The Control of Retail Price of Perishable Goods .pdf В предыдущих работах автора [1, 2] был рассмотрен вопрос об управлении ценой при продаже товара, который должен быть реализован в течение одной торговой сессии. Ниже рассматривается управление ценой при продаже товара, часть которого может испортиться в течение торговой сессии.1. Детерминированное приближение1.1. Продажа по постоянной ценеПредположим, что продукция портится с постоянной скоростью р, то есть если в какой-то момент времени t у нас есть Q(t) продукции, то за интервал времени [t, t + At] её испортится pQ(t)At + o(At).Пусть далее цена продажи постоянна и равна с. Тогда поток покупок будет пу-ассоновским потоком с интенсивностью Х(с), так что за время At придёт в среднем X(c)At покупателей, которые купят, в среднем, количество товара, равное alX(c)At + o(At).Поэтому мы имеемQ(t) - Q(t + At) = |iQ(t )At + a{k{c)At + o(At),откуда, после деления на At и предельного перехода At - 0, получается следующее дифференциальное уравнение:= -nß(') - «iMc) ,(1)dtкоторое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0. Легко проверить, что решение этого уравнения имеет видQ(t) = lQo +^^|е--1 .(2)Если выдвинуть требование, чтобы весь товар был продан к моменту времени Т, то мы получим условие+ а{к(с) Л _ а{к(с) = 0Qо +Ie=0,р J риз которого получается уравнение, определяющее цену продажи:1 - e M eM -1Найдём отсюда цену продажи с для линейной аппроксимации Х(с), когдаХ(е) = Х0 - Х1-Уравнение (3) даёт откуда получаем, чтоХо + Х[ - Х[ - =c0Ибо(1+^1-X,Иботак что выручка от продажи нашей партии товара равнаS = alcX(c)T = c0(1 +XИбоi ХЛ (e^T -1)ИбоТ(e^T -1)(4)Если товар для продажи покупался по оптовой цене d, то прибыль от его продажи будет равнаP = S - dQ0 = cell +ХпХ,ИбоИбоТ{е»т -1)-dQo.(5)Ясно, что вся эта продажа имеет смысл лишь тогда, когда Р > 0. Отсюда получается, что оптовая цена d при покупке партии товара объёма Q0 должна удовлетворять условиюd < IXqX,ИбоXlal (e^T -1)ИТ(e^T -1)(6)Найдём теперь оптимальный объём партии товара Qo, максимизирующий нашу прибыль. Очевидно, что оптимальное значение Q0 находится из условия1 +ИбоXl Xlal (e^T -1)ИбоТ(e^T -1)-dQomax,Qoили, в другой форме,"co fl +"°-dQo■ => max.(7)Максимум этого выражения будет удовлетворять условию Q0 > 0, если выполнено следующее ограничение на оптовую цену d:d < cn I 1 +1Решая задачу (7), легко получить, что оптимальное значениебос„| 1 + -Х{ J ^ -1c0\l + -P =maxи при этом максимальное значение прибылиХ0 *) pTХ, j e»T -1Xlal (e^T -1)2 и Tc0Xlal (e^T -1)2 4n2Tc0(8)(9)1.2. Нахождение закона управления ценой продажи товараПусть теперь производится управление ценой продажи товара и цена продажи c(t) в момент времени t выбирается из условияalX(c) = ^ ,(10)с некоторой, пока неизвестной функцией tp(t).Тогда, в детерминированном приближении, Q(t) определяется решением следующего дифференциального уравнения:dt ф(г)которое надо решить при начальном условии Q(0) = Q0. Разделяя переменные и интегрируя, получимQ(t) = о, exp Г-ц/ - J-^-l .(12) Рассмотрим частный случай, когда зависимость Х(с) имеет видX(c) - Х0 - XlТогда цена продажи c(t) в момент времени t находится из условияc 1 Q(t)c(t) = c0ll +I .(13)Выручка от продажи нашей партии товара в течение времени T будет равнаS = T\c(t)alX(c(t))dt = c0 fl + ^1--^)^-dt .(14)Если товар приобретается по оптовой цене d, то прибыль от его продажи будет равнаP = S- dQo = co fl + ^1)ЩьK^dt -dfiO .(15)Найдем оптимальный вид функции tp(t). Мы видим, что Р зависит от двух функционаловJ Щ* и J ^t .Обозначая Q(t)/ф() = f (t), получим зависимость Р от двух функционалов -Jf (t)dt и Jf 2 (t)dt .0 0В любом случае, попытка найти max P по виду функции f (t) приводит к задаче видаTTJ f2 (t)dt + kJ f (t)dt == extr,0 0(16)где к - неопределённый множитель Лагранжа. Приравнивая нулю вариацию от (16) по f (t), получим, что f (t) = const. Таким образом,/ о) = Ш=сили, в явном виде,--expl -p.t- \-- 1 = С.(17)Переписывая его в виде_^expf-J-^ | = Ce*получим Отсюда имеемI К dzexpI -Iо Ф(z)I *t dzexp I - Iо Ф(z)CdzоТак как при t = 0 J= 0, тоф(z)1 = - Cси поэтомуexp I -f-oФ(z)J И ИЛогарифмируя это выражение и дифференцируя, получим, после некоторых упрощенийсе* -1Возьмем константу C в виде C = ецСГ с некоторым С > 1, тогда окончательно закон управления ценой примет видalX(c) = Щ, Ф(/) = -Ф(г)Именно этот закон управления ценой и будет рассматриваться в дальнейшем. Заметим, что при ц-0 cp(t) CT - t, то есть мы получаем тот вид cp(t), который обеспечивал максимум прибыли при продаже скоропортящихся товаров в предыдущих разделах.Qfa2T2IНайдём теперь выручку и прибыль при данном законе управления ценой в детерминированном случае. Вычисляя интегралы, получим-dt -dt-е»ст _ 1e^T -1 0 ф2 (t) (eе(ст-t) _1 т Q(t) QQ^T■l)2Q(t) = QoПоэтому прибыль от продажи нашей партии товара равнаP 1 +QoV 2T 2-dQo(19)При С = 1 это выражение совпадает с (5). Отсюда находятся оптимальное значениеQo1+^\ J e»CT -1\lCT1и максимальное значение прибылиc0\ 1 +i J e-dXlal (e^CT -1)22р Tc0Xxax(e^CT -1)2 4p2Tco(20)(21)которое при С = 1 совпадает с (9).Однако в этом случае есть дополнительная возможность - провести оптимизацию и по параметру С. Обозначая комбинацию e^Ct -1 = z , получимXc0| 1 + -°\\iTz - dzLj 4H2Tcoи оптимальное значение z равноopt2dОтсюда оптимальное значение С естьCop = „, + co ff + »,/X,) ЦТ j .(2)Так как С > 1, то окончательноCopt = max [l, -L ln [i + £.(1^^(23)2. Математическая модель порчи товараНиже предлагается одна из возможных математических моделей порчи товара.Пусть товар состоит из отдельных элементов (например, картофель, фрукты и т.д.), которые могут испортиться в процессе хранения и которые при продаже необходимо выбрасывать.Пусть в партии товара Q(t) таких элементов. Представим себе, что на интервале [t, t + At] с вероятностью p = pAt + o(At) каждый элемент может испортиться.Обозначим через Aß(t) число испортившихся на этом интервале элементов. Тогда каждый элемент можно рассматривать как опыт в схеме Бернулли, так что Aß(t) подчиняется биномиальному распределениюP{AQ] = cQ рÄQ (1 - Pf -ÄQ.Отсюда легко находятся статистические характеристики Aß. Используя свойства биномиального распределения, получимM {AQ} = Qp = QpAt + o(At),и в диффузионном приближении коэффициент сноса процесса Q(t) будет равен pß(t).Относительно M [AQ2} имеемM{Aß2} = M{AQ}2 + D{Aß} = QVAt2 + Q\xAt(1 -\xAt) + o{\xAt).Поэтому в диффузионном приближении коэффициент диффузии процесса ß(t) будет равен pß(t).Ниже мы рассмотрим даже более общую модель, считая коэффициент диффузии процесса ß(t) равным o2ß(t).Таким образом, если рассматривать только процесс порчи товара, то его количество можно аппроксимировать диффузионным процессомdQ(t) = -pQ(t )dt + J'o2Q(t )dwt .(24)Если сюда добавить ещё процесс торговли, когда интенсивность потока покупок будет равна X(c(t)), то диффузионная аппроксимация процесса ß(t) примет видdQ(t) = -(|iß(t) + alX(c))dt + \lo2Q(t) + a2X(c)dwt .(25) Если используется управление ценой продажи по правилуam=m,Ф(г)то диффузионная аппроксимация процесса ß(t) примет видdQ(t) = -(^и + ^1^) j+ faZ + j .(26)Именно её мы и будем использовать в дальнейшем.3. Первый и второй начальные моменты процесса Q(t)Пусть Q(t) = M{Q(t)) . Тогда, усредняя (26) и учитывая, что M{dwt} = 0, полу-чимdt у ф(г) Это уравнение было решено выше. Его решение имеет вид«

Скачать электронную версию публикации