Calloption on the basis of maximum value of risk asset price with fixed price of execution..pdf Опцион представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право покупки или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного рискового актива по оговоренной цене, а продавец опциона за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - опцион продажи. Стандартные платежные функции этих опционов характеризуются ценой исполнения и ценой базисного актива в момент исполнения[1 - 4]. С развитием рынка опционных контрактов стали появляться дополнительные требования к платежным обязательствам, что породило класс экзотическихопционов [5 - 7]. Важным частным случаем подобных опционов являются опционы, основанные на учете экстремальных значений цены базисного актива. В данной работе для диффузионного (B,S)-финансового рынка Европейского типа приводится полное исследование задачи хеджирования опциона купли, основанногона максимальном значении цены рискового актива, в случае выплаты дивидендовпо рисковым активам [1, 2, 8].1. Постановка задачиРассмотрение задачи проводится на стохастическом базисе (ƒ, F, F = (Ft) t≥0, P)[1 - 3]. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых St и Bt в течение интервала времени t Ўф[0,T ] определяются уравнениямиdSt = St (Ґмdt - ҐтdWt ) , dBt = rBtdt , (1)где Wt - стандартный винеровский процесс, ƒ > 0, r > 0, S0 > 0, B0 > 0 , решениякоторых имеют вид {( 2 ) }St = S0 exp ƒ − ƒ / 2 t - ƒWt , Bt = B0 exp{rt} . (2)6 У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. ЕрофееваСчитаем, что текущее значение капитала инвестора Xt определяется в видеXt = ƒtBt - ƒtSt , (3)где ƒt = (ƒt , ƒt ) есть пара Ft - измеримых процессов, составляющая портфельценных бумаг инвестора. Аналогично [9, 6] предполагается, что за обладаниеакциями происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Dt со скоростью ƒƒt St , пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом Ґд, таким, что 0 ЎВ ƒ < r , т.е. dDt = ƒƒtStdt . Тогда изменения капитала в задаче с дивидендами происходит в видеdXt = ҐвtdBt - ҐгtdSt - dDt . (4)Так как dXt = ҐвtdBt - ҐгtdSt - BtdҐвt - StdҐгt , (5)то BtdҐвt - StdҐгt = dDt . (6)Условие (6) является балансовым соотношением, которое заменяет условиесамофинансируемости BtdҐвt - StdҐгt = 0 в стандартной задаче без дивидендов.Тогда капитал определяется уравнением [9]rdXt = rXtdt - ҐтҐгtStdWtҐм− -Ґд , (7)где процесс ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ rt t W − - − r - t W = - (8)является винеровским относительно меры Pƒ−r-ƒ , такой, что ƒ r ƒ ƒ r ƒ d t t d t Ρ − - = Ζ − - Ρ , (9)2ƒ ƒ exp ƒ ƒ 1 ƒ ƒ ƒ 2 ƒ r t t − - = ⎧⎪− − r - W − ⎛ − r - ⎞ t⎪⎫ ⎨ ⎜ ⎟ ⎬⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎭⎪Ζ . (10)Обозначая через Law(⋅ Ρ) и Law(⋅ Ρƒ−r-ƒ ) свойства процессов относительноΡ и Ρƒ−r-ƒ , получаем [1]Law(Wƒ−r-ƒ Ρƒ−r-ƒ ) = Law(W Ρ) .Таким образом2ƒ ƒ ƒ ƒ 020exp ƒ ƒ ƒ ; 2exp ƒ ƒ ƒ ; | .2r r t tLaw S r t W t T Law S r t W t T ⎛ ⎧⎛ ⎞ − - ⎫ − - ⎞⎜ ⎨⎜ − − ⎟ - ⎬ ЎВ ⎟ ⎝ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎠⎛ ⎧⎛ ⎞ ⎫ ⎞= ⎜ ⎨⎜ − − ⎟ - ⎬ ЎВ ⎟⎝ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎠ΡΡ(11)Следовательно, Law(S(ƒ, r,ƒ) Ρƒ−r-ƒ ) = Law(S(r,ƒ) Ρ) , (12)т.е. вероятностные свойства процесса S(ƒ, r,ƒ) , описываемого уравнением(ƒ, ,ƒ) (ƒ, ,ƒ)(( ƒ) ƒ ƒ r ƒ )dtSt r = St r r − dt - dWt − - , (13)Опцион купли на основе максимального значения цены рискового актива 7oтносительно меры Ρƒ−r-ƒ совпадают со свойствами процесса S(r,ƒ) , которыйопределяется уравнениемdtSt (r,ƒ) = St (r,ƒ)((r − ƒ)dt - ƒdWt ) , (14)относительно меры P .Ставится задача: сформировать хеджирующую стратегию ƒ-t = (ƒ-t , ƒ-t ) , а также соответствующий ей капитал Xt таким образом, чтобы выполнить платежноеобязательство XT- = fTmax (S) относительно платежной функцииmax0T ( ) (max t ) t T f S S KЎВ ЎВ= − , (15)где a- = max(a;0) , K > 0 - цена исполнения опциона, а также найти стоимостьопциона max СT = X0 .Из (15) следует, что опцион с платежной функцией fTmax (S) предъявляется к исполнению, если максимальное значение цены рискового актива на интервалевремени t Ўф[0,T] превышает цену исполнения К. При этом владелец опциона получает доход ҐД = MT − K , где 0T max t t T M S ЎВ ЎВ= .Используемые обозначения: Ρ{⋅} - вероятность события; Ε{⋅} - математическое ожидание; N{a;D} - плотность нормального распределения с параметрамиa и D ; I[A] - индикаторная функция события A ; интеграл без указания пределов означает интегрирование на интервале R = (−ЎД,-ЎД) ; ( ) ( )zz ydy −ЎДҐХ = Ўт ϕ , 1 2 ( ) exp 2 2y y ⎧ ⎫ϕ = ⎨− ⎬Ґр ⎩ ⎭. (16)2. Предварительные результатыПриведем два результата, которые понадобятся при решении поставленной задачи.Утверждение 1 [1, 8]. Пусть для t ЎВ T 0 0t maxt ƒƒ maxt(ƒ ƒ)M Ґу WҐу h ЎВҐуЎВ ЎВҐуЎВ= = - , (17)ƒt t ƒ =W - h t , ƒ2 ƒ 2h = r − − . (18)Тогда для x ЎГ 0 и hЎф R плотность вероятности M ( , ) { }p t x = ЎУP Mt ЎВ x ЎУxимеет вид { } 22 2 2( , ) 1 exp ( ) 2 exp 2ƒ 2ƒ 2ƒ ƒ ƒ ƒ pM t x x ht h hx x ht t t t ⎧ − ⎫ ⎛ - ⎞ = ⎨− ⎬ − ҐХ⎜ − ⎟ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠{ } 22 21 exp 2 exp ( )ƒ 2ƒ ƒ 2ƒhx x ht t t ⎧ - ⎫- ⎨− ⎬⎩ ⎭. (19)8 У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. ЕрофееваУтверждение 2. Если1 ( )2 exp{ }exp2ƒ 2J cx x a dx d d ⎧ − ⎫= ⎨− ⎬⎩ ⎭ Ўт , (20)то2 1 [ ( )]2 exp exp 2 2ƒ 2J ca c d x a cd dx d d ⎧ ⎫ ⎧ − - ⎫= ⎨ - ⎬ ⎨− ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ Ўт . (21)Пусть X ~ N{a;d}. Тогда{ }2 ( ) exp{ } [ ] exp 2E cX I X b ca c d b a cd d ⎧ ⎫ ⎛ − - ⎞ ЎГ = ⎨ - ⎬ҐХ⎜− ⎟⎩ ⎭ ⎝ ⎠. (22)Представление (21) для J следует из (20) в результате элементарных преобразований, а (22) следует из (20) и (21) с учетом свойства функции ЛапласаҐХ( z) -ҐХ(−z) = 1. (23)3. Основные результатыПусть1( ) ƒ ƒ ƒ 2d t r T t ⎛ − ⎞ = ⎜ - ⎟ −⎝ ⎠, (24)2( ) ƒ ƒ ƒ 2d t r T t ⎛ − ⎞ = ⎜ − ⎟ −⎝ ⎠, (25)21ln( / ) ƒ ƒ ( )2( )ƒK St r T t y t T t ⎛ ⎞− ⎜ − - ⎟ −= ⎝ ⎠−, (26)22ln( / ) ƒ ƒ ( )2( )ƒK St r T t y t T t ⎛ ⎞- ⎜ − − ⎟ −= ⎝ ⎠−, (27)23ln( / ) ƒ ƒ ( )2( )ƒK St r T t y t T t ⎛ ⎞− ⎜ − − ⎟ −= ⎝ ⎠−, (28)2ƒ 2( ƒ)ƒr −= , (29)а d1, d2 , y1, y2 , y3 определяются формулами (24) - (28) при t = 0 .Теорема 1. Стоимость опциона, платежная функция которого имеет вид (15), определяется формуламиmax 1 ƒ 10 (1 ƒ ) ( 1) (1 ƒ ) ( 2 ) T rT CT S e d e d = ⎡ - − − ҐХ - − − − ҐХ − ⎤ − ⎣ ⎦− Ke−rT , если S0 ЎГ K ; (30)Опцион купли на основе максимального значения цены рискового актива 9max 1 ƒ 10 1 20(1 ƒ ) T ( ) (ƒ ) rT ( )TC S e y e K y S Ґб− − − − ⎡ ⎛ ⎞ ⎤= ⎢ - ҐХ − − ⎜ ⎟ ҐХ − ⎥ −⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦( 3 ) −Ke−rTҐХ −y , если S0 < K . (31)Доказательство. Поскольку платежная функция fT (S) вида (15) является естественной [1,2], то max exp{ } { max ( ( ,ƒ))} CT = −rT E fT S r , (32)где с учетом (1), (2), (14), (18)ST (r,ƒ) = S0 exp{ƒƒT } . (33)Тогда согласно (17), (18), 0 0 0 0 0 0max T max exp{ ƒ t} exp{max( ƒ t )} exp{ T } t T t T t T S S ht W S ht W S M ЎВ ЎВ ЎВ ЎВ ЎВ ЎВ= - = - = . (34)Следовательно, max fT (S(r,ƒ)) = (S0 exp{MT }− K)- . (35)Использование (35) в (32) дает с учетом (19), что max {( 0 exp{ } ) } ( 0 ) rT rT CT e E S MT K e FT S = − − - = − , (36)0 00( ) ( x ) M ( , )FT S S e K p T x dx ЎД= Ўт − - . (37)а) Случай S0 ЎГ K . Использование (19) в (37) дает с учетом условия нормировки для pM (t, x) , что 0 0 00( ) x M ( , )FT S S e p T x dx K S J K ЎД= Ўт − = − , (38)J = J1 − J2 - J3 , (39)21 201 exp ( )ƒ 2ƒ 2ƒJ ex x hT dx T T ЎД ⎧ − ⎫= ⎨− ⎬⎩ ⎭ Ўт , (40){ } 2 2 202 exp 1 2ƒ ƒ ƒ J h h x x hT dx T ЎД ⎛ ⎞ ⎛ - ⎞ = ⎜ - ⎟ ҐХ⎜ − ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ўт , (41){ } 23 2 201 exp 1 2 exp ( )ƒ 2ƒ ƒ 2ƒJ h x x hT dx T T ЎД ⎛ ⎞ ⎧ - ⎫ = ⎜ - ⎟ ⎨− ⎬⎝ ⎠ ⎩ ⎭ Ўт . (42)Из сравнения (40) с (22) следует, что b = 0, c = 1, a = hT, d = ƒ2T . Тогда, согласно (22) с учетом (18), получаем{ } 2 21exp ƒ ƒ exp{( ƒ) } ƒ ƒ 2 ƒ 2J hT T hT T r T r T T ⎧ ⎫ ⎛ - ⎞ ⎛ − ⎞ = ⎨ - ⎬ҐХ⎜ ⎟ = − ҐХ ⎜ - ⎟⎩ ⎭ ⎝ Ґт ⎠ ⎝ ⎠. (43)Использование (24) в (43) дает, что J1 = exp{(r − ƒ)T}ҐХ{d1} . (44)10 У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. ЕрофееваИз сравнения (42) с (22) следует, что 220, 1 2 , , ƒ ƒ b = c = - h a = −hT d = T . Тогда, согласно (22), аналогично (43)2 2 223 2 2exp 1 2 1 1 2 ƒ (1 (2 / ƒ ))ƒƒ 2 ƒ ƒ J hT h h T hT h T T ⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎫ ⎛ − - - ⎞ = ⎨− ⎜ - ⎟ - ⎜ - ⎟ ⎬ҐХ⎜ − ⎟⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎝ ⎠. (45)Использование (18) и (24) в (45) приводит с учетом (44) к тому, что J3 = J1 = exp{(r − ƒ)T}ҐХ(d1) . (46)Для вычисления J2 вида (41) воспользуемся формулой интегрирования по частям: Ўтudv = uv − Ўтvdu . (47)Возьмемƒu x hT T ⎛ - ⎞ = ҐХ⎜ − ⎟⎝ ⎠, { } 2exp 1 2ƒdv = ⎛ - h ⎞ x dx ⎜ ⎟⎝ ⎠. (48)Тогда221 exp ( )ƒ 2ƒ 2ƒdu x hT dx T T ⎧ - ⎫= − ⎨− ⎬⎩ ⎭, { } 22 2ƒ exp 1 22 ƒ ƒ v h x h = ⎛ - ⎞ ⎜ ⎟- ⎝ ⎠. (49)Следовательно: 22 2 2 202 1 exp 1 2 ( )2 ƒ ƒ ƒ 2ƒ ƒ 2ƒJ h h T h x x hT dx h T T ⎡ ⎛ ⎞ ЎД ⎧⎛ ⎞ - ⎫ ⎤ = ⎢−ҐХ⎜− ⎟ - ⎨⎜ - ⎟ − ⎬ ⎥- ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎥⎦Ўт . (50)Так как, согласно (42), интеграл в (50) равен J3 , то с учетом (46)2 2 12 exp{( ƒ) } ( )2 ƒ ƒ J h r T d h T h ⎡ ⎛ ⎞⎤= ⎢ − ҐХ −ҐХ⎜− ⎟⎥- ⎣ ⎝ ⎠⎦. (51)Использование (18) в (51) дает, что 2 22 2 2 12( ƒ (ƒ / 2)) exp{( ƒ) } ( ) ( ƒ (ƒ / 2))2( ƒ (ƒ / 2)) ƒ ƒ J r r T d r T r − − ⎡ ⎛ − − ⎞⎤= ⎢ − ҐХ −ҐХ⎜− ⎟⎥− − - ⎣ ⎝ ⎠⎦. (52)В результате использования (25) и (29) в (52) получаем, что 1 [ ]J2 (1 ƒ ) exp{(r ƒ)T} (d1) ( d2 ) = − − − ҐХ −ҐХ − . (53)Подстановка (44), (46) и (53) в (39) дает, что J 1 1(1 ƒ ) exp{(r ƒ)T} (d1) (1 ƒ ) ( d2 ) = - − − ҐХ - − − ҐХ − . (54)Последовательно подставляя (54) в (38), а (38) в (36), приходим к (30).б) Случай S0 < K . Согласно (37), ( 0 ) ( 0 ) ( , ) x M T bF S Se Kp TxdxЎД= Ўт − , (55)где b - это решение уравнения 0S ex = K , т.е.0b ln K S ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠. (56)Опцион купли на основе максимального значения цены рискового актива 11Выражение (55) можно представить в виде1 2FT (S0 ) = FT − FT , (57)10 ( , ) x M T bF S e p T xdx ЎД= Ўт , 2 M ( , )TbF K p T x dx ЎД= Ўт . (58)Обозначим1 x M ( , )bJ e p T x dx ЎД= Ўт . (59)Учитывая, что pM (T, x) имеет вид (19), J1 представим в виде1 1 1 1J = J1 − J2 - J3 , (60)где211 21 exp ( )ƒ 2ƒ 2ƒxbJ e x hT dx T T ЎД ⎧ − ⎫= ⎨− ⎬⎩ ⎭ Ўт , (61)1 { }2 2 22 exp 1 2ƒ b ƒ ƒ J h h x x hT dx T ЎД ⎛ ⎞ ⎛ - ⎞ = ⎜ - ⎟ ҐХ⎜ − ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ўт , (62){ } 213 2 21 exp 1 2 exp ( )ƒ 2ƒ b ƒ 2ƒJ h x x hT dx T T ЎД ⎛ ⎞ ⎧ - ⎫ = ⎜ - ⎟ ⎨− ⎬⎝ ⎠ ⎩ ⎭ Ўт . (63)Из сравнения (61) с (22) следует, что c = 1,a = hT,d = ƒ2T . Тогда, согласно(22) с учетом (18), получаем2 2112exp ƒ ( ƒ )2 ƒ exp{( ƒ) } ( ƒ (ƒ / 2)) .ƒJ hT T b h T T r T b r T T ⎧ ⎫ ⎛ − - ⎞= ⎨ - ⎬ҐХ⎜ − ⎟ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎛ − − - ⎞= − ҐХ⎜− ⎟⎝ ⎠(64)Использование (26), (56) в (64) дает, что 1J1 = exp{(r − ƒ)T}ҐХ(−y1) . (65)Из сравнения (63) с (22) следует, что 221 2 , , ƒ ƒ c = - h a = −hT d = T . Тогда, согласно (22), аналогично (64)2 2 21 23 2 2exp 1 2 1 1 2 ƒ ( (1 (2 / ƒ ))ƒƒ 2 ƒ ƒ J hT h h T b hT h T T ⎧⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪⎫ ⎛ − − − - - ⎞ = ⎨− ⎜ - ⎟ - ⎜ - ⎟ ⎬ҐХ⎜ − ⎟⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎝ ⎠. (66)Использование (18), (26) и (56) в (66) приводит с учетом (65) к тому, что 1 1J3 = J1 = exp{(r − ƒ)T}ҐХ(−y1) . (67)Для вычисления 1J2 вида (62) воспользуемся формулой интегрирования по частям (47) аналогично вычислению интеграла J2 , где u, du,v,dv имеют вид (48)12 У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. Ерофееваи (49). Тогда аналогично (50){ } 212 2 2 2 22 exp 1 2 1 exp 1 2 ( )2 ƒ ƒ ƒ ƒ 2ƒ b ƒ 2ƒJ h b hT h b h x x hT dx h T T T ⎡ ⎛ - ⎞ ⎛ ⎞ ЎД ⎧⎛ ⎞ - ⎫ ⎤ = ⎢−ҐХ⎜− ⎟ ⎜ - ⎟ - ⎨⎜ - ⎟ − ⎬ ⎥- ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩⎝ ⎠ ⎭ ⎥⎦Ўт . (68)Так как, согласно (63), интеграл в (68) равен 1J3 , то с учетом (18)212 2 22 21 22( ƒ (ƒ / 2))2( ƒ (ƒ / 2)) ƒ exp{( ƒ) } ( ) ( ƒ (ƒ / 2)) exp 2 ƒ ƒ ƒ ƒ 2J r r r T y b r T b r b T − −= Ўї− − ⎡ ⎛ - − − ⎞ ⎧ ⎛ ⎞ ⎫⎤Ўї⎢ − ҐХ − −ҐХ⎜− ⎟ ⎨ ⎜ − − ⎟ - ⎬⎥⎣ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭⎦. (69)В результате использования (27), (29) и (56) в (69) получаем, что 1 1 [ ]J2 (1 ƒ ) exp{(r ƒ)T} ( y1) exp{ƒb} ( y2 ) = − − − ҐХ − − ҐХ − . (70)Подстановка (65), (67) и (70) в (60) дает, что J1ƒ1 11 20(1 ƒ ) exp{(r ƒ)T} ( y ) (1 ƒ ) K ( y )S− − ⎛ ⎞= - − ҐХ − - − ⎜ ⎟ ҐХ −⎝ ⎠. (71)Тогда из (58), (71) следуетƒ1 1 10 1 20T (1 ƒ ) exp{( ƒ) } ( ) (1 ƒ ) ( )F S r T y K y S − − ⎡ ⎛ ⎞ ⎤= ⎢ - − ҐХ − - − ⎜ ⎟ ҐХ − ⎥⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦. (72)Учитывая, что pM (T, x) имеет вид (19), 2FT представим в виде2 2 2 2FT = K[J1 − J2 - J3 ] , (73)где221 21 exp ( )ƒ 2ƒ b 2ƒJ x hT dx T T ЎД ⎧ − ⎫= ⎨− ⎬⎩ ⎭ Ўт , (74)2 { }2 2 22 exp 2ƒ b ƒ ƒ J h h x x hT dx T ЎД ⎛ - ⎞ = ҐХ⎜ − ⎟⎝ ⎠ Ўт , (75){ } 223 2 21 exp 2 exp ( )ƒ 2ƒ b ƒ 2ƒJ h x x hT dx T T ЎД ⎧ - ⎫= ⎨− ⎬⎩ ⎭ Ўт . (76)Из сравнения (74) с (61) с учетом (22) следует, что вычисление 2J1 будет аналогичным вычислению 1J1 при с = 0 . В результате получается с учетом (28), что 2 ( )J1 = ҐХ −y3 . (77)Из сравнения (76) с (22) следует, что 222, , ƒ ƒ c = h a = −hT d = T . Тогда, согласно(22), выполняя преобразования, аналогичные проводившимся при вычислении1J3 , получаем, что 2 2J3 = J1 = ҐХ(−y3 ) . (78)Опцион купли на основе максимального значения цены рискового актива 13Для вычисления 2J2 вида (75) воспользуемся формулой интегрирования по частям (47), полагаяƒu x hT T ⎛ - ⎞ = ҐХ⎜ − ⎟⎝ ⎠, { } 2exp 2ƒdv = h x dx . (79)Тогда221 exp ( )ƒ 2ƒ 2ƒdu x hT dx T T ⎧ - ⎫= − ⎨− ⎬⎩ ⎭, { } 22ƒ exp 22 ƒ v h x h = . (80)Следовательно, { } 222 2 2 2exp 2 1 exp 2 ( )ƒ ƒ ƒ 2ƒ b ƒ 2ƒJ hb b hT h x x hT dx T T T ⎛ - ⎞ ЎД ⎧ - ⎫ = − ҐХ⎜− ⎟ - ⎨ − ⎬⎝ ⎠ ⎩ ⎭ Ўт . (81)Так как, согласно (75), интеграл в (81) равен 2J3, то с учетом (78), (18), (27) и (29)( )ƒ 122 3 20J ( y ) K y S − ⎛ ⎞= ҐХ − − ⎜ ⎟ ҐХ −⎝ ⎠. (82)Тогда, согласно (73), (82), ƒ 123 20T ( ) ( )F K y K y S ⎡ ⎛ ⎞ − ⎤= ⎢ҐХ − - ⎜ ⎟ ҐХ − ⎥⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦. (83)Подставляя (72) и (83) в (57), а (57) в (36), приходим к (31).Теорема доказана.Теорема 2. Капитал Xt и хеджирующая стратегия ƒ-t = (ƒ-t ,ƒ-t ) определяютсяформулами( )max - 1 ƒ( ) 1 ( ) ( )(1 ƒ ) ( 1( )) (1 ƒ ) ( 2 ( )) T t r T t r T t X t St e d t e d t Ke = ⎡ - − − − ҐХ - − − − − ҐХ − ⎤ − − − ⎣ ⎦ , (84)( )max - 1 ƒ( ) 1 ( )ƒ (1 ƒ ) ( 1( )) (1 ƒ ) ( 2 ( )) T t r T t t e dt e dt = - − − − ҐХ - − − − − ҐХ − , (85)( )max - ( ) ƒ r T t t tK e B = − − − , (86)если St ЎГ K ; ( )ƒmax - 1 ƒ( ) 1 ( )(1 ƒ ) ( 1( )) ƒ ( 2 ( )) T t r T t t t t X S e y t e K y t S − − − − − − ⎡ ⎛ ⎞ ⎤= ⎢ - ҐХ − − ⎜ ⎟ ҐХ − ⎥ −⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦( )( 3 ( )) −Ke−r T −t ҐХ −y t , (87)( )ƒmax - 1 ƒ( ) 1 ( )ƒ (1 ƒ ) ( 1( )) (1 ƒ ) ( 2 ( )) T t r T t t te y t e K y t S − − − − − − ⎛ ⎞= - ҐХ − - − ⎜ ⎟ ҐХ −⎝ ⎠, (88)( )ƒmax - ( )3 2ƒ 1 r T t ( ( )) ( ( ))t t t t e K y t S K y t B S − − ⎡ ⎛ ⎞ ⎤= − ⎢ ҐХ − - ⎜ ⎟ ҐХ − ⎥⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦, (89)если St < K .14 У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. ЕрофееваДоказательство. Поскольку платежная функция вида (15) является естественной, то согласно общей теории платежных обязательств [1 - 3], - r(T t) { ( ( ,ƒ)) | } r(T t) ( ) - ( )Xt e E fT S r St e FT t St Xt St − − − −= = − = , (90)FT −t (St ) = E{ fT (S(r,ƒ)) | St} , (91)- ( )ƒ t ( )t t X s S sЎУЎУ, (92)- - ( ) ƒ ƒ t t t t t tX S S B −= . (93)Из сравнения (32) и (90) следует, что вычисления по нахождению FT −t (St )аналогичны вычислениям по нахождению CT с заменой S0 на St и T на (T − t ).Таким образом, (84) и (87) следуют из (30) и (31) с учетом указанных замен. Использование (84) в (92) приводит к (85), а (86) следует из (84), (85), (93).Из (16) следует( ( )) 1 exp{ 1 2 ( )} ( )2 2a s a s a s s s ЎУҐХ ЎУ= −ЎУ Ґр ЎУ, ( a(s)) (a(s))s s ЎУҐХ − ЎУҐХ= −ЎУ ЎУ. (94)Согласно (87), ( ) max - ƒ 1 ƒ( ) 1 ( )1 2( ())t 1 ƒ T t ( ( )) ƒ r T t ( ( )) X s K e y t e y t s s ЎУ = - − − − ҐХ − − − ⎜⎛ ⎟⎞ − − ҐХ − - ЎУ ⎝ ⎠( ) ƒ 1 ƒ( ) ( 1( )) 1 ( ) ( 2 ( ))1 ƒ T t ƒ r T t s e y t K e y t s s s - ⎡⎢ - − − − ЎУҐХ − − − ⎛⎜ ⎞⎟ − − ЎУҐХ − ⎤⎥ − ⎣ ЎУ ⎝ ⎠ ЎУ ⎦ƒ( ) 3 ( )2( ())r T t r T t ( ( )) y t K Ke e y t s s − − − ЎУҐХ − - ⎛⎜ ⎞⎟ − − ҐХ − ЎУ ⎝ ⎠. (95)Представим (95) в виде( ) ( ) max - ƒ 1 ƒ( ) 1 ( )1 2( ())t 1 ƒ T t ( ( )) 1 ƒ r T t ( ( )) ƒ X s K e y t e y t s s ЎУ = - − − − ҐХ − - − − − − ⎛⎜ ⎞⎟ ҐХ − - ЎУ ⎝ ⎠, (96)1ƒ = ƒ1 - sƒ− ƒ2 , (97)( ) 3 ƒ( ) 11( ( )) ( ( ))ƒ r T t T t y t y t Ke se s s − − ЎУҐХ − − ЎУҐХ= −ЎУ ЎУ, (98)ƒ( ) 2 ƒ( ) 12( ( )) ( ( ))ƒ r T t T t e K y t e y t s s s = − − ⎛⎜ ⎞⎟ ЎУҐХ ЎУ − − − ЎУҐХ ЎУ ⎝ ⎠. (99)Из (26) - (28) следует, что y1(t) = y3 (t) − ƒ T − t , (100)1 2( ) ( ) 2( ƒ)ƒy t y t r T t −= − − . (101)Согласно (27), (28), (94), Опцион купли на основе максимального значения цены рискового актива 153 { 2 }3( ( )) 1 1 exp ( )ƒ 2ƒ( ) 2y t y t s s T t ЎУҐХ= − −ЎУ −, (102)2 { 2 }2( ()) 1 1 exp ( )ƒ 2ƒ( ) 2y t y t s s T t ЎУҐХ= − −ЎУ −. (103)Из (100) и (102) следует1 { ( )2}3( ( )) 1 1 exp ( ) ƒ ƒ 2ƒ( ) 2y t y t T t s s T t ЎУҐХ=− − − − ЎУ −2 2331 ( ) ƒ ( ) exp exp ƒ ( )ƒ 2ƒ( ) 2 2y t T t T ty t s T t ⎪⎧ ⎪⎫ ⎧ − ⎫ = − ⎨− ⎬ ⎨ − − ⎬− ⎩⎪ ⎪⎭ ⎩ ⎭. (104)Использование (28) в (104) дает, что 21 32( ( )) ( )exp{ ( ƒ)( )}expƒ 2ƒ( ) 2y t K r T t y t s s T t ЎУҐХ ⎧⎪ ⎪⎫ = − − − − ⎨− ⎬ЎУ − ⎩⎪ ⎭⎪. (105)Из (101) и (103) следует212( ( )) 1 1 2( ƒ) exp ( )ƒ 2ƒ( ) 2 ƒ y t y t r T t s s T t ЎУҐХ ⎧⎪ ⎛ − ⎞ ⎪⎫ = − ⎨− ⎜ − − ⎟ ⎬ = ЎУ − ⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎭⎪2 222 21 ( ) 2( ƒ) 2( ƒ) exp exp ( ) ( )ƒ 2ƒ( ) 2 ƒ ƒ y t r T t y t r T t s T t ⎧ ⎫ ⎧ − − ⎫= − ⎨− ⎬ ⎨ − − − ⎬− ⎩ ⎭ ⎩ ⎭. (106)Использование (27) в (106) дает, что { }ƒ 2( 1( )) 1 exp ( ƒ)( ) exp 2 ( )ƒ 2ƒ( ) 2y t r T t K y t s s T t s ЎУҐХ ⎛ ⎞ ⎧ ⎫ = − − − − ⎜ ⎟ ⎨− ⎬ ЎУ − ⎝ ⎠ ⎩ ⎭. (107)Подставляя (102) и (105) в (98), а (103) и (107) в (99), получаем, что ƒ1 = 0 , ƒ2 = 0 , то есть, согласно (97), ƒ = 0 . Тогда (88) следует из (92) и (96), а (89) - из (87), (88) и (93). Теорема доказана.4. СвойстваВведем в рассмотрение коэффициенты чувствительности00S T T C C S ЎУЎУ, K T T C C K ЎУЎУ, (108)определяющие зависимость цены опциона от начальной цены акции S0 и ценыисполнения опциона K.Теорема 3. Выражения для чувствительностей цены опциона, основанного на максимальном значении цены рискового актива, имеют -----вид( 0 )max 1 ƒ 1(1 ƒ ) ( 1) (1 ƒ ) ( 2 ) S T rT CT e d e d = - − − ҐХ - − − − ҐХ − , (109)( )K max rT CT = −e− , (110)если S0 ЎГ K ; 16 У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. Ерофеева( 0 )ƒmax 1 ƒ 11 20S (1 ƒ ) T ( ) (1 ƒ ) rT ( )TC e y K e y S − − − ⎛ ⎞ −= - ҐХ − - − ⎜ ⎟ ҐХ −⎝ ⎠, (111)( )ƒ 1max2 30K rT ( ) ( )TC e K y y S −− ⎡⎛ ⎞ ⎤= − ⎢⎜ ⎟ ҐХ − -ҐХ − ⎥⎣⎝ ⎠ ⎦, (112)если S0 < K .Доказательство. Дифференцирование (30) по S0 приводит к (109). Дифференцирование (31) по S0 дает( 0 ) ( )ƒmax 1 ƒ 11 20S 1 ƒ T ( ) ƒ rT ( )TC e y K e y S − − − ⎛ ⎞ −= - ҐХ − − ⎜ ⎟ ҐХ − ⎝ ⎠( )ƒ1 ƒ 1 1 200 0 0ƒ320 0( ) ( )1 ƒ ƒ ( )( ).T rT rT rT S e y K e y S S S y K Ke e y S S − − − −− −⎡ ЎУҐХ − ⎛ ⎞ ЎУҐХ − ⎤- ⎢ - − ⎜ ⎟ ⎥ − ⎢⎣ ЎУ ⎝ ⎠ ЎУ ⎥⎦ЎУҐХ − ⎛ ⎞− - ⎜ ⎟ ҐХ − ЎУ ⎝ ⎠Представим это выражение в виде( 0 ) ( ) ( )ƒmax 1 ƒ 11 20S 1 ƒ T ( ) 1 ƒ rT ( ) ƒ T C e y K e y S − − − ⎛ ⎞ −= - ҐХ − - − ⎜ ⎟ ҐХ − ⎝ ⎠, (113)где ƒ определяется формулами (97) - (99). Так как ƒ = 0 , то (111) следует из (113).Дифференцирование (30) по K приводит к (110). Дифференцирование (31) по K дает( ) ( )ƒmax 1 ƒ 1 1 200( ) ( )K 1 ƒ T ƒ rT T C S e y K e y K S K − − − − ⎡ ЎУҐХ − ⎛ ⎞ ЎУҐХ − ⎤= ⎢ - − ⎜ ⎟ ⎥ − ⎣ ЎУ ⎝ ⎠ ЎУ ⎦ƒ 132 30( )e rT K ( y ) ( y ) Ke rT y S K −− − ⎡⎛ ⎞ ⎤ ЎУҐХ −− ⎢⎜ ⎟ ҐХ − -ҐХ − ⎥ − ЎУ ⎣⎝ ⎠ ⎦.Это выражение представим в виде( )ƒ 1max2 30K rT ( ) ( ) ƒ T C e K y y S −− ⎡⎛ ⎞ ⎤= − ⎢⎜ ⎟ ҐХ − -ҐХ − ⎥ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎥⎦

Скачать электронную версию публикации