N (t2) = k (tx) (X + ßN (t2)) At2 + o (At2).Xk (tx) + ßk (tx) N (t2). Воспользуемся определением функции CkN [tx, t2} и ее очевидным свойствомПосле применения стандартного набора операций получим dk (tx) N (t2)dCkN[tx,t2} dk(tx)N(t2) -(t dN(t2), t }dt2dt2 dt2Таким образом,it. t.}" = ßC£N {tl' t2 }' CkN {tl' tl} = CnN {tl Hl} .dt2Решая полученное дифференциальное уравнение, придем к утверждению леммы. Теорема 2. В предположениях моделиCk (ti,t2} = [ty \h} + MlßC„N [ty fcH eß(T-t1) P(t2 - t) dt,гдеСк [tx,t2} = M{(k)-k ))(k(t2)-k (t2))}.Доказательство. Запишем, считая что t\ < t2 < T,k fa) n (/2 +A?2 ) = k (?! ) n (?2) + k fa) An (t2). Используя ту же логику рассуждений, что и в лемме 3, получим dk(t{ )n(t2)= Щ (Xk (tt ) + ßk(tt )N(t2))P(TT -12 ).Введем функцию Ckn [tx,t2\T}= M{(k)-k ))(n(t2)-n(t2))}. Далее, выполняя дифференцирование, имеемdCkn {dl:t2 t} = u$ckN [h, t2 }p (t -12),dt2где Cfa ft,tx \T} = Cfa [ti \T}. Проинтегрируем, отсюдаCn {{, h \T} = Скп \T} + M1ß'j {ti, т} P (TT - t) d т.Далее, используя соотношение метода просеянного потока и результаты леммы 3, получим утверждение теоремы.3. Средние характеристики капитала компании3.1. Математическое ожиданиеПредставимS (t + At) = S (t) + AS (t).Зафиксируем реализации S(t), k(t), ^, п и v для проведения условного усреднения:M {S (t + At )| S (t), k (t), n, v}- S (t) = (X + ßN (г)) At-ц\хк (t) At + o (At).Пользуясь независимостью случайных величин ^, п и v, проведем безусловное усреднениеS ((+ At)-S (t) = alul (X + ßN (t)) At - ^цГ (t) At + o (At). После соответствующего преобразования и предельного перехода получим dS (t)(X + ßN (t))-Vk (t), S (0) = S0.dtПроинтегрируемS(t) = S0 + axux [Xt + ßjN(t)dт ]-k (x)dx.V оJ 03.2. ДисперсияДокажем два вспомогательных утверждения. Лемма 4. В предположениях модели{t} = ßCJVS {t} - VCn7V {t|t} + alu1 {X + ßN(t) + ßD{N(t)}), Сж {0} = 0,гдеCNS [t] = M {(N (t) - N (t)) (S (t) - S(t))} .Доказательство. ПредставимN (г + At) S (t + At) - N (t) S (t) = AN (t) S (г) + N (г) AS (t) + AN (t) AS (г).Применяя условное усреднение при фиксированных реализациях S(t), k(t), п и v, получаемM {N (t + Аг) S (г + Аг )| S (г), k (г), n, v}- N (г) S (г) = = (X + ßN (г ))AtS (г) + N (г )(v (X + ßN (г ))-nnk (г ))Аг + (X + ßN (г ))Аг + o (At).После соответствующих преобразованийdN = (t) + ßN (t) + a1u1XN (t) + a1u1ß N2 (t) - b^k (t )N (t) + alMl (X + ßN (t)). Используя определение функции CNS {t}, имеемdCNs {t} = dN(t)S(t) _ dN(t) - )_N )dS(t) =dtdtdt dtßCNs {t} + alulßD{N(t)} _{t} + alul (X + ßN(t)).После группировки слагаемых получим утверждение леммы. Лемма 5. В предположениях моделиtt t CkS {(} = «iß I Cns (x)p (г - т) d x + ai«iß J CnN (x |г)d x - J Qn (x |г) d x +00 0t■ a1w2 J (X + ßN (x ))P (t -x )d x,0гдеCkS {t} = M {(k (t) - k (t)) (S(t) - S (t))} .Доказательство. Как и прежде, воспользуемся представлениемn (t + At) S (t + At) - n (t) S (t) = an (t) S (t) + n (t) AS (t) + an (t) AS (t). Далее проведем условное усреднение:m {n (t + at) S (г + at )| S (г), k (t), n, v}- n (г) S (г) = = v (X + ßN (г ))P (T - г) AtS (г) + n (г )(v (X + ßN (г ))-пмк (г ))At + +^v2 (X + ßN (t ))P (T -1 )At + o (at).Легко получить следующее уравнение:dn(t)S(t) = щ (XS (t) + ßN(t)S(t))p(T-t) + axu{Xn (t)-+ajMjßn (t) N (t) - V k (t) n (t) + axu2 (X + ßN (t ))P (T -1).Введем в рассмотрение функцию CnS [t\T} = M{(n(г)-n (г))(S(t)-S (t))}, для которой несложно получить следующее дифференциальное уравнение:dCnSJ}T} = "iPCns W P(T -1) + alUlßCnN [t |T} - VCfa [t |T} + dt+ aiu2 (X + ßN(t))P(T-1),[0T} = 0.Проинтегрируем и воспользуемся соотношением метода просеянного потока:tt tCkS (() = u1ß ICNS (X) P(( - X) dX + a1u1ß ICnN (Xk) dX - V jCfo, (X|г) dX +00 0t■ axu2 j (X + ßN (x ))P ((- x)d x.0Получили утверждение леммы. Теорема 3. В предположениях моделиtt( t _ л t _D{S(t)} = 2alulß JCNS (x) dт-2bx\i\CK (x) dт + a2u2 I Xt + ßJN(т)dт I + b2\i\k (т)dт.00V оУ 0Доказательство. ПредставимS2 (t + At) = S2 ) + 2S(t) AS) + (AS (t))2. Осуществим условное усреднение:M {S2 (t + At )| S (г), k (t), n, v} - S2 (г) = 2S (t )((v (X + ßN (t ))-г\цк (t ))At ++ ((2v2 (X + ßN (t )) + n2\xk (t ))At + o (At). После соответствующих преобразований имеемdS2 (t)- - -^ ; = 2axux [XS (t) + ßN(t)S(г))- 2bj^k(г)S(г) + a2w2 (X + ßN(t)) + b2yk (t).Пользуясь свойствами дисперсии, можно получить следующее дифференциальное уравнение для D{S(t)}:d D {S (?)} = 2alMlßCVs {t} - 2Ь\цСи {t} + a2u2 (( + ßN (t)) + blVJk (t), D{S (0)} = 0. dtПосле интегрирования получим утверждение теоремы.3.3. КовариацияВо всех дальнейших рассуждениях будем считать, что t\ < t2. Лемма 6. В предположениях моделиCSN {t1' г2 } = CNS {'l}6^^2 1 ^ 'гдеCsn [f,, h} = M {(S (f,) - S (t,)) (N (t2) - N (t2))} .Доказательство. Воспользуемся представлениемS (ti) N (t2 +At2) = S (ti) N (t2) + S (ti) AN (t2). Далее применяя стандартный набор действий, получим dS (ty) N (t2)= XS (tt) + ßS (tt) N (t2),dt2Воспользовавшись определением CSN [tx,t2}, имеем= ßCSN {t1' t2 }' csn {t1' t1} _ CNS {t1}.dt2Решая данное дифференциальное уравнение, получим утверждение леммы. Лемма 7. В предположениях моделигдеCSk {t1,t2} = M{(S(t1)-S(t1))(k(t2)-k (t2))}.Доказательство. Представим, считая t\ < t2 < T,S (t1) n (t2 +At2 ) = S (t1 ) n (t2 ) + S (t1 ) An (t2).Опуская очевидные промежуточные действия, перейдем к дифференциальному уравнениюdS (ti )n (t2)= « (XS (ti) + ßS (ti) N (t2 ))P (TT -12).dt2Введем в рассмотрение функцию CSn {{,t2 |Г} = M{(S(?j ) - S (tj ))(n(t2) - n (t2))}, для которой легко получить следующее дифференциальное уравнение:dCSn t2 T} = «1ßC5n {t1, t2 }P (T - t2 ),t2гдеQ„ {/!, /t T} = Cns [ti T}.ПроинтегрируемCsn {[, ti T} = C„s (ti T} + «iß'j Csn [h, T}P (T - t) d т.Воспользуемся соотношением метода просеянного потока и утверждением леммы 6:Csk {ti,t2} = Csn [ti,12 |t2} = C„s {ti |t2} + «iß^NS {*i H eß(T-tl} P(h - t) dT.Получили утверждение леммы. Теорема 4. В предположениях моделиCs [h , z2} = D Is Ol)} + aiuiß Icsn {'i,x}dx - мА j Csk {'i,x}dx,h hгдеCs (t,,t2} = M{(S(t,)-S(t,))(S(t2)-S(t2))}.Доказательство. Воспользуемся представлениемS fa) S (t2 +At2) = S (tx) S (t2) + S (/!) AS (t 2). Легко получить следующее дифференциальное уравнение:dS ih] S fe) = au ((s (tt)+ßs (tl) n (t2 s (tl )k (t2).dt2Воспользуемся определением функции CS {t1, t2} и имеем в результатегдеS !/ 2 } - aiU\f>csn {t1 > t2 } Hb1CSk {tl' t2 }>Cs ih, ti) = d {S (tl)}.После интегрирования получим утверждение теоремы.ЗаключениеКак видно из приведенных рассуждений, найдены основные средние характеристики процесса изменения количества застрахованных объектов и процесса изменения капитала компании. Для математических ожиданий найдены явные выражения, для остальных - неявные.

Скачать электронную версию публикации