Control of goods production, storage and delivery based onprediction model systems output.pdf В настоящее время широкое применение находит метод прогнозирующегоуправления, который используется при управлении технологическими процесса-ми [1], в экономике - при управлении производством [2] и портфелем ценных бу-маг [3]. Метод прогнозирующего управления применяется на практике для реше-ния задач синтеза систем управления, функционирующих в условиях жестких ог-раничений, накладываемых на переменные состояния и управления.В работе рассмотрена задача синтеза прогнозирующего управления производ-ством, хранением и поставками товара с учетом случайных факторов. Задача сво-дится к задаче управления выходом экономической системы с использованиемэкстраполятора Калмана [4].1. Модель производства, хранения и поставок товаров.Постановка задачи управленияРассмотрим модель производства, хранения и поставок товаров [2, 5]. Пустьдинамика экономической системы описывается разностными уравнениями:qt+1 = Aqt +ϕt +Ґоt , q0 = q0 ; (1)zt+1 = zt + BҐшt − ϕt + Ґжt , z0 = z0 , (2)где nqt Ўф R , qi,t − количество товаров i-го типа у потребителя ( i = 1,n ); nzt Ўф R ,zi,t − количество товаров i-го типа на складе производителя; nҐшt Ўф R , ƒi,t − объемпроизводства товаров i-го типа; nϕt Ўф R , ƒi,t − объем поставок товаров i-го типа;Ґоt , Ґжt − векторные гауссовские случайные последовательности с характеристи-ками: M{ Ґоt } = 0, M{ Ґжt } = 0, M{ҐоtҐжҐУk } = ҐТҐдt,k , M{ҐжtҐжҐУk } = ҐОҐдt,k , M{ҐоtҐжҐУk } = 0( Ґдt,k - символ Кронекера); A и B - заданные матрицы. В модели (1), (2) случай-ные векторы Ґоt , Ґжt учитывают ошибки, возникающие из-за погрешностей призадании модели.В каждый момент времени t должны выполняться ограничения:zmin ≤ zt ≤ zmax, 0 ≤ ƒt ≤ ƒmax, 0 ≤ ƒt ≤ zt. (3)Управление производством, хранением и поставками товаров 25Переменные ƒt и ϕt рассматриваются как управляющие воздействия.Модель экономической системы (1), (2) может быть представлена в следую-щем виде:110 00t t t tt t t tq A q Ez E z E B++⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ϕ ⎤ ⎡ƒ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣− ⎦ ⎣ƒ ⎦ ⎣ƒ ⎦, (4)где E - nЎї n -единичная матрица. Введем обозначения:t ,ttqxz= ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦t ,ttu⎡ϕ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ƒ ⎦0 ,0A AE⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦0,EBE B⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎣− ⎦tttw⎡ƒ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ƒ ⎦,00W⎡ƒ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ҐО⎦. (5)Тогда модель (4) можно представить в видеxt+1 = Axt + But +wt , x0 = x0 , (6)где wt - гауссовская случайная последовательность (M{wt} = 0 , M{wtwkҐУ} =WҐдt,k ),x0 (q0 z0 ) = ҐУ ҐУ ҐУ .Пусть nyt Ўф R - вектор выхода и Ґчt ЎфRl - вектор наблюдений определяютсяследующими формулами:yt = Gxt ; (7)Ґчt = Hxt + vt , (8)где G = (E 0) (в силу (7) yt = qt ); H - заданная матрица системы контроля; vt -вектор случайных ошибок (гауссовская случайная последовательность с характе-ристиками: M{vt} = 0 , M{vtvkҐУ} = VҐдt,k , M{vtwkҐУ} = 0 ). Формула (8) является мо-делью системы контроля за состоянием объекта (6).Ставится задача по наблюдениям (8) определить стратегию управления произ-водством, хранением и поставками товара, обеспечивающей количество товаров употребителя qt, близкое к заданному постоянному вектору q , с учетом ограниче-ний вида (3).2. Прогнозирующая модель вектора выхода системыПоскольку случайные процессы wt и vt имеют гауссовское распределение, томожно выполнить оптимальное прогнозирование поведения объекта и векторавыхода, используя экстраполятор Калмана [4]. Пусть xˆt| j и yˆt| j − оценки состоя-ния и вектора выхода в момент времени t, построенные по информации, посту-пившей в j-й момент времени (j ≤ t). Тогдаxˆt+1|t = Axˆt|t−1 + But + Kt (Ґчt − Hxˆt|t−1) , xˆ1|0 = x0 ; (9)yˆt+1|t = Gxˆt+1|t ; (10)1 Kt APtH (HPtH V )= ҐУ ҐУ + − ; (11)1Pt 1 W APt A APtH (HPtH V ) HPt A ҐУ ҐУ ҐУ − ҐУ+ = + − + , P0 Px0 = . (12)Указанное выражение для Pt известно как разностное уравнение типа Риккати,Px0 − начальное значение дисперсионной матрицы (задается по имеющейся апри-орной информации).26 М.Ю. Киселева, В.И. СмагинМодель прогнозирующего управления требует, чтобы оценки состояния былитакими, чтобы можно было делать прогнозы на моменты времени t+1, t+2, , t+N,основываясь на информации, имеющейся в момент времени t. Здесь N - горизонтпрогноза. Из уравнений (9)−(12) можно вычислить оценки прогноза xˆt+1|t и yˆt+1|t ,а также оценки прогноза для моментов t+2,,t+N:xˆt+i+1|t = A xˆt+i|t +But+i|t ; (13)yˆt+i|t = G xˆt+i|t , i = 1, N . (14)Обозначение ut+i|t используется для того, чтобы отличать действующее управ-ление в момент t+i ut+i от тех, которые используются в модели с целью прогнози-рования.Уравнение (9) может быть расширено и записано через состояние xˆt+1|t и бу-дущих управляющих воздействий ut+i|t следующим образом:xˆt+2|t = Axˆt+1|t + But+1|t ,2xˆt+3|t = Axˆt+2|t + But+2|t = A(Axˆt+1|t + But+1|t ) + But+2|t = A xˆt+1|t + АBut+1|t + But+2|t ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1| 1| |1ˆ ˆjj jkt jt t t t ktkx A x А Bu−− − −+ + +== +ҐТ . (15)Аналогично может быть преобразовано уравнение (10) с использованием за-писанного выше выражения для xˆt+ j|t . Важно заметить, что каждый прогнози-руемый вектор выхода - это функция от состояния xˆt+1|t и будущих управляющихсигналов ut+i|t:yˆt+1|t = Gxˆt+1|t ,yˆt+2|t = Gxˆt+2|t = G(Axˆt+1|t + But+1|t ) = GAxˆt+1|t +GBut+1|t ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1| 1| |1ˆ ˆ ( )jj jkt jt t t t ktky GA x G A Bu−− −−+ + +== + ҐТ . (16)Записанные уравнения для прогнозируемых векторов состояния и выхода мо-гут быть представлены в эквивалентной векторно-матричной форме. Для этоговведем следующие обозначения:1||ˆˆˆt ttt NtxXx++⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ ⎥⎦

Скачать электронную версию публикации