Mathematical model of the trade as a queuing system ofM/M/1/oo type with the refusal of queuing. Part 1. The stream of served requests .pdf Системы массового обслуживания (СМО) в качестве математических моделей для самых разнообразных систем с потоками заявок применяются в наше время очень широко. Могут быть они применены и для описания функционирования торговой точки. Ниже рассматривается одна из таких моделей, учитывающая «нетерпеливость» клиентов.1. Описание моделиВремена всеобщего дефицита, когда в магазинах были пустые полки и за товарами выстраивались многочасовые очереди, канули в прошлое. Сейчас однотипных магазинов очень много, в них продаются однотипные товары и клиент, заходя в магазин, смотрит не только на ассортимент и цены, но и на наличие очереди. И если очередь, с его точки зрения, достаточно большая, то он откажется от покупки в этом магазине и пойдёт в другой магазин, где очередь, возможно, будет меньше.В качестве математической модели этой ситуации рассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром X. В данной работе рассмотрен случай, когда время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром ц.Дисциплина обслуживания заключается в том, что если поступающая заявка застаёт в системе i заявок, то с вероятностью ri, 0 < ri < 1 она в очередь не становится и покидает систему, а с вероятностью 1 - ri становится в очередь для ожидания обслуживания.Обозначения:т(р) - число заявок, отказавшихся от обслуживания (поток уходящих требований) в течение времени t;п(т) - число заявок, обслуженных за время t (выходящий поток заявок); i(t) - число заявок в системе в момент времени t.Для рассматриваемой СМО при заданных значениях параметров X, ц, ri процесс i(t) является цепью Маркова с непрерывным временем (процессом гибели и размножения), управляющим потоками rn(t) и п((). Поэтому оба этих потока относятся к классу МАР-потоков (Marcovian Arrival Process).Асимптотические (в условиях растущего времени t) и допредельные численные методы исследования МАР-потоков изложены в диссертации С.В. Ло пуховой [1], на основе которых и проведены дальнейшие исследования.2. Исследование выходящего потока (потока обслуженных заявок)Так как двумерный случайный процесс {i(t),n(t)} является цепью Маркова, то для его распределения вероятностейP(i, n, t) = P{i(T) = i, n(t) = n}используя так называемый At-метод [2], можно записать следующие соотношения(i > 0, n > 0)P(i, n, t + At) = P(i, n, t) [1 - (X + ц) At ] + P(i, n, t )Ц At ++ P(i -1, n, t)X(1 - ri-1 )At + P(i +1, n -1, t)|jAt + o(At). (1а) При i = 0 эта система приобретает видP(0, n, t + At) = P(0, n, t) [1 - X At ] + P(0, n, t )Xr0 At ++ P(1, n -1, t)uAt + o(At), (1б) так как при i = 0 уход обслуженной заявки невозможен (ведь её нет), а P(-1,n,t)= 0. Обычным способом, переходя к пределу At 0 при i > 0, отсюда получаемdPh n, t) = - [X(1 - ri) + ц] P(i, n, t) + X(1 - ri -1) P(i -1, n, t) + |aP(i + 1, n -1, t), (2а)dtа при i = 0dP(0, n, t) dt-X(1 - r0)P(0, n, t) + |oP(1, n -1, t).(2б)Для решения этой системы введём функциюадH (i, u, t) = X eJunP(i, n, t),n=0где j = -J-1. Тогда для этих функций можно получить следующую систему уравнений:dH (л u1t) =-[x(1 -r) + ц]Hi, u, t) +X(1 -ri -1H (i-1, u, t) + uejuH u, t), (3)dtdH (0, u, t) dt-X(1 - r0)H(0,u, t) + \>£iuH(1,u,t).Введём вектор-строкуH (u, t) = {H (0, u, t), H (1, u, t),...} и перепишем систему (3) в видеdH (u, t) dtH(u, t){Q + Keju -1)B}(4)где Q - трехдиагональная инфинитезимальная матрица процесса гибели и размножения i(t), имеющая следующий вид:-X(1-r0) X(1-r0) 0 0Qц -[X(1 - + ц] X(1 - 00ц-[Х(1 - r2) + ц] X(1 - r2)00ц-[Х(1 - r3) + ц]а в матрице В поддиагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю.Введём еще вектор-столбец Е, состоящий из единиц: E = (1,1,1,.. .)T . Тогда легко видеть, что матрица Q удовлетворяет условию QE = 0.Рассмотрим решение дифференциально-матричного уравнения (4) при следующих начальных условиях:1..п(0) = 0 с вероятностью 1.2..Будем считать, что в начальный момент времени t = 0 в цепи гибели и размножения i(t) установилось стационарное распределение вероятностей P(i(t)=i)== R(i), которое мы найдём ниже. Тогда, если взять t = 0, то P(i, n,0) = R(i)5n0, ипоэтому H(i, u,0) = R(i). Вводя вектор-строкуR = (R (0), R(1), R(2),...),имеемH(u,0)= R.Далее, если взять и = 0, тоадH (i,0, t) = X P(i, n, t) = P(i, t) = R(i)n=0в силу стационарности распределения вероятностей R(i). Тогда будет верно соотношение H(0, t) = R.Таким образом, начальные условия систем (4) имеют видH(u,0) = H(0, t) = R .3. Нахождение финального распределения вероятностей процесса i(t)В стационарном состоянии граф переходов процесса i(t) имеет вид (рис. 1), что даёт следующую систему разностных уравнений для компонент финального распределения вероятностей R(i):X(1 - r0) R(0) = hR(1),X(1 - ri-1)R(i -1) - [X(1 - ri) + ц]R(i) + nR(i +1) = 0 .(6) Заметим, что эту систему можно записать в следующем матричном виде: RQ = 0.Перепишем (6) в видеX(1 - r-1)R(i -1) - !iR(i) = X(1 - r)R(i) - nR(i +1),откуда видно, чтоX(1 - ri -1) R (i -1) - yR( i) = const. Из первого уравнения системы (6) следует, что const = 0, так чтоX(1 - R(i -1) = mR(i),откуда-1R(i) = p(1 - n-1 )R(i -1) =... = R(0)P П (1 -rk ),(7)k=0где p = Х/ц.адКонстанта R(0) находится из условия нормировки XR(i) = 1, которое можно записать в виде RE = 0. Её явный вид/Г ад i-1R(0) = 1 J1 + Xpi П(1 - rk».(8)/ I i=1 k=0В частности, из (8) следует, что условием существования стационарного распределения вероятностей в рассматриваемой СМО является сходимость рядад i -1Xpi П (1 - rk)

Скачать электронную версию публикации