The hjm model of options in the diffusion (B, P) bondmarket .pdf Опцион на финансовых рынках является одной из наиболее распространенных вторичных (производных) ценных бумаг, поскольку дает право, а не обязанность предъявить его к исполнению [1 - 5]. Покупатель опциона приобретает право покупки или продажи оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец опциона (эмитент, инвестор) за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование владельца опциона при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежное обязательство характеризуется только ценой базисного актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения, то такие опционы являются стандартными.Теория опционов достаточно развита для случая, когда в качестве базисного актива используется рисковый актив типа акции, математическая модель которого в виде некоторого случайного процесса (например, геометрического или экономического винеровского процесса) полностью определяется собственными параметрами (например, коэффициентами роста или доходности и изменчивости или волатильности). Когда в качестве базисного актива используются облигации, то ситуация оказывается более сложной, так как значение их стоимости в момент времени t зависит также от значения терминального момента T (момента погашения облигации), в который по этой облигации выплачивается некоторая фиксированная стоимость (например, для определённости равная единице) и от значения некоторого процесса rt, определяющего текущую процентную ставку. Простейшим примером облигации является банковский счет с постоянной или переменной, но детерминированной процентной ставкой rt, стоимость которого в момент времени t определяется формулойСогласно (1), покупатель данной облигации, желающий получить в момент времени T сумму, равную единице, при покупке в момент времени t должен заплатить величину Pt(T). В общем случае rt является случайным процессом, что определяет Pt(T) так же, как случайный процесс.В данной работе исследуются стандартные опционы купли и продажи с фиксированной ценой реализации, являющиеся аналогом стандартных опционов на рынке акций [1 - 3].Используемые обозначения: £{} - математическое ожидание; - вероятность события; N{b D} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами b и D;1 x \ z2 ] x Ф(x) = -TT J ехр\~^г\dz = J )dz; (4)ф(2) ^v2nexp I т}1. Постановка задачиВ теории облигаций используются два основных подхода к заданию стоимости облигации - опосредованный и прямой [2]. В случае опосредованного подхода стоимость облигации определяется через краткосрочную процентную ставку, а в случае прямого, известного как модель Хиса - Джерроу - Мортона (HJM-модель) [6], через форвардную процентную ставку. В данной работе используется прямой подход как более общий, поскольку краткосрочная ставка определяется как предельное значение форвардной ставки.Рассмотрение задачи ведется на стохастическом базисе (О, F, (Ft)t>0, P) [2, 3]. Следуя [2, 3, 7], введем следующие характеристики (B, Р)-рынка облигаций. Стоимость Pt(Tl) в момент времени t бескупонной облигации со сроком погашения T1 определяется формулойP ((1 ) = exp j-*/ f (s) ds J, 0 < P (T1) < 1 ,(5)где форвардная процентная ставка ft(T1) определяется стохастическим дифференциальным уравнениемdt ft (T1) = at (T1 )dt + at (T1 )dwt ,(6)wt - винеровский процесс. Стоимость B(t) в момент времени t банковского счета определяется формулойB (t) = exp jj r (s) ds ^, (7)где r(t) = f (t) является краткосрочной процентной ставкой.Утверждение 1. Если форвардная ставка ft(T1) подчиняется уравнению (6), то процесс P (T1) цены облигации определяется уравнениемdt + Pt Т1 )a, (Т1 )dwt ,(8)2где bt (Г1 ) = - J at (sat (г1 ) = - J ot (s)ds .(9)Данное утверждение следует из [7] (Предложение 2.3).Утверждение 2. Процесс Pt(T1) имеет эквивалентное (8) представление в виде уравненияdp (т1) = p (т1) r (t) dt+p (t 1) at (t 1) dw* (10)с винеровским процессомw* = wt - J4s (Г1 )ds (11)0относительно меры P*, такой, чтоdp = Zt (T1 )dp ,(12)где Zt (TT1 ) = exp{/^ (т1 )dws -2 J52 (т1 )ds} ,(13)а функция ^(T1) такая, чтоbt (T1) + ia;2 (Г1) + at (Г1 )); (Г1 ) = 0 .(14)Действительно, так как E{Zt(T1)} = 1, то сформулированное свойство для процесса следует из теоремы Гирсанова [2, 3], а уравнение (10) следует в результате использования (11), (14) в (8).Утверждение 3. Для двух моментов времени т и t, таких, что т < t, значения PT(T1) и Pt(T1) связаны соотношениемPt (Т) = Рт (т1 )в-1 (т)B(t)еj Ja, (т1 jdw* j ,(15)где в J J a, (T1 J = exp j J as (т1 - 2 J ^2 (г1 )ds j (16)есть стохастическая экспонента относительно P* [2, 3], т. е.E* jsj Ja, (Г1 )dwSjj = 1 ,(17)а E - усреднение по мере P*.Формула (15) следует из (10) в результате применения формулы Ито к процессу Pt (т1) = ln {р (т1)} с учетом (7), а свойство (17) следует непосредственно из(16). _Из (15) при т = 0 следует, что процесс Pt (т1) = Pt (т1) / B (t), являющийся дисконтированной относительно банковского счета ценой облигации, определяется формулойP (Т1 ) = P0 (Т1 )еjja, (Т1 )dw, j ,(18)т.е. является мартингалом относительно меры P [2, 3]. Таким образом, мера P является для рассматриваемого (B, P)-рынка рискнейтральной (мартингальной), а сам рынок - безарбитражным [1 - 3].Инвестор в момент времени t формирует капиталX, = ß,B (t) + (T1), t e [0, T], T < T1 ,(19)состоящий из банковского счета B и бескупонной облигации P(T1) со сроком погашения T1. Задача инвестирования на таком (B, P)-рынке заключается в следующем: сформировать портфель (хеджирующую стратегию) п* = (ß* ,у*) таким образом, чтобы эволюция капитала X* в соответствии с (19) обеспечила в момент T < T1 выполнение платежного обязательстваX* = /т, (20)где fr > 0 - платежная функция, T - фиксированный момент исполнения опциона, то есть рассматриваются опционы европейского типа [1 - 3].В данной работе исследуется проблема хеджирования для опционов купли и продажи с платежными функциями соответственно вида (a+=max{a;0})// = (Рт (T1) - KB(T))+ = B(T) (в-1 (T)Pt (Г1) - K)+ ;(21)= ) - pt (t1))+ = b(t ) (ä: - b-1 (t )pt (t1))+(22)Согласно платежному обязательству (21), если дисконтированное значение стоимости облигации B-1(T)Pr(T1) превысит уровень K, то покупатель опциона предъявляет его к реализации и получает выплату в размере B(T)(B-1(T)Pr(T1) - K), т.е. покупает облигацию по оговоренной цене KB(T) и продает по рыночной цене Pr(T1 ). Согласно платежному обязательству (22), если дисконтированное значение стоимости облигации B-1(T)Pr(T1) меньше уровня K, то покупатель опциона предъявляет его к реализации и получает выплату в размере B(T)(K - B-1(T)Pr(T1)), т. е. продает облигацию по оговоренной цене KB(T) и покупает по рыночной ценеPr(T1).Замечание 1. То, что в платёжных обязательствах (21), (22) используется дисконтированная величина B-1(T)Pr(T1)отражает желание инвестора учесть инфляцию и сравнивать величины в единицах банковского счёта, т. е. в реальном, а не в номинальном выражении.Структура статьи следующая. В п. 2 вынесены основные результаты для опционов купли и продажи, для которых получены формулы, определяющие цены опционов, а также хеджирующие стратегии и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежных обязательств. В п. 3 приводятся свойства решения. Доказательства вынесены в Приложение.2. Основные результатыТеорема 1. ПустьKB(t)de_ (t) =■)a2s (T1 )ds Jj a* (T1 )ds(23)а d+, d- определяются (23) при t = 0. Тогда в случае опциона купли стоимость опциона CT , капитал Xct и портфель (хеджирующая стратегия) %ct = (ßc, jct) определяются формуламиCCT = P0 (T1 )Ф) - KФ{ас_),Xе = (T1 )Ф (t)) - KB{t )Ф(

Скачать электронную версию публикации