Application of Infinitely Lined Three-Phase Queue System forInvestigation of Process of Modification of Number of Persons Insured in RetirementFund in Condition of Incoming Unsteady Flow .pdf 1. Построение математической моделиВсех лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, разобьём на три категории: к первой отнесём тех, кто занимается трудовой деятельностью до достижения пенсионного возраста, ко второй - занятых в экономике лиц пенсионного возраста, к третьей - неработающих пенсионеров. Для моделирования процесса изменения числа застрахованных лиц используем бесконечнолинейную трехфазную систему массового облуживания - полагаем, что застрахованный находится на i-й фазе обслуживания, если в данный момент принадлежит i-й категории (i=1, 2, 3). На вход системы поступает пуассоновский поток с интенсивностью X(t), имеющей смыслсреднего числа лиц, застрахованных за единицу времени. Считаем, что продолжительность пребывания лица на каждой фазе есть экспоненциально распределенная случайная величина с параметрами , ц2, ц3 соответственно. Вероятность перехода заявки с первой фазы на вторую равна r, со второй на третью - r2, с первой на третью - r3.Состояние данной системы определим трехмерным вектором {/, j, k}, где i, j, к - количество заявок на 1-й, 2-й и 3-й фазах.Изменение данного вектора во времени образует марковский процесс {/(t),j(t),k(t)} .ОбозначимP(i, j, к, t) = P(i(t) = i, j (t) = j, к (t) = к).Распределение P(i, j, k, t) удовлетворяет уравнениюdP(i,j, к,t) + (X((^ + + + )p(., k,^) = dt= Хр(t)P(i -1, j, k, t) + (i +1)P(i +1, j -1, k, t) + г3цх (i + +1, j, k -1, t) -+(1 - r - r3)щ (i +1)P(i +1, j, k, г) + г2ц2 (j +1)P(i, j +1, к -1, г) ++ (1 - r2) ц 2 (j +1) j +1, k, t) + Из (к +1) P(i, j, к +1, t) и заданным начальным условиямP(i,Л k, to) = Po 0\j, k).(1)2. Исследование математической моделиОбозначим интенсивность входящего потока на страхование X (t) = Xp(t), где X - бесконечно большая величина, не зависящая от t, и рассмотрим предельный, при(i(t) j(t) к(t)\Х - оо , процесс для последовательности процессов {,,}.(XX X )Теорема 1. При Х-оо предельный процесс {a(t),ß(t),у(t)} для последовало j(t) к(t))тельности случайных процессов -^,^-L,--} является детерминированнойXX Xтрехмерной вектор-функцией:J р (s) eMlS ds + a0eß (t ) =rjHi Jl J p (и) du + a0e^to I e(^2-w )s ds + ß0e^to) e-tV t0Y(t) = e-^ J(зда(s) + 2ß(sds + Yo^A),(2)где ao = a (to), ßo = ß (to), Yo = Y (to).Доказательство. Обозначим 1 = s и выполним в (1) заменуXis = x , y's = y, ks = z , -3 P(i, j, k, t) = n(x, y, z, t, s),s3тогда уравнение (1) примет вид dn( x, y, z, t, s)+ (Xp(t) + X\ixx + X\i2y)n(x,y,z,t,s):dt= Xp(t )n( x - s, y, z, t, s) + rl^lX( x + z)n( x + s, y - s, z, t, s) + +r3|i1X(x + е)я(x + s, y, z - s,t, s) + (1 - r1 - r3)^1X(x + s)n(x + s, y, z,t, s) + +r2\i 2X( y + s)tt( x, y + s, z - s, s) + (1 - r2) ц2 X( y + s) n( x, y + s, z, t, s) + +ц3Х(z + s)n(x, y, z + s,t, s). Раскладывая функции n( x + s, y + s, z + s, г, s) в ряд по приращениям аргументов с точностью до o(s), запишемдп(х,у,z,t,s) .. . . . , . . ..( . . dn(x,y,z,t,z) л-+(Xp(t)+Х\1хx+X\i2y)n(x,y,z,t,s) = Ap(t)l n(x,y,z,t,s)sдгV dxл f , ч d , , 4N dn(x,y,z,t,s) ^ . ( , .+r1^1Al xn(x,y,z,t,s)+(xn(x,y,z,t,s))s- xs 1+r3^lX\ xn(x,y,z,t,s)HVdxdy ) \d / ,4s3tt(x, y,z,t,s) ^, . ( , ,+(xn(x,y,z,t,s))s-xs 1+ (1-r{ -r3)^lX\ xn(x,y,z,t,s)+dxdz ) \d / , ^\ л f / ч d , ,чч5л(х,у,z,t,s) ^+-(xn(x,y,z,t,s))s 1+r2^2Xl yn(x,y,z,t,s)+ - (yn(x,y,z,t,s))s-ys IdxJVdydz Jf д +(!-r"2)И2^! уn(x,y,z,t,s) + - (yn(x,y,z,t,s))sV ду+(j.3x( zn(x,y,z,t,s) +-(zn(x,y,z,t,s))sj+o(s).Vdz JВыполнив несложные преобразования и обозначив lim п( x, y, z,t ,s) = n( x, y, z,t),E->üполучим при s - 0 следующее уравнение:dnix,у,z,t) d ,. .. . .дУ =~dX {(p(t) - И1 x)n( x, У, z, t)} -d d -^r (OiHix - И2y)n(x> y, z, t)} -- {(r3^lx + ц2r2у - Цзг)я(x, у, z, г)},dy dzкоторое является вырожденным уравнением Фоккера - Планка для плотности п(x, y, z, t) распределения вероятностей значений трехмерного диффузионного процесса с коэффициентами переноса (p(t) -Ц\х), (ЛЩx -ц2у) и (r3\ivx + \i 2 r2 y - ц3 z) и коэффициентами диффузии, равными нулю. Обозначим полученный детерминированный процесс {a(t), ß(t), у (t)}.В силу полученных коэффициентов, имеющих смысл средней локальной скорости изменения процесса, a(t), ß (t) и y(t) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравненийV(t) = p(t)-Hia (у),üdH(x,y,z,t) d , , TT. . д.TT. .,= "-{-Hix)H(x,У,z,t) - - {(^iH!x-ц2y)H(x,y,z,t)} -dtdx dy5 f/ ч Tr/ m 1/ /ч /\\32Я(x, y, z,t)-TT {(rsHix + riP-2 У "Изz )я (x, У, z, t)}+- (p(t) + ща (г))-+5z2 5x2+1 (г1Ц1а(/)+H2ß(t ))d2 H} + 1(r3Hia(t)+ад 2ß(f )+ИзУ (t ))d2 H ((2yZ'?}-2dy2 dz,Л д 2 Я (x, y, z, t) /

Скачать электронную версию публикации