Simulating Physical Processes by Cellular Automata .pdf Клеточный автомат (КА) в последние годы привлекает большое внимание как математическая модель пространственной динамики. Поскольку КА способны моделировать нелинейные и разрывные процессы, их иногда считают дополнением к дифференциальным уравнениям с частными производными [1, 2]. В настоящее время уже известно довольно много разных КА, эволюция которых моделирует пространственную динамику в физике, биологии, химии, а также поведение колоний животных и толпы людей [3]. Наиболее известные КА-модели можно подразделить на три типа: 1) КА-модели процессов, в которых диффузия присутствует в явном виде [4], 2) КА-модели, получившие названия «решеточный газ» (неудачный перевод слов «Lattice-Gas models»), которые далее называются КА-гидродинамикой [5 - 7] и 3) асинхронные вероятностные КА-модели кинетических взаимодействий наночастиц (называемые химиками методами Монте-Карло) [8,9]. Хотя эти типы КА достаточно хорошо изучены, высокий уровень абстракции клеточного автомата вызывает иногда большие трудности в сопоставлении КА-модельных величин соответствующим реальным физическим, а именно размеров КА, его начального состояния, правил переходов, вероятностей их применения. Обратная проблема возникает при интерпретации результатов моделирования.В статье делается попытка сформулировать общие принципы сопоставления физических величин модельным и показать их применение на трех типовых примерах КА-моделирования.1. Общий подход к построению КА-моделейЗадача моделирования какого-либо естественного или лабораторного процесса ставится обычно следующим образом. Известны следующие величины: 1) размеры области, в которой происходит моделируемый процесс, 2) свойства среды, в которой он происходит, 3) начальные и краевые условия, 4) внешние воздействия.Главный результат моделирования - это скалярная u(x,t) или векторная u(x,t) функция, представляющая пространственную динамику изучаемого процесса (распределение концентраций веществ, участвующих в процессе, интенсивность магнитного или электрического поля, поле скоростей потока и т.д.).Чтобы достигнуть цели моделирования, первое, что надо сделать, - это правильно построить КА-модель, для чего необходимо соблюдать следующие принципы.1))КА-модель должна быть справедливой для всей области значений моделируемых величин. Например, при моделирования потока жидкости с помощью КА необходимо убедиться, что коэффициент Рейнольдса потока не превысит ограничений КА-гидродинамики [5, 7].2))Размеры КА-модели должны быть такими, чтобы она была реализуема на имеющемся оборудовании в приемлемое время.3))Следует правильно выбрать множество базовых параметров КА-модели, для которых масштаб (отношение физических значений к модельным) вычисляется явно, так как оба значения известны. Как правило, ими являются инварианты моделируемого явления, такие как безразмерный коэффициент диффузии, коэффициент Рейнольдса, скорость реакции и др.В численных методах математической физики масштабирующие коэффициенты выбираются только для шага по времени (т) и шага по пространству (h). Все остальные величины иногда нормализуются, но не подвергаются преобразованиям. В КА-моделировании выбор модельных параметров более сложный по следующим причинам.1))Поскольку все величины дискретны, масштабы должны быть определены для всех значений, в том числе для свойств среды (вязкость, давление, скорость распространения волн, скорость реакций и др.).2)Опыт применения КА-моделирования еще не достаточно богат, чтобы считать некоторые масштабы достаточно достоверными и проверенными на практических задачах или в натурных экспериментах.3)КА-модели разнообразны, большинство из них существенно нелинейны с совершенно непредсказуемым поведением, присущим так называемым сложным системам [2].Физические величины далее будут выражаться в системе МКС (метр, килограмм массы, секунда). Модельные величины безразмерны: они имеют смысл количества клеток c длиной стороны / = 1, числа частиц N с массой m = 1, вектора скорости с модулем |v| = 1. Масштабные коэффициенты (масштабы) определяются как отношения физической величины Z к соответствующей модельной z и обозначаются как pz = Z/z, где z - любая величина, участвующая в процессе. Масштабы в КА-моделировании разделены на три группы.Первая группа включает в себя основные масштабы, которые применяются во всех методах численного моделирования. Это масштаб времени \it = т и масштаб длины р./ = h. В КА-моделях \it соответствует времени смены глобального состояния КА в секундах, а р/ - линейному размеру клетки в метрах.Вторая группа включает в себя масштабы свойств веществ, которые участвуют в моделируемом процессе (вязкость, плотность, проводимость и др.). Эти свойства являются характеристиками (параметрами) модели. Они обычно выводятся изправил перехода КА или получаются путем выполнения вычислительных экспериментов над заранее известными процессами.Третью группу составляют масштабы моделируемых величин, т.е. значения функций вида u(t, x), которые являются целью моделирования.Для выражения коэффициентов масштабирования и иллюстрации их применения используется формализм алгоритма параллельных подстановок [10]. В соответствии с ним КА-модель К представляется четырьмя символами К = {A, M, ®, р), где A - алфавит, на который не налагается никаких ограничений, M ={mi, m2,..., mk...} - счетное множество имен клеток или точек в пространстве, ® ={0b...,0q} - множество локальных операторов, р - режим функционирования, определяющий распределение применений локальных операторов по пространству и времени. Основным понятием в КА-модели является клетка, представленная парой (a,m), a е A , m е M. Множество клеток Q = {(ak,mk)}, не содержащее клеток с одинаковыми именами, называется клеточным массивом.На множестве M определены именующие функции tp(m) е M, значения которых определяют местоположения клеток, взаимодействующих с клеткой m. Когда в качестве имен используются декартовы координаты M={(i, j)}, именующие функции обычно даются в виде сдвигов cpg(m) = {i+a, j+b}, где a, b - целые числа. Множество именующих функцийT(m) = {m, cpi(m),..., cp„(m)}, n ß (ß - расстояние от стенки, на котором ее влияние незаметно), то _pw = 1. Если gw < ß, то для гидрофильной и гидрофобной порыPw (phil) = 1 - exp(-gw /«1ß1), ^>w (phob) = - exp(-gw /mß1) соответственно, n1 , n2 - характеристики поверхности пор. Этих данных достаточно, чтобы получить все масштабы величин КА-модели.1))Масштаб длины. В соответствии с практикой моделирования пористых срез [11], минимальный диаметр поры должен быть не менее десяти модельных единиц длины. Приняв щг = 10-4 м, получим DKA(nopH ) = 80, а линейный размер фрагмента N = 300.2)Масштаб коэффициента диффузии. Для используемой наивной диффузии СКА= 0,5 (табл. 1), следовательно, pd = d/CKA = 2-10-4 м2с-1.3))3))Масштаб времени, \xt = = 0,5-10-4с.4))Масштаб плотности (масса абстрактной частицы) |др = р/(р0-|д3) = 1,25-10-9 кг.5))Масштаб потока (масса пара, проходящего через сечение поры за секунду, относительно числа частиц, выходящих из поры за итерацию). С учетом того, что площадь поры при DKA(nopM ) = 80 равна Sp =5024 клеток, |iq = |д р / |it = 2-10-5 кгс-1.Результатом моделирования являются следующие значения потоков, полученные в виде количеств частиц, выходящих из поры за итерацию:ОкА(фоб) = 3939, ОкА(фид) = 1975, ОЫнейтр) = 2812,которые пересчитываются в физические значения путем умножения на |j,q, что в результате даетб(фоб) = 0,079 кгс-1, б(фил) = 0.039 кгс-1, ОкА(нейтр) = 0,058 кгс-1.3. Масштабирование гидродинамических КА-моделейКА-гидродинамика (Lattice-Gas Models) [5 - 7] объединяет несколько моделей процессов в газах и жидкостях, которые представлены в виде абстрактных частиц, движущихся в дискретном пространстве и сталкивающихся друг с другом. Наиболее изученной является серия вероятностных моделей, называемых FHP-моде-лями по инициалам их авторов [7]. В этой серии модель FHP-1 имеет двумерную гексогональную структуру клеточного пространства с расстояниями между центрами гексагонов hKA = 1. У каждой клетки есть шесть соседей, составляющих ее контекст T"(m) = {mb..., m6}. Алфавит состояний A состоит их булевых векторов s = (s0, sb..., s6) }, |A| = 27 . Компонент вектора состояния st =1 (i=1,...,6) означает, что в клетке (s, mk) находится частица, движущаяся со скоростью с = 1 по направлению к i-му соседу, s0 =1 означает, что в клетке находится частица покоя у которой с0 = 0. Частицы имеют модельную массу, равную 1. Режим функционирования КА синхронный двухэтапный, т.е. каждая итерация задается глобальной суперпозицией двух локальных операторов: 0 = 01(02). На первом этапе оператор движения заставляет каждую частицу, соответствующую st =1, продвинуться на единицу длины по направлению приданной ей скорости с:01(m): {(si ,m)} * {(s/, ср,- (m))} {(s/,m )}, i = 1,2,...,6. (11)На втором этапе оператор 02(m) моделирует столкновение частиц :02(m): {(s ,m)} {(s',m )}, (12)причем если s имеет два единичных компонента, то функция переходов s' = f (s) имеет два равновероятных значения (рис. 2). Обычно, f (s) задается в форме таблицы.Трехмерная модель жидкого потока [12], названная автором моделью RD-1, имеет додэкаэдрическую структуру клеточного пространства. Контекстный шаблон состоит из 12 соседей. Хотя такая структура модель удовлетворяет условиям изотропии приближенно, ее экспериментальная проверка показала приемлемую точность моделирования [12] .Гидродинамические КА-модели характеризуются следующими параметрами: равновесной плотностью рКА, скоростью звука иКА и вязкостью vKA(pKA). Модельная вязкость vKA зависит от средней плотности частицрка (m) = , А Л , II Si(m) ,(13)где Av(m) - область осреднения, содержащая подмножество клеток удаленных от m не более чем на R (R - радиус осреднения).Таблица 2как g(p).Постановка задачи моделирования включает в себя обычно следующие величины: 1) линейные размеры резервуара (м); 2) расположение в нем источников и стоков; 3) свойства жидкости: плотность р (кгм-3), кинематическая вязкость v (м2 с 1); 4) давление (кг-см 2) или скорость потока u (м-с 1), или коэффициент РейнольдсаRe = - .(14)vСопоставляя характеристики моделей с физическими величинами, можно получить сразу масштабы вязкости и плотностиHv = -, м2с-1; цр = -£-,кг м3. (14)vka PkAПоскольку число Рейнольдса, являясь инвариантом, должно быть равным модельному ReKA, то из соотношенияRe = ReKA = «ка - (15)можно легко найти характеристические значения длины lKA или скорости uKA в зависимости от цели моделирования и затем подсчитать следующие масштабы:И/ = --, м; И„ =-, м с ; и =-, с- (16)'каИ/ И«Масштаб давления может быть найден двумя путями:и2-2P-1 -2цР = -- , кг м с ; иР =, кгм с (17)И/ РкаТак как алфавит и правила переходов определены самой моделью, то для ее построения необходимо определить только линейные размеры и начальный клеточный массив, включая состояния клеток источников и стоков. Это делается следующим образом: 1) линейные размеры модели N , Nj , Nk вычисляются путем деления физических заданных величин lx, ly, lz на р,/; 2) состояния источников и стоков определяются через их плотность путем деления значений внешнего давления на |jp. Остальные масштабы необходимы при интерпретации результатов моделирования.Пример 2. Моделирование потока моторного масла в трубе, частично перекрытой задвижкой.Труба имеет диаметр D = 0,7 м, длину l = 7 м, с одного торца трубы приложено давление P = 7 000 кг-м-1. Другой торец открыт. Задвижка расположена на расстоянии 3,5 м от источника жидкости и перекрывает трубу до половины ее диаметра. Вязкость моторного масла v = 4,5 10-3 м2 с-1. Плотность моторного масла р = 880 кгм-3. Целью моделирования является поле скоростей за задвижкой. Для моделирования применяется 3D-модель RD-1. Масштабы плотности и вязкости определяются сразу:\xv = -= 13,8-Ю-3 м2 с-1, \xv =-?- = 225 кгм3.(18)vka РкАМасштаб давления можно определить исходя из модельной плотности рКА (табл. 2). Поскольку давление в источнике равно падению давления в трубе, модельную плотность в клетках источника можно принять равной рКА(0) » 2рКА. Пусть рКА(0) = 8. Тогда из (17) и (18) можно вычислить все остальные масштабы:Ii pAP875 кг м c(19)Зная масштаб длины, можно определить размеры КА: диаметр DKA = tl\ii = 100 и длину трубы lKA = = 1000. Таким образом КА типа RD-1 определен.Моделирование КА RD-1 производилось на кластере МВС-10001М (МСЦ, Москва). Результаты моделирования получены в виде поля трехмерных векторов (uKA>(z, j,k), которые равны осредненным значениям КА-скоростей в клетках (рис. 3). Соответствующие физические величины определяются путем умножения на масштаб скорости:u(x, y, z) = |1/ (uka)O', j, k), x = y = j- |i/ , z = k |i/ .Максимальная модельная скорость потока над задвижкой max =0,9, что соответствует физической скорости umax = 1,77 м-с-1, а средняя скорость потока в трубе, вычисленная как осредненная проекция скорости на расстоянии lKA= 700 от источника, = 0,67, т.е. = 1,3 м-с-1.4. Масштабирование асинхронных вероятностных КАКинетические асинхронные КА (АКА) применяются для моделирования явлений, состоящих из элементарных действий, непосредственным образам имитирующих движения и взаимодействия молекул и атомов, называемых частицами. В настоящее время известно использование АКА-моделирования (называемого иногда методом Монте-Карло) для исследования процессов на поверхности катализаторов [9], эпитаксиального роста кристаллов [8]. Метод моделирования состоит в следующем. Область моделирования разделяется на клетки, на которых могут размещаться частицы веществ, участвующих в процессе. Частицы движутся, взаимодействуют и претерпевают трансформации по законам, предписанным моделируемым явлением. АКА самым непосредственным образом отображает эти действия.Алфавитом в АКА может быть: 1) булево множество А = {0,1}, если достаточно указать наличие частицы в клетке; 2) множество символов, обозначающих вещества (Al, CO, H2, 0, и т.д. ); 3) множество целых чисел, если много частиц могут находиться в одной клетке.Множество координат M={(i,j): i,j = 0,..., N} часто расширяется добавлением в него контекстного пространства, например одной обобщенной клетки с именем Gas, которая символизирует внешнее пространство, откуда поступают или куда уходят частицы. Множество M имеет структуру той или иной кристаллической решетки. С помощью локальных операторов моделируют следующие наиболее часто используемые элементарные действия:•·Адсорбция. Частица ae A адсорбируется из газа на пустую клетку с вероятностью pa.•·9a : {(0,m)}*{{a,Gas)} Pa >{{a,m)}. (20)•·Десорбция. Частица b десорбируется с поверхности с вероятностью pb.•·Qa : {(«, m)}{(0, m)}. (21)•·Реакция. Если частицы a и b оказываются в соседних клетках, между ними происходит реакция с вероятностью pab и образуется частица ab, которая, например, уходит в газ.•·eab : {{a,m

Скачать электронную версию публикации